2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用3.3.2函数的极值与导数课时跟踪训练含解析新人教A版选修1-1

PAGE函数的极值与导数[A组学业达标]1．设定义在(a，b)上的可导函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的极值点的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：在极值点两侧导数一正一负，视察图象可知极值点有3个．答案：C2．“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：若函数f(x)在x＝x0处有极值，则肯定有f′(x0)＝0；反之，若f′(x0)＝0，则函数f(x)在x＝x0处不肯定有极值．所以“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件，选B.答案：B3．函数f(x)＝eq\f(3,2)x2－lnx的极值点为()A．0,1，－1 B.eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(3),3)，－eq\f(\r(3),3)解析：由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－eq\f(1,x)＝eq\f(3x2－1,x)，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(3),3)舍去)).当x>eq\f(\r(3),3)时，f′(x)>0；当0<x<eq\f(\r(3),3)时，f′(x)<0.所以当x＝eq\f(\r(3),3)时，f(x)取得微小值．从而f(x)的微小值点为x＝eq\f(\r(3),3)，无极大值点．选B.答案：B4．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于点(1,0)，则f(x)的极值状况为()A．极大值为eq\f(4,27)，微小值为0B．极大值为0，微小值为eq\f(4,27)C．极大值为0，微小值为－eq\f(4,27)D．极大值为－eq\f(4,27)，微小值为0解析：f′(x)＝3x2－2px－q，依据题意，知x＝1是函数的一个极值点，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝3－2p－q＝0，,f1＝1－p－q＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝2，,q＝－1，))所以f′(x)＝3x2－4x＋1.令f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,3)或x＝1，易推断当x＝eq\f(1,3)时，f(x)有极大值为eq\f(4,27)，当x＝1时，f(x)有微小值为0，故选A.答案：A5．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和微小值，则a的取值范围为()A．(－1,2)B．(－3,6)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－3)∪(6，＋∞)解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有微小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.答案：D6．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．解析：f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.由已知f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝eq\f(2a,18)＝1，所以a＝9，阅历证此时Δ>0，符合题意．答案：97．已知关于x的函数f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋bx2＋cx＋bc，若函数f(x)在x＝1处取得极值－eq\f(4,3)，则b＝________，c＝________.解析：f′(x)＝－x2＋2bx＋c，由f(x)在x＝1处取得极值－eq\f(4,3)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝－1＋2b＋c＝0，,f1＝－\f(1,3)＋b＋c＋bc＝－\f(4,3).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,c＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－1，,c＝3.))若b＝1，c＝－1，则f′(x)＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2≤0，此时f(x)没有极值；若b＝－1，c＝3，则f′(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，当－3<x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0.所以当x＝1时，f(x)有极大值－eq\f(4,3).故b＝－1，c＝3.答案：－138．已知函数f(x)＝2f′(1)lnx－x，则f(x解析：由于函数f(x)＝2f′(1)lnx－x，定义域为(0，＋∞)则f′(x)＝2f′(1)×eq\f(1,x)－1(x>0)，f′(1)＝2f′(1)－1，故f′即f′(x)＝2×eq\f(1,x)－1＝eq\f(2－x,x).令f′(x)>0，解得0<x<2；令f′(x)<0，解得x>2，则函数在(0,2)上为增函数，在(2，＋∞)上为减函数，故f(x)的极大值为f(2)＝2ln2－2.答案：2ln2－29．求下列函数的极值：(1)f(x)＝－x3＋12x＋6；(2)f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)－2.解析：(1)f′(x)＝－3x2＋12＝－3(x＋2)(x－2)，x∈R.令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.当x改变时，f′(x)，f(x)的改变状况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)单调递减微小值单调递增极大值单调递减当x＝－2时，f(x)有微小值，并且微小值为f(－2)＝－10；当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝22.(2)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝eq\f(2x2＋1－4x2,x2＋12)＝－eq\f(2x－1x＋1,x2＋12).