浅析分数与除法的内在联系

人教版数学五年级下册《分数与除法》单元的教学重点是理解分数既可以表示一个具体的量，又可以表示两个量之间的关系；教学难点是理解分数与除法之间的关系。为突破以上教学重难点，笔者教学该单元内容时基于单元整体教学理念做了如下尝试。一、综合分析，确定教学目标教学前，笔者综合分析了人教版、苏教版和北师大版教材中关于“分数与除法”的相关内容。人教版教材先给出“把1个月饼平均分给4个人”的例题情境，旨在引导学生感受除法的商可以用分数表示。在此基础上，教材呈现第二个例题情境“把3个月饼平均分给4个人”，并提示了两种分法——一个一个地分（3个[14]个是[34]个）、三个摞在一起分（3个[14]是[34]个），进而引出分数与除法的关系。苏教版教材在人教版的两个例题的基础上又给出第三个例题情境——3个月饼平均分给5个人，然后引出分数与除法的关系。北师大版教材用一个例题呈现了两个情境——1个饼平均分给2个人、7个饼平均分给3个人，最终也引出了分数与除法的关系。三个版本的教材均采用了分饼的情境引出分数与除法的关系，人教版和苏教版大致相同，苏教版多一个例题，北师大版与其他版本差异较大，直接从[12]过渡到[73]。随后，笔者对学生学情做了如下分析：在三年级上学期的学习中，学生初步认识了分数，知道了分数各部分的名称，能够读、写简单的分数，能够比较分子是1的分数和同分母分数的大小，会计算简单的同分母分数加减法。但是从三年级初步认识分数到五年级再次认识分数的意义，学生所见到的分数基本上是分子比分母小的真分数。在许多学生心目中，分数表示的是部分与整体的关系，部分只能小于或等于整体，不可能超过整体，所以学生很难理解假分数的含义，这就需要教师通过多种情境活动进一步拓展和延伸分数的意义，让学生充分把握分数的本质特征。分数有不同的意义，学生印象最深的就是分数的比率意义，即部分与整体的關系，而本节内容要引导学生感受和理解分数作为商可以表示数量。量和率的辨析向来是分数教学的难点。如何突破这个难点呢？多数学生的学习经验中只有真分数，而假分数、带分数在实际生活中有重要的意义，因此，笔者决定借助分饼这个大情境，引导学生感受真分数、假分数、带分数是一脉相承的。综合以上分析，笔者将本单元的教学目标确定如下：①结合具体情境，理解分数与除法之间的关系，会用分数表示两个数相除的商，知道分数既可以表示一个具体的量，又可以表示两个量之间的关系；②借助观察比较活动，培养学生归纳推理的意识和能力，提高学生的抽象、概括能力，培养学生自主分析问题和解决问题的能力；③在探索分数与除法关系的过程中，增强学生的交流与合作意识，培养学生的探索精神，帮助学生养成用数据说话的习惯，促进学生感悟数学与生活的联系。二、创设情境，理解分数与除法的关系教学中，笔者创设了如下分饼情境，引导学生写出计算过程，并用自己喜欢的方式解释思考过程，逐步梳理分数与除法的关系，感受如何用分数表示商。①8个饼平均分给4个人，每人分得几个饼？②1个饼平均分给2个人，每人分得几个饼？③1个饼平均分给4个人，每人分得几个饼？围绕情境①，学生均能列得出式8÷4=2（个）。围绕情境②，有的学生列式得出1÷2=0.5（个），有的列式得出1÷2=[12]（个）。笔者让学生解释算式中[12]的含义，当有学生答出“把1个饼平均分成两份，每份就是[12]”后，笔者让学生回顾情境1的具体问题“每人分得几个饼”，引导学生将“每份就是[12]”的说法更正为“每人分得[12]个饼”。围绕情境③，有的学生画线段图并列式得出1÷4=0.25，有的学生画饼图并列式得出1÷4=[14]。笔者让学生分别解释各自的思考过程。画线段图的学生解释：把1条线段看成1个饼，平均分给4个人，用除法计算，每人得到0.25个饼；画饼图的学生解释：把1个圆看成1个饼，平均分给4个人，用除法计算，每人得到0.25个饼或者说[14]个饼。笔者提示：虽然图形不一样，但得到的结果是一样的，也就是说，当除法的商不是整数时，除了用小数表示商，还可以用分数表示商。至此，学生初步理解了分数与除法的关系。为让学生深入理解分数与除法的关系，笔者创设新的分饼情境：3个饼平均分给4个人，每人分得几个饼？学生列出算式“3÷4”后迟迟写不出答案。笔者引导学生先大胆估一估、猜一猜，再通过折一折、剪一剪、拼一拼的方式研究。学生小组合作探究后，派代表汇报。学生代表1用圆片代替饼，现场剪、分后，汇报如下：我们把第1个饼平均分成4份，每人得到一小块，剩下的两张饼也像这样分，最后每个人手里拿到了3个[14]块，合起来就是[34]个饼。笔者指导学生把分到的饼贴到黑板上，在每一个圆片下面均写“[14]个”，进而直观地得到[34]个饼。学生代表2汇报：我们把3个饼摞在一起，同时分成4份，每人拿走其中1份，也就是3个[14]，合起来就是[34]个饼。此时，有学生提出异议，认为合起来应该是[312]个饼。该学生代表一时也给不出合理的解释。笔者请“外援团”帮忙解答这个疑问。有学生说：[312]是拿走部分占整体的[312]，也就是3个饼的[312]，不是饼的个数；还有学生补充，不能说[312]个，它是占3个饼的[312]，我们要求的是几个饼，就是和1个饼比的，不是和3个饼比的。笔者肯定了学生的质疑精神和理性思考，并让学生把手里的3个饼的[14]拼在一起，看看究竟是[34]个饼还是[312]个饼。学生动手操作后，发现每人得到[34]个饼。笔者提示：我们可以说每人分到的饼占整体的[312]，但如果说饼的个数，只能说每人分得[34]个饼。学生代表3汇报：我们把前2张饼摞在一起，直接剪一刀平均分成4块，每人拿走其中1块，也就是[12]个，再把第三个饼平均分成4份，每人分得[14]个，合起来也是[34]个饼。也就是说，[12]个加上[14]个，拼在一起就是[34]个。笔者指出，分饼时既可以一个一个地分，也可以摞在一起分，还可以先分前两个再分第三个，虽然过程不同，但得到的结果“[34]个”是相同的。随后，笔者用动画演示这三种分饼过程，让学生边看边思考，从相应的除法算式和结果中发现规律，抽象、概括出分数与除法的关系。学生发现：被除数相当于是分子，除数相当于分母，除号相当于分数线；如果用字母表示，a除以b就是b分之a（b不等于0）。三、拓展延伸，升华学生对分数的认知拓展延伸环节，笔者继续创设分饼情境“5个饼平均分给4个人，每人分得几个饼”，引导学生利用前面概括的分数和除法的关系，探究[54]个、1[14]个的关系，升华学生对分数的认知。有的学生发现应列式“5÷4”，按照刚才得出的关系，结果应该写作[54]。有的学生上讲台拼5个[14]个饼，得到[54]个饼。有的学生认为可以先每人分得1