2024-2025学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.2不等式2.2.1第1课时不等式及其性质学案含解析新人教B版必修第一册VIP

PAGE2．2不等式2．2.1不等式及其性质第1课时不等式及其性质内容标准学科素养1.通过详细情境，感受日常生活中的不等关系．数学抽象逻辑推理2.初步学会作差法比较两实数的大小．3.驾驭不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.授课提示：对应学生用书第25页[教材提炼]学问点一不等关系不等式中文字语言与数学符号之间的转换大于小于大于等于小于等于至多至少不少于不多于><≥≤≤≥≥≤其中a≥b⇔a＞b或a＝b，a≤b⇔a＜b或a＝b.学问点二比较两个实数(代数式)大小作差法的理论依据：a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0.学问点三不等式的基本性质及推论1．不等式的性质性质别名内容性质1可加性a>b⇔a＋c>b＋c性质2可乘性a＞b，c＞0⇒ac＞bc性质3a＞b，c＜0⇒ac＜bc性质4传递性a>b，b>c⇒a>c性质5对称性a>b⇔b＜a2.不等式的推论推论别名内容推论1a＋b＞c⇔a＞c－b推论2同向不等式相加a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d推论3同向不等式相乘a＞b＞0,c＞d＞0⇒ac＞bd推论4可乘方性a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n＞1)推论5可开方性a＞b＞0⇒eq\r(a)＞eq\r(b)[自主检测]1．实数m不超过eq\r(2)，是指()A．m＞eq\r(2) B．m≥eq\r(2)C．m＜eq\r(2) D．m≤eq\r(2)答案：D2．已知a＜b＜0，c＜d＜0，那么下列推断中正确的是()A．a－c＜b－d B．ac＞bdC.eq\f(a,d)＜eq\f(b,c) D．ad＞bc答案：B3．设a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是()A．a－c＞b－d B．ac＞bdC.eq\f(a,c)＞eq\f(d,b) D．b＋d＜a＋c答案：D4．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是________．答案：f(x)＞g(x)授课提示：对应学生用书第25页探究一作差法比较大小[例1]设x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．[解析](x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)(x2＋y2)－(x－y)(x＋y)2＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝(x－y)(－2xy)．由于x＜y＜0，所以x－y＜0，－2xy＜0，所以(x－y)(－2xy)＞0，即(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类探讨．将本例中“x＜y＜0”变为“x＞y＞0解析：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝－2xy(x－y)由x＞y＞0得－2xy＜0，x－y＞0∴－2xy(x－y)＜0∴(x2＋y2)(x－y)＜(x2－y2)(x＋y)探究二用不等式的性质证明不等式[例2](1)已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).[证明]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，又∵a＞b＞0，∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0，即a－c＞b－d＞0，∴0＜eq\f(1,a－c)＜eq\f(1,b－d)，又∵e＜0，∴eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).(2)已知b克糖水中含有a克糖(b＞a＞0)，再添加m克糖(m＞0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立．[证明]eq\f(a,b)－eq\f(a＋m,b＋m)＝eq\f(ab＋m－ba＋m,bb＋m)＝eq\f(ma－b,bb＋m)，∵b＞a＞0，m＞0，∴a－b＜0，eq\f(ma－b,bb＋m)＜0，∴eq\f(a,b)＜eq\f(a＋m,b＋m).利用不等式的性质证明不等式留意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题肯定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并留意在解题中敏捷精确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应留意紧扣不等式的性质成立的条件，且不行省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.探究三求表达式的范围[例3]已知30＜x＜42,16＜y＜24，分别求x＋y，x－3y及eq\f(x,x－3y)的范围．[解析]因为30＜x＜42,16＜y＜24，所以30＋16＜x＋y＜42＋24，故46＜x＋y＜66.又30＜x＜42，－72＜－3y＜－48，所以30－72＜x－3y＜42－48，故－42＜x－3y＜－6.又30＜x＜42，－42＜x－3y＜－6，所以－eq\f(1,6)＜eq\f(1,x－3y)＜－eq\f(1,42)，所以0＜eq\f(1,42)＜－eq\f(1,x－3y)＜eq\f(1,6)，所以eq\f(30,42)＜－eq\f(x,x－3y)＜eq\f(42,6)，故－eq\f(42,6)＜eq\f(x,x－3y)＜－eq\f(30,42)，得－7＜eq\f(x,x－3y)＜－eq\f(5,7).依据某些代数式的范围求其它代数式的范围，要整体应用已知的代数式，结合不等式的性质进行推理.已知1＜a＜2,3＜b＜4，求下列各式的取值范围．(1)2a＋b(2)a－b；(3)eq\f(a,b).解析：(1)∵1＜a＜2，∴2＜2a又3＜b＜4，∴5＜2a＋b(2)∵3＜b＜4，∴－4＜－b＜－3.又∵1＜a＜2，∴－3＜a－b＜－1；(3)3＜b＜4；∴eq\f(1,4)＜eq\f(1,b)＜eq\f(1,3).又∵1＜a＜2，∴eq\f(1,4)＜eq\f(a,b)＜eq\f(2,3).授课提示：对应学生用书第26页一、借不等式性质之根“移花接木”——不等式性质的拓展eq\x(►逻辑推理)1．由不等式性质4：a＞b，c＞0，那么ac＞bc拓展为倒数性质：若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞b,ab＞0))，则eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).证明：∵ab＞0，∴eq\f(1,ab)＞0由a＞b得a×eq\f(1,ab)＞b×eq\f(1,ab).∴eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)，即eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).2．由性质7：假如a＞b＞0，那么an＞bn.(n∈N且n≥1)．拓展为开方性质：假如a＞b＞0，那么eq\r(n,a)＞eq\r(n,b).(n∈N且n≥2)．证明：假设0＜eq\r(n,a)≤eq\r(n,b).由性质7得(eq\r(n,a))n≤(eq\r(n,b))n∴a≤b与a＞b冲突．∴eq\r(n,a)＞eq\r(n,b).[典例]已知a＞b＞0，求证eq\r(a)＞eq\r(b).[证明]∵a＝(eq\r(a))2，b＝(eq\r(b))2.由a＞b得：(eq\r(a))2＞(eq\r(b))2＞0∴eq\r(a)＞eq\r(b).二、同样正确用不等式性质，差别这么大[典例]已知1≤a－b≤2,2≤a＋b≤4，求4a－2b[解析]设4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b＝(m＋n)a＋(n－m)b，于是得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4,n－m＝－2))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3,n＝1))，∴4a－2b