令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x改变时，f′(x)，f(x)的改变状况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)单调递减微小值单调递增极大值单调递减由上表可以看出，当x＝－1时，函数取微小值f(－1)＝－3；当x＝1时，函数取极大值f(1)＝－1.10．已知函数f(x)＝ax4·lnx＋bx4－c(x>0)．在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b为常数．(1)试确定a，b的值；(2)探讨函数f(x)的单调区间．解析：(1)由题意知f(1)＝－3－c，∴b－c＝－3－c，∴b＝－3.f′(x)＝4ax3lnx＋ax4·eq\f(1,x)＋4bx3＝x3(4alnx＋a＋4b)．由题意，得f′(1)＝0，∴a＋4b＝0，解得a＝－4b＝12.经检验，a＝12，b＝－3符合题意．(2)由(1)知f′(x)＝48x3lnx(x>0)．令f′(x)＝0，解得x＝1.当0<x<1时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数；当x>1时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数．∴f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．[B组实力提升]11．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝eq\f(1,a)处有极值，则ab的值为()A．3 B．－3C．0 D．1解析：∵f(x)＝ax3＋bx，∴f′(x)＝3ax2＋b.由函数f(x)＝ax3＋bx在x＝eq\f(1,a)处有极值，得f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝3aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))2＋b＝0，∴ab＝－3.故选B.答案：B12．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则()A．a<－1 B．a>－1C．a>－eq\f(1,e) D．a<－eq\f(1,e)解析：由y′＝ex＋a＝0，得ex＝－a，∴x＝ln(－a)．∵x>0，∴ln(－a)>0且a<0，∴－a>1，即a<－1.答案：A13．函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1时，有极值10，则a，b的值分别为________．解析：由题意，知f′(x)＝3x2－2ax－b.∵x＝1是函数f(x)的极值点，且在x＝1处的极值为10，∴f′(1)＝3－2a－b＝0，f(1)＝1－a－b＋a2＝10.∴a2＋a－12＝0，∴a＝－4或a＝3.若a＝－4，则b＝11；若a＝3，则b＝－3(当a＝3，b＝－3时，无极值，故舍去)．答案：－4,1114．已知函数f(x)＝eq\f(1＋lnx,x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a＋\f(2,3)))(a>0)上存在极值，则实数a的取值范围是________．解析：f′(x)＝eq\f(1－1＋lnx,x2)＝eq\f(－lnx,x2)，令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以x＝1是函数f(x)的极大值点．又函数f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a＋\f(2,3)))(a>0)上存在极值，所以a<1<a＋eq\f(2,3)，解得eq\f(1,3)<a<1，即实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))15．设函数f(x)＝alnx＋eq\f(1,2x)＋eq\f(3,2)x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．解析：(1)因为f(x)＝alnx＋eq\f(1,2x)＋eq\f(3,2)x＋1，故f′(x)＝eq\f(a,x)－eq\f(1,2x2)＋eq\f(3,2).由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线的斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)＝0，解得a＝－1.(2)由(1)，知f(x)＝－lnx＋eq\f(1,2x)＋eq\f(3,2)x＋1(x>0)，f′(x)＝－eq\f(1,x)－eq\f(1,2x2)＋eq\f(3,2)＝eq\f(3x2－2x－1,2x2)＝eq\f(3x＋1x－1,2x2).令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(1,3)(舍去)．当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．故f(x)在x＝1处取得微小值f(1)＝3，无极大值．16．已知函数f(x)＝eq\f(2x2－kx＋k,ex)(k∈R)．(1)k为何值时，函数f(x)无极值？(2)试确定k的值，使f(x)的微小值为0.解析：(1)∵f(x)＝eq\f(2x2－kx＋k,ex)，∴f′(x)＝eq\f(－2x2＋k＋4x－2k,ex).要使f(x)无极值，只需f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成马上可．∵ex>0，∴f′(x)与g(x)＝－2x2＋(k＋4)x－2k同号．∵g(x)的二次项系数为－2，∴只能满意g(x)≤0恒成立，即Δ＝(k＋4)2－16k＝(k－4)2≤0，解得k＝4，∴当k＝4时，f(x)无极值．(2)由(1)知，k≠4.令f′(x)＝0，得x1＝2，x2＝eq\f(k,2).①当eq\f(k,2)<2，即k<4时，当x改变时，f′(x)，f(x)的改变状况如下表：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(k,2)))eq\f(k,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)，2))2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)微小值极大值令feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)))＝0，得2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\