2024-2025学年新教材高中数学第8章立体几何初步8.5.3平面与平面平行课时分层作业含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时分层作业(二十九)平面与平面平行(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列命题正确的有()①假如两个平面(不重合)不相交，那么它们平行；②假如一个平面内有多数条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行；③空间两个相等的角所在的平面平行．A．0个 B．1个C．2个 D．3个B[对①，由两个平面平行的定义知正确；对②，若这多数条直线都平行，则这两个平面可能相交，②错误；对③，这两个角可能在同一平面内，故③错误．]2．下列命题：①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；②假如一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；③夹在两个平行平面间的平行线段相等．其中正确的命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．0C[依据面面平行的性质知①②③正确，故选C．]3．平面α∥平面β，点A、C在平面α内，点B、D在平面β内，若AB＝CD，则AB，CD的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．以上都有可能D[夹在两个平行平面间的平行线段相等，但夹在两个平行平面间的相等线段可以平行、相交或异面．]4．设平面α∥平面β，点A∈α，点B∈β，C是AB的中点，当点A，B分别在平面α，β内运动时，那么全部的动点C()A．不共面B．不论A，B如何移动，都共面C．当且仅当A，B分别在两直线上移动时才共面D．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面B[如图，不论点A，B如何移动，点C都共面，且所在平面与平面α、平面β平行．]5．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′.若PA′∶AA′＝2∶5，则△A′B′C′与△ABC的面积比为()A．2∶5 B．2∶7C．4∶49 D．9∶25C[因为平面α∥平面ABC，A′B′⊂α，AB⊂平面ABC，所以A′B′∥AB．所以A′B′∶AB＝PA′∶PA．又PA′∶AA′＝2∶5，所以A′B′∶AB＝2∶7.同理B′C′∶BC＝2∶7，A′C′∶AC＝2∶7，所以△A′B′C′∽△ABC，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶49.]二、填空题6．已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的关系是________．相交或平行[b，c⊂β，a⊂α，a∥b∥c，若α∥β，满意要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满意要求，故答案为相交或平行．]7．如图，四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD平行四边形[因为平面AC∥α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，所以AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1.又A1B1∥C1D1，所以AB∥CD．同理可证AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形．]8．已知直线a∥平面α，平面α∥平面β，则a与β的位置关系为________．a⊂β或a∥β[若a⊂β，则明显满意题目条件．若a⊄β，过直线a作平面γ，γ∩α＝b，γ∩β＝c，于是由直线a∥平面α得a∥b，由α∥β得b∥c，所以a∥c，又a⊄β，c⊂β，所以a∥β.]三、解答题9．如图，在四棱锥P­ABCD中，点E为PA的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O.求证：平面EFO∥平面PCD．[证明]因为四边形ABCD是平行四边形，AC∩BD＝O，所以点O为BD的中点．又因为点F为BC的中点，所以OF∥CD．又OF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以OF∥平面PCD，因为点O，E分别是AC，PA的中点，所以OE∥PC，又OE⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以OE∥平面PCD．又OE⊂平面EFO，OF⊂平面EFO，且OE∩OF＝O，所以平面EFO∥平面PCD．10．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N求证：N为AC的中点．[证明]∵平面AB1M∥平面BC1N平面ACC1A1∩平面AB1M＝平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N∴C1N∥AM，又AC∥A1C1∴四边形ANC1M∵M是A1C1∴AN＝C1M＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)AC，∴N为AC的中点．11．棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1A．2 B．4C．eq\f(9,2) D．5C[如图，由面面平行的性质知截面与平面ABB1A1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求MN＝eq\r(2)，CD1＝2eq\r(2)，MD1＝NC＝eq\r(5)，所以此截面的面积S＝eq\f(1,2)×(eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\r(\r(5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2)－\r(2),2)))eq\s\up12(2))＝eq\f(9,2).]12．(多选题)如图是正方体的平面绽开图，在这个正方体中，下列命题中，正确的有()A．BM∥平面DE B．CN∥平面AFC．平面BDM∥平面AFN D．平面BDE∥平面NCFABCD[绽开图可以折成如图①所示的正方体．图①图②在正方体中，连接AN，如图②所示．∵AB∥MN，且AB＝MN，∴四边形ABMN是平行四边形．∴BM∥AN.∴BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF，∴AB正确；图③如图③所示，连接NF，BE，BD，DM，CF，可以证明BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，则平面BDM∥平面AFN，同理可证平面BDE∥平面NCF，所以CD正确．]13．如图，四棱锥P­ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E、F分别是AB、CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED与AF相交于点H，则GH＝________.eq\f(\r(3),2)[因为ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB＝CD，因为E、F分别是AB、CD的中点，所以AE＝FD，又∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH，所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH.因为平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE，所以GH∥PE，所以G是PD的中点，因为PA＝PB＝AB＝2，所以PE＝2×sin60°＝eq\r(3).所以GH＝eq\f(1,2)PE＝eq\f(\r(3),2).]14.如图，四边形ABCD为矩形，A，E，B，F四点共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，∠BAE＝∠AFB＝90°.求证：平面BCE∥平面ADF.[证明]∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，又BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，∴BC∥平面ADF.∵△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°，∴∠BAF＝∠ABE＝45°，∴AF∥BE，又BE⊄平面ADF，AF⊂平面ADF，∴BE∥平面ADF.又BC⊂平面BCE，BE⊂平面BCE，BC∩BE＝B，∴平面BCE∥平面ADF.15．如图①，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝eq\f(1,2)AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P­ABCD，如图②.图①图②求证：在四棱锥P­AB