平面向量专题极化恒等式解决向量数量积问题

平面向量专题：极化恒等式解决向量数量积问题一、极化恒等式及其推论：1、极化恒等式：（1）公式推导：（2）几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的eq\f(1,4)．2、平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)[|AC|2－|BD|2]．3、三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|AD|2－|BD|2．（1）推导过程：由.（2）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．（3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．二、极化恒等式的作用和使用范围1、极化恒等式的作用：建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的互相转化。2、极化恒等式的适用范围：（1）共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化；（2）不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题。三、极化恒等式使用方法在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下：第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点；第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；第三步：利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积，如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。题型一求向量数量积的定值【例1】（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（）A．32B．32C．16D．16【答案】D【解析】由题设，，，.故选：D【变式11】（2023秋·辽宁·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）如图，在四边形中，，，为中点.，求的值（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，为中点，，根据极化恒等式可得：，，，.故选：A.【变式12】（2022秋·江苏·高三南京市第十三中学校考期中）如图，已知M，N是边BC上的两个三等分点，若，，则=_______________．【答案】4【解析】取MN中点E，由向量数量积的极化恒等式，∴，∴，∴．【变式13】（2022秋·湖南·高二益阳统考阶段练习）在中，是边上的中点，且，，，，则__________．【答案】1【解析】，同理可得，又，，所以，所以，，.题型二求向量数量积的最值范围【例2】（2022·浙江·高一校联考期中）在平面四边形中，，，.若点为线段上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，连接，取中点为，作图如下：，在三角形中，由余弦定理可得：，即，则，故，显然当且仅当时，取得最小值，故，的最小值为.即的最小值为.故选：【变式21】（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）已知正方形的边长为是它的外接圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当弦的长度最大时，弦过正方形的外接圆的圆心，因为正方形的边长为2，所以圆的半径为，如下图所示：则，，所以，.因为点为正方形四条边上的动点，所以，又，所以，故选：A.【变式22】（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史㤵久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．如图甲是一个正八边形窗花隔断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图．已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，取AB的中点O，连接MO，连接，分别过点，点作的垂线，垂足分别为，由极化恒等式可得：，当点M与点F或点E重合时，取得最大值，易得四边形为矩形，为等腰直角三角形，则，，则，，取得最大值为，所以的最大值为，故选：D.【变式23】（2022·全国·高三专题练习）已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(＋)的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】取OC中点D，由极化恒等式得又，∴的最小值为．故选:C.【变式24】（2022·全国·高三专题练习）在正三角形中，点是线段的中点，点在直线上，若三角形的面积为，则的最小值是___________【答案】【解析】取中点，由正的面积为，，的高为，数形结合得，的最小值为的高，即，所以，所以.故答案为：题型三求参数及其他问题【例3】设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有.则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，取的中点D，由极化恒等式可得：，同理，，由于，则，所以，因为，D是的中点，于是.故选：D.【变式31】（2020春·山西运城·高一统考期中）已知正方形的边长为4，点，分别为，的中点，如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有8个不同的点，使得成立，那么的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图所示,设的中点为,则,两式平方相减得，所以（可由计划恒等是直接得出），即，所以,由对称性可知每个边上存在两个点，所以点在边的中点和顶点之间，故,解得，故选:D【变式32】（2022·浙江温州·高一永嘉中学统考竞赛）如图，在中，的内角平分线交于点，过作于点，则的值是____.【答案】【解析】取的中点，易得，则，过作交延长线于，连接，由角平分线定理可得，，则，又，则，则，则，即，