专题18解析几何（选填压轴题）-2022年高考数学高分必刷必过题

专题18解析几何（选填压轴题）一、单选题1．（2021·河南高三月考（理））已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动，若的最大值为，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意知，，，直线为，设直线，的倾斜角分别为，，由椭圆的对称性，不妨设为第二象限的点，即，，则，.，，当且仅当，即时取等号，又得最大值为，，即，整理得，故椭圆的的离心率是.故选：C.2．（2021·山东肥城·高三模拟预测）已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题可知：，圆心，半径，又，是的中点，所以，所以点的轨迹方程，圆心为点，半径为，若直线上存在两点，使得恒成立，则以为直径的圆要包括圆，点到直线的距离为，所以长度的最小值为，故选：B．3．（2021·丽水外国语实验学校高三期末）如图，在棱长为1的正方体中，是线段的中点，是棱上的动点，为线段上的动点，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】在上取点使得，由对称性可知.连接，则，点、、都在平面内，且，，.在所在平面内，以为轴，为轴建立平面直角坐标系如图所示.则，，，所以直线的方程为.设点关于直线的对称点为，则，解得，即.因此，所以，当且仅当三点共线且时，有最小值.故选：C.4．（2021·四川成都七中高三三模（理））已知双曲线的左右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，满足，点是线段上一点，满足.现将沿折成直二面角，若使折叠后点，距离最小，则（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由双曲线方程知，，，，设，则，，又，则，解得或3（舍），设折叠后点达到F点，如图所示，作于A点，易知平面，，，设，则，在中，，，在中，由余弦定理知，，则，当且仅当，即时，等号成立，折叠后点，距离最小.此时MN为的角平分线，由角平分线定理知，，则，故选：C5．（2021·安徽师范大学附属中学高三开学考试（理））已知是椭圆的左焦点，是该椭圆的右顶点，过点的直线（不与轴重合）与该椭圆相交于点．记，设该椭圆的离心率为，下列结论正确的是（）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】A【详解】不失一般性，设在轴上方，在轴下方，设直线的斜率为，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为，则，，，且.又.又直线的方程为，由可得，故，所以，故，同理，故，因为共线，故，整理得到即，若，，因为，，故，所以，故.故选：A.6．（2021·全国高三专题练习）已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于点、，若、两点在准线上的射影分别为、，线段的中点为，则下列叙述不正确的是（）A． B．四边形的面积等于C． D．直线与抛物线相切【答案】B【详解】如图，由题意可得，抛物线的准线方程为．设、，设直线的方程为，联立，可得，利用根与系数的关系得，因为线段的中点为，所以，所以，，所以，，所以，，A选项正确；对于B选项，因为，所以，所以，所以，所以四边形的面积等于，B选项错误；对于C选项，根据抛物线的定义知，，所以，，所以，，C选项正确；对于D选项，直线的斜率为，抛物线在点处的切线方程为，联立，消去可得，由题意可得，可得，即，则.所以，直线与抛物线相切，D选项正确.故选：B.7．（2021·全国高三模拟预测（理））如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（）A． B．C． D．【答案】A【详解】设双曲线的左、右焦点分别为，，设双曲线的一条渐近线方程为，可得直线的方程为，与双曲线联立，可得，，设，，由三角形的等面积法可得，化简可得，①由双曲线的定义可得，②在三角形中，为直线的倾斜角），由，，可得，可得，③由①②③化简可得，即为，可得，则．故选：A．8．（2021·湖南天心·长郡中学高三二模）已知正方体的棱长为1，点，分别为线段，上的动点，点在平面内，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：点关于的对称点为，关于的对称点为，记为直线与之间的距离，则，由，为到平面的距离，因为，而，故，故选：B.9．（2021·贵州贵阳·高三模拟预测（理））在平面内，已知动点与两定点的距离之比为，那么点的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱中，平面ABC，，，，点为的中点，点在三棱柱内部或表面上运动，且，动点形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为，，则（）A． B． C． D．【答案】D【详解】如图，在平面PAB中，作,交AB于点N，则,又因，所以，所以，所以,所以.因为，所以,所以B、N重合且，所以点P落在以B为球心，为半径的球面上.作于H，则，因为面ABC，所以BH，又因为，所以面，所以B到面的距离为，所以球面与面相切，而，所以球面不会与面相交，则，,所以，所以.故选：D.10．（2021·吉林高三月考（理））已知双曲线：的左焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，则.设双曲线的右焦点为，由对称性可知，则，所以.令，，则，令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，又当时，所以.