同步优化设计2024年高中数学第五章计数原理2第1课时排列一课后篇巩固提升含解析北师大版选择性必修第一册

第五章计数原理§2排列问题第1课时排列(一)课后篇巩固提升合格考达标练1.已知下列问题:①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参与数学、物理爱好小组;②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参与一项活动;③从a,b,c,d中选出3个字母;④从1,2,3,4,5这5个数字中取出2个数字组成一个两位数.其中是排列问题的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案B解析由排列的定义知,①④是排列问题.2.A12m=9×10×11×12,则m等于(A.3 B.4 C.5 D.6答案B3.5A53+4A42A.107 B.323 C.320 D.348答案D解析5A53+4A42=5×5×4×3+4×4×4.已知An2=7An-42,A.2 B.6 C.7 D.8答案C解析由An2=7An-42知,n-4≥原方程可化为n(n-1)=7(n-4)(n-5),即3n2-31n+70=0,解得n=7或n=103(舍),故选C5.方程3Ax3=2Ax+12+6答案5解析由排列数定义可得x≥3,x+1≥2,x≥2,x原方程可化为3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1),∵x≥3,∴可化为3x2-17x+10=0,即(3x-2)(x-5)=0,解得x=5或x=23(舍)6.由1,4,5,x四个数字组成没有重复数字的四位数,全部这些四位数的各个数位上的数字之和为288,则x=.

答案2解析当x≠0时,有A44=24个四位数,每个四位数的数字之和为1+4+5故24(1+4+5+x)=288,解得x=2;当x=0时,每个四位数的数字之和为1+4+5=10,而288不能被10整除,即x=0不符合题意.综上可知,x=2.7.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任挂1面、2面或3面(旗的颜色无重复),并且不同的依次表示不同的信号,则一共可以表示种不同的信号.

答案15解析第1类,挂1面旗表示信号,有A31第2类,挂2面旗表示信号,有A32第3类,挂3面旗表示信号,有A33依据分类加法计数原理,可以表示的信号共有A31+A32+A33=3+3×28.A,B,C,D四人站成一排,其中A不站排头,写出全部的站法.解作出“树形图”如下:故全部的站法是BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DACB,DABC,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA.等级考提升练9.若S=A11+A22+A33+AA.8 B.5 C.3 D.0答案C解析A11=1,A22=2,A33=6,A44=24,个位数之和为1+2+6+4=13,而A55,A66,…10.从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除,则得到的结果有()A.6个 B.10个 C.12个 D.16个答案C解析符合题意的商有A42=4×3=1211.若a,b∈{1,3,5,7,9},则lga-lgb的不同值的个数是()A.9 B.10 C.18 D.20答案C解析首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数进行排列,共有A52=20种排法,因为31=93,13=39,所以从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lg12.从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素,①相加可得多少个不同的和?②相除可得多少个不同的商?③作为椭圆x2a2+y2b2=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程?④作为双曲线x2a2上面四个问题属于排列问题的是()A.①②③④ B.②④C.②③ D.①④答案B解析∵加法满意交换律,∴①不是排列问题;∵除法不满意交换律,如53≠35,∴②是排列问题;若方程x2a2+y2b2=1表示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>b,a,b的大小肯定;在双曲线x2a2-y2b213.(多选题)下列各式中与排列数Anm相等的是(A.nB.n(n-1)(n-2)…(n-m+1)C.nD.A答案BD解析由排列数公式可知Anm=n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1),故BAnm=n!(n-m)!,而An1An14.一共有5名同学参与《我的中国梦》演讲竞赛,3名女生和2名男生,假如男生不排第一个演讲,同时两名男生不能相邻演讲,则排序方法有种.(用数字作答)

答案36解析依据题意,分2步完成:①将三名女生全排列,有A33=6②排好后,有4个空位,男生不排第一个演讲,除去第一个空位,有3个空位可用,在这三个空位中任选2个,支配2名男生,有A32=6则有6×6=36种符合题意的排序方法.15.一条铁路途上原有n个车站,为了适应客运的须要,在这条铁路途上又新增加了m(m>1)个车站,客运车票增加了62种,则n=,m=.

答案152解析由题意得,An+(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62,整理得m(2n+m-1)=62=2×31.∵m,n均为正整数,∴2n+m-1也为正整数.∵62不行能再分解为其他两个正整数相乘的形式,∴m解得n=15,m=2.16.某国的篮球职业联赛共有16支球队参与.(1)每队与其余各队在主客场分别竞赛一次,共要进行多少场竞赛?(2)若16支球队恰好8支来自北部赛区,8支来自南部赛区,为增加竞赛欣赏度,各自赛区分别采纳(1)中的赛制决出赛区冠军后,再进行一场总冠军赛,共要进行多少场竞赛?解(1)随意两队之间要进行一场主场竞赛及一场客场竞赛,对应于从16支球队任取两支的一个排列,竞赛的总场次是A162=16×15=(2)由(1)中的分析,竞赛的总场次是A82×2+1=8×7×2+1=新情境创新练17.从集合{1,2,3,…,20}中任选出3个不同的数,使这3个数成等差数列,这样的等差数列可以有多少个?解设a,b,c∈N+,且a,b,c成等差数列,则a+c=2b,由此可以得出a+c应是偶数.因此从1到20这20个自然数中任选3个数成等差数列.则第一个数与第三个数必同时为偶数或同时为奇