2024-2025学年高中数学单元素养评价二推理与证明含解析北师大版选修1-2

PAGE单元素养评价(二)(第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于 ()A.28 B.32 C.33 【解析】选B.视察知数列{an}满意:a1=2,an+1-an=3n,故x=20+3×4=32.2.已知数列{an}的前n项和为Sn,则a1=1,Sn=n2an,试归纳猜想出Sn的表达式为()A.Sn=QUOTE B.Sn=QUOTEC.Sn=QUOTE D.Sn=QUOTE【解析】选A.Sn=n2an=n2(Sn-Sn-1),所以Sn=QUOTESn-1(n≥2,n∈N*),S1=a1=1,则S2=QUOTE,S3=QUOTE=QUOTE,S4=QUOTE.所以猜想得Sn=QUOTE.3.用反证法证明命题“QUOTE+QUOTE是无理数”时,假设正确的是 ()A.假设QUOTE是有理数 B.假设QUOTE是有理数C.假设QUOTE或QUOTE是有理数 D.假设QUOTE+QUOTE是有理数【解析】选D.应对结论进行否定,则QUOTE+QUOTE不是无理数,即QUOTE+QUOTE是有理数.4.已知f(x+1)=QUOTE,f(1)=1(x∈N+),猜想f(x)的表达式为 ()A.f(x)=QUOTE B.f(x)=QUOTEC.f(x)=QUOTE D.f(x)=QUOTE【解析】选B.当x=1时,f(2)=QUOTE=QUOTE=QUOTE;当x=2时,f(3)=QUOTE=QUOTE=QUOTE;当x=3时,f(4)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.……故可猜想f(x)=QUOTE.5.细致视察下面○和●的排列规律:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●…若依此规律接着下去,得到一系列的○和●,那么在前120个○和●中,●的个数是 ()A.13 B.14 C.15 【解析】选B.进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|….则前n组两种圈的总数是f(n)=2+3+4+…+(n+1)=QUOTE,易知f(14)=119,f(15)=135,所以在前120个○和●中,●的个数是14.6.我们把平面几何里相像形的概念推广到空间:假如两个几何体大小不肯定相等,但形态完全相同,就把它们叫作相像体.下列几何体中,肯定属于相像体的有()①两个球体;②两个长方体;③两个正四面体;④两个正三棱柱;⑤两个正四棱锥.A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【解析】选C.类比相像形中的对应边成比例知,①③属于相像体.7.证明命题:“f(x)=ex+QUOTE在(0,+∞)上是增函数”.现给出的证法如下:因为f(x)=ex+QUOTE,所以f′(x)=ex-QUOTE.因为x>0,所以ex>1,0<QUOTE<1.所以ex-QUOTE>0,即f′(x)>0.所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,运用的证明方法是 ()A.综合法 B.分析法C.反证法 D.以上都不是【解析】选A.从已知条件动身利用已知的定理证得结论,是综合法.8.已知函数f(x)=sin(2x+φ),满意f(x)≤f(a)对x∈R恒成立,则函数()A.f(x-a)肯定为奇函数 B.f(x-a)肯定为偶函数C.f(x+a)肯定为奇函数 D.f(x+a)肯定为偶函数【解析】选D.由题意得,f(a)=sin(2a+φ)=1时,2a+φ=2kπ+QUOTE,k∈Z,所以f(x+a)=sin(2x+2a+φ)=sin2x+2kπ+QUOTE=cos2x,此时函数为偶函数.9.(2024·浙江高考)设集合S,T,S⊆N*,T⊆N*,S,T中至少有两个元素,且S,T满意:①对于随意x,y∈S,若x≠y,都有xy∈T;②对于随意x,y∈T,若x<y,则QUOTE∈S;下列命题正确的是 ()A.若S有4个元素,则S∪T有7个元素B.若S有4个元素,则S∪T有6个元素C.若S有3个元素,则S∪T有4个元素D.若S有3个元素,则S∪T有5个元素【解析】选A.对于AB,构造S={q,q2,q3,q4},则T={q3,q4,q5,q6,q7},q≠1且q∈N*,则S∪T={q,q2,q3,q4,q5,q6,q7}共7个元素,对于CD,不妨设S={a,b,c},且a<b<c,则T={ab,ac,cb},且bc>ac>ab,所以QUOTE,QUOTE,QUOTE∈S,明显QUOTE>QUOTE,QUOTE>QUOTE,①QUOTE=b,QUOTE=a,QUOTE=a,则S={a,a2,a3},T={a3,a4,a5},S∪T有5个元素,②QUOTE=c⇒a=1,QUOTE=b,QUOTE有2种可能,(ⅰ)QUOTE=a,b=c与S为集合冲突,(ⅱ)QUOTE=b,b2=c,S=QUOTE,T=QUOTE,S∪T有4个元素,所以,当S中有三个元素时,S∪T的元素个数可为4,可为5,不唯一.10.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中.“n阶幻方(n≥3,n∈N*)”是由前n2个正整数组成的一个n阶方阵,其各行各列及两条对角线所含的n个数之和(简称幻和)相等,例如“3阶幻方”的幻和为15(如图所示).则“5阶幻方”的幻和为 ()816357492A.75 B.65 C.55 【解析】选B.依题意“5阶幻方”的幻和为QUOTE=QUOTE=65.11.如图,已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,下列推断肯定正确的是()A.AB⊥PCB.AC⊥平面PBDC.BC⊥平面PABD.平面PBC⊥平面PDC【解析】选C.因为PA⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,若AB⊥PC,则AB⊥平面PAC,所以AB⊥AC,这是不行能的,所以AB⊥PC不成立.设AC∩BD=O,连接PO,若AC⊥平面PBD,则AC⊥PO,这是不行能的,所以AC⊥平面PBD不成立.因为BC⊥AB,BC⊥PA,AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB.12.把正整数按肯定的规则排成了如下所示的三角形数表.设aij(i,j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数,如a42=8.若aij=2009,则i与j的和为 ()124357681012911131517141618202224A.105 B.106 C.107 【解析】选C.由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列,偶数行为偶数列,2009=2×1005-1,所以2009为第1005个奇数,又前31个奇数行内数的个数的和为961,前32个奇数行内数的个数的和为1024,故2009在第32个奇数行内,所以i=63,因为第63行的第一个数为2×962-1=1923,2009=1923+2(m-1),所以m=44,即j=44,所以i+j=107.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.请把答案填在题中的横线上)13.若{bn}是等比数列,m,n,p是互不相等的正整数,则有正确的结论:QUOTE·QUOTE·QUOTE=1.类比上述性质,相应地,若{an}是等差数列,m,n,p是互不相等的正整数,则有正确的结论:________.