故的取值范围是.故选：B.11．（2021·浙江高三月考）如图，椭圆，是直线上一点，过点作椭圆的两条切线，，直线与交于点，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】设若在椭圆的上半部分，则得，在椭圆上，，．∴过点的切线方程是，，即，同理可证当在下半圆时，过的切线方程也是，是椭圆的左右顶点时，切线方程也是．∴无论在椭圆的何处，切线方程都是．设，则过点的切线方程是，在直线，设，则由两切线都过点∴，∴直线方程是，易知直线过定点，该定点为椭圆左焦点．直线方程为，则由，得，即，，，，∴，，，∴．当且仅当，即时等号成立．故选：A．12．（2021·吉林长春·高三模拟预测（理））已知是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图设分别为椭圆的左、右焦点，设直线与椭圆相交于，连接.根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形.由椭圆的定义有：由余弦定理有：即所以当且仅当时取等号，又的斜率存在，故不可能在轴上.所以等号不能成立,即即，所以故选：A13．（2021·山西阳泉·高三期末（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为，若，则此双曲线的标准方程可能为（）A．x21 B．C． D．【答案】D【详解】解：由题可知，，若，即为，可得，即有，由双曲线的定义可知，可得，由于过F2的直线斜率为，所以在等腰三角形中，，则，由余弦定理得：，化简得：，即，，可得，，所以此双曲线的标准方程可能为：.故选：D．14．（2021·全国高三专题练习（理））已知为坐标原点，抛物线上一点到焦点的距离为，若点为抛物线准线上的动点，给出以下命题：①当为正三角形时，的值为；②存在点，使得；③若，则等于；④的最小值为，则等于或.其中正确的是（）A．①③④ B．②③ C．①③ D．②③④【答案】C【详解】对于①，当为正三角形时，如下图所示，抛物线的准线交轴于，,由抛物线定义可知，则与准线垂直，所以，则，所以,而，即，所以①正确；对于②，假设存在点，使得，即，所以点为的中点，由抛物线图像与性质可知，为抛物线上一点，为焦点，线段在轴右侧，点在抛物线准线上，在轴左侧，因而不可能为的中点，所以②错误；对于③，若，则，作垂直于准线并交于，准线交轴于，如下图所示：由抛物线定义可知，根据相似三角形中对应线段成比例可知，即，解得，所以③正确；对于④，作关于准线的对称点，连接交准线于，作垂直于准线并交于，作垂直于轴并交于，如下图所示：根据对称性可知，此时即为的最小值，由抛物线定义可知，所以的横坐标为，代入抛物线可知，的最小值为，，则，即，化简可得，即，解得或，当p=12时，不满足点A到焦点F的距离为4，所以④错误；综上所述，正确的为①③.故选：C.15．（2021·全国高三专题练习（理））关于x的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：由已知x2﹣4x+5＝0的解为，设对应的两点分别为A，B，得A（2，1），B（2，﹣1），设x2+2mx+m＝0的解所对应的两点分别为C，D，记为C（x1，y1），D（x2，y2），（1）当△＜0，即0＜m＜1时，的根为共轭复数，必有C、D关于x轴对称，又因为A、B关于x轴对称，且显然四点共圆；（2）当△＞0，即m＞1或m＜0时，此时C（x1，0），D（x2，0），且＝﹣m，故此圆的圆心为（﹣m，0），半径，又圆心O1到A的距离O1A＝，解得m＝﹣1，综上：m∈（0，1）∪{﹣1}.故选：D.16．（2021·信阳市实验高级中学高三开学考试（理））在正方体中，球同时与以为公共顶点的三个面相切，球同时与以为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点.若以为焦点，为准线的抛物线经过，设球的半径分别为，则（）A． B． C． D．【答案】D【详解】根据抛物线的定义，点到点的距离与到直线的距离相等，其中点到点的距离即半径，也即点到面的距离，点到直线的距离即点到面的距离，因此球内切于正方体，不妨设，两个球心和两球的切点均在体对角线上，两个球在平面处的截面如图所示，则，所以.又因为，因此，得，所以.故选：D17．（2021·信阳市实验高级中学高三开学考试（理））过抛物线的焦点作直线与抛物线在第一象限交于点，与准线在第三象限交于点，过点作准线的垂线，垂足为.若，则（）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，设准线与轴的交点为，过点作.由抛物线定义知，所以，，，，所以.故选：C18．（2021·西工大附中分校高三模拟预测（理））设，为双曲线的左、右焦点，点为双曲线上一点，若的重心和内心的连线与轴垂直，则双曲线的离心率为A． B． C． D．【答案】A【详解】画出图形如图所示，设的重心和内心分别为，且圆与的三边分别切于点，由切线的性质可得．不妨设点在第一象限内，∵是的重心，为的中点，∴，∴点坐标为．由双曲线的定义可得，又，∴，∴为双曲线的右顶点．又是的内心，∴．设点的坐标为，则．由题意得轴，∴，故，∴点坐标为．∵点在双曲线上，∴，整理得，∴．故选A．19．（2021·河西·天津市新华中学高三月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，以线段为直径的圆与的渐近线在第一象限的交点为，且.设的离心率为，则=A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，则①，又②，得＝，∵在渐近线上且，设为双曲线右顶点，如图，则，且，由得，于是，变形为，解得（舍去），故选B．20．（2021·陕西西安·高新一中高三二模（理））我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知、是一对相关曲线的焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是A． B． C． D．2【答案】A【详解】设椭圆的长半轴长为，椭圆的离心率为，则，．双曲线的实半轴长为，双曲线的离心率为，，，设，，则，当点P被看作是椭圆上的点时，有，当点P被看作是双曲线上的点时，有，两式联立消去得，即，所以，又，所以，整理得，解得或（舍去），所以，即双曲线的离心率为，故选A．二、多选题21．（2021·广东茂名·高三月考）已知曲线：，则下列结论正确的是（）A．直线与曲线没有公共点B．直线与曲线最多有三个公共点C．当直线与曲线有且只有两个不同公共点，时，的取值范围为D．当直线与曲线有公共点时，记公共点为．则的取值范围为【答案】ACD【详解】由题设得：曲线为，A：由是和的渐近线，且与没有公共点，故正确；B：由A中的分析知：与曲线最多有两个公共点，故错误；C：由图可知，若与曲线有两个公共点或一个公共点，当时，与曲线有两个公共点，，由对称性知，，关于直线对称，则，∴，（1）当时，．（2）当时，由，则．（3）当时，直线与曲线只有一个公共点，不合题意．（4）当或时，直线与曲线无公共点，综上可知，C正确；D：由C的分析，时与曲线有且只有两个不同公共点，则，即．当时，与曲线只有一个公共点，此点为．此时．故正确．故选：ACD．22．（2021·江苏鼓楼·南京市第二十九中学高三开学考试）已知为抛物线：（）的焦点，下列结论正确的是（）A．抛物线的的焦点到其准线的距离为．B．已知抛物线与直线：在第一、四象限分别交于两点，若，则．C．过作两条互相垂直的直线，，直线与C交于两点，直线与交于，两点，则四边形面积的最小值为．D．若过焦点的直线与抛物线相交于两点，过点分别作抛物线的切线，，切线与相交于点，则点在定直线上．【答案】BCD【详解】A：抛物线的的焦点到其准线的距离为，故A错误；B：联立，则，解得，由题意可知，，故，所以，故B正确；C：由题意可知直线，的斜率均存在，且不为0，设直线，联立，则，设两交点为，结合韦达定理，所以；同理,所以，当且仅当时，等号成立；所以四边形面积的最小值为，故C正确；D：设，不妨设因为（），若，则，所以，所以在点处的切线的斜率为，因此在处的切线方程为，即，同理在处的切线方程为，则，解得，因为直线过点，所以，即，所以，故点P在定直线上，故D正确；故选：BCD.23．（2021·全国高三模拟预测）已知点为椭圆（）的左焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的一点，直线，分别为，，椭圆的离心率为，若，，则（）A． B． C． D．【答案】AC【详解】设椭圆的右焦点，连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，且由，可得，所以，则，．由余弦定理可得，所以，所以椭圆的离心率．设，，则，，，所以，又，，相减可得．因为，所以，所以．故选：AC．24．（2021·全国高三专题练习（理））已知抛物线的焦点为，直线经过点交于，两点，交轴于点，若，则（）A． B．点的坐标为C． D．弦的中点到轴的距离为【答案】CD【详解】由于得到，故A错误；抛物线方程为，过B点作BD垂直于y轴，垂足为D点，则,因为，所以,所以，即,代入抛物线方程，解得,故B错误；不妨取点的坐标为，所以直线的方程为：，联立抛物线方程得到：，韦达定理可知：，由抛物线的弦长公式可知：，故C正确；弦的中点到轴的距离为，故D正确；故选：CD.25．（2021·江苏南通·高三模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，，为坐标原点，圆，是双曲线与圆的一个交点，且，则下列结论中正确的有（）A．双曲线的离心率为B．点到一条渐近线的距离为C．的面积为D．双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为2【答案】ABD【详解】解：∵双曲线，∴，又圆，∴圆O的半径为c，∴为圆O的直径，∴，故作图如下：对于A，∵，∴，∴，令，则，∴，∴，又，∴双曲线C的离心率，故A正确；对于B，由于到渐近线的距离，故B正确；对于C，由离心率得，，∴，∴，，∴的面积为，故C错误；对于D，由得双曲线C的方程为：，故其两条渐近线方程为，即，设为双曲线C上任意一点，则，即①，到两条渐近线的距离，，∴，故D正确；故选：ABD.26．（2021·广东汕头·高三二模）已知抛物线方程为，直线，点为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，切点为，则以下选项正确的是（）A．当时，直线方程为 B．直线过定点C．中点轨迹为抛物线 D．的面积的最小值为【答案】ACD【详解】解析：，，设，则，即，同理，都过点，直线，即，当时，.故A正确；，，直线过定点，故B错误；联立，消去得，，，，中点坐标为，故其轨迹方程为，故C正确；，，，当时，，故D正确；故选：ACD三、填空题27．（2021·浙江高三模拟预测）设正四面体的棱长是，、分别是棱、的中点，是平面内的动点.当直线、所成的角恒为时，点的轨迹是抛物线，此时的最小值是______.【答案】【详解】设点在底面的射影点为，连接，则，，以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，设点，则，，，整理可得，由题意可知，方程表示的曲线为抛物线，所以，故，即有，可得，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.28．（2021·全国高三开学考试（理））设,分别是椭圆的左､右焦点，过点的直线交椭圆于两点，，若，则