【解析】等差数列中的an,am,ap可以类比等比数列中的bn,bm,bp,等差数列中的“差”可以类比等比数列中的“商”.等差数列中的“积”可以类比等比数列中的“乘方”.故m(ap-an)+n(am-ap)+p(an-am)=0.答案:m(ap-an)+n(am-ap)+p(an-am)=014.已知{bn}为等比数列,b5=2,则b1·b2·…·b9=29,若{an}为等差数列,a5=2,则在数列{an}中类似的结论为________.

【解析】由等差数列的性质知:a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5.所以a1+a2+…+a9=9a5=2×9.答案:a1+a2+…+a9=2×915.完成反证法证题的全过程.题目:设a1,a2,…,a7是由数字1,2,…,7随意排成的一个数列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数.【证明】假设p为奇数,则________均为奇数.①

因为7个奇数之和为奇数,故有(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)为________.②

而(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=________.③

②与③冲突,故p为偶数.【解析】由假设p为奇数可知,(a1-1),(a2-2),…,(a7-7)均为奇数,故(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0为奇数,这与0为偶数相冲突.答案:(a1-1),(a2-2),…,(a7-7)奇数016.对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式:23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19.依据上述分解规律,若m3(m∈N*)的分解式中最小的数是73,则m的值为________.

【解析】依据23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,从23起,m3的分解规律恰为数列3,5,7,9,…,若干连续项之和,23为前两项和,33为接下来三项和,故m3的首数为m2-m+1.因为m3(m∈N*)的分解中最小的数是73,所以m2-m+1=73,所以m=9.答案:9三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)如图,一个树形图依据下列规律不断生长:1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点,1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点.(1)求第11行的实心圆点的个数.(2)用an,an+1,an+2分别表示第n行,第n+1行,第n+2行的实心圆点的个数.试猜想an,an+1,an+2之间的关系.【解析】(1)前6行中实心圆点的个数依次为:0,1,1,2,3,5,据此猜想这个数列的规律为:从第3项起,每一项都等于它前面两项的和,故续写这个数列到第11行如下:8,13,21,34,55,所以第11行的实心圆点的个数是55.(2)由(1)可猜想an+2=an+an+1.18.(12分)在平面几何中,对于Rt△ABC,∠C=90°,设AB=c,AC=b,BC=a,则(1)a2+b2=c2.(2)cos2A+cos2B=1.(3)Rt△ABC的外接圆半径r=QUOTE.把上面的结论类比到空间写出类似的结论,无需证明.【解析】在空间选取三个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.(1)设三个两两垂直的侧面的面积分别为S1,S2,S3,底面积为S,则QUOTE+QUOTE+QUOTE=S2.(2)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=1.(3)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a,b,c,则这个四面体的外接球半径R=QUOTE.19.(12分)(1)用反证法证明:若a,b,c∈R,且x=a2-2b+1,y=b2-2c+1,z=c2-2a+1,则x,y,z中至少有一个不小于0;(2)用分析法证明:QUOTE-QUOTE<2-QUOTE.【证明】(1)假设x,y,z均小于0,即:x=a2-2b+1<0…①;y=b2-2c+1<0…②;z=c2-2a+1<0…③;①+②+③得x+y+z=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2<0,这与(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2≥0冲突,则假设不成立,所以x,y,z中至少有一个不小于0.(2)因为QUOTE+QUOTE>0,2+QUOTE>0,从而QUOTE-QUOTE<2-QUOTE⇐QUOTE+QUOTE<2+QUOTE⇐(QUOTE+QUOTE)2<(2+QUOTE)2⇐9+2QUOTE<9+4QUOTE⇐2QUOTE<4QUOTE⇐18<20,因为18<20成立,所以原不等式成立.20.(12分)在锐角三角形ABC中,求证:sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.【证明】因为△ABC为锐角三角形,所以A+B>QUOTE,所以A>QUOTE-B.因为y=sinx在QUOTE上是增加的,所以sinA>sinQUOTE=cosB,同理可得sinB>cosC,sinC>cosA,所以sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.21.(12分)设{an}是集合{2t+2s|0≤s<t且s,t∈Z}中全部的数从小到大排列组成的数列,即a1=3,a2=5,a3=6,a4=9,a5=10,a6=12,…,将数列{an}各项依据上小下大,左小右大的原则写成如下的三角形数表. 35691012__________________…(1)写出这个三角形数表的第四行与第五行中的各数.(2)求a100.【解析】(1)第四行的数分别为17,18,20,24,第五行的数分别为33,34,36,40,48.(2)设n为an的下标,三角形数表第一行第一个元素下标为1.其次