2018届高考高三数学二轮复习课后训练含解析(江苏省)

2018届高考高三数学二轮复习

课后专题训练

目录

专题一函数........................................................................1

第1讲函数的图象与性质............................................................1

第2讲基本初等函数................................................................5

第3讲分段函数与绝对值函数.......................................................8

第4讲函数的零点问题............................................................12

第5讲函数的综合应用............................................................16

专题二导数.........................................................................20

第6讲曲线的切线................................................................20

第7讲函数的单调性..............................................................23

第8讲函数的极值与最值..........................................................26

第9讲导数及其应用..............................................................29

专题三不等式.....................................................................33

第10讲三个“二次”的问题.......................................................33

第11讲基本不等式与线性规划.....................................................37

专题四三角函数、向量与解三角形......................................................42

第12讲三角函数的化简与求值.....................................................42

第13讲三角函数的图象及性质.....................................................46

第14讲正、余弦定理及其应用.....................................................50

第15讲平面向量数量积............................................................53

第16讲向量与三角函数的综合问题.................................................56

专题五立体几何....................................................................60

第17讲直线与平面的位置关系.....................................................60

第18讲平面与平面的位置关系.....................................................65

第19讲立体几何中的计算.........................................................69

专题六解析几何....................................................................73

第20讲直线与圆...............................................................73

第21讲隐性圆问题................................................................75

第22讲圆锥曲线的基本量计算.....................................................81

第23讲圆锥曲线中定点、定值问题.................................................85

第24讲圆锥曲线中最值、范围问题.................................................89

第25讲圆锥曲线中探索性问题.....................................................93

专题七数列.......................................................................97

第26讲等差、等比数列的基本运算.................................................97

第27讲等差、等比数列的判定与证明..............................................100

第28讲等差、等比数列的综合应用................................................103

第29讲数列的求和及其运用......................................................107

第30讲数列中的创新性问题......................................................110

专题八思想方法...................................................................114

第31讲函数方程思想............................................................114

第32讲数形结合思想............................................................118

第33讲分类讨论思想............................................................123

第34讲化归转化思想............................................................127

专题九理科附加..................................................................131

第35讲曲线与方程..............................................................131

第36讲空间向量与立体几何......................................................135

第37讲随机变量及其分布列......................................................141

第38讲数学归纳法..............................................................144

第39讲计数原理与二项式定理....................................................148

专题一函数

第1讲函数的图象与性质

1.(2016・江苏卷)函数y=43—2x-X?的定义域为.

答案：[—3,1]

解析：由3—2x—x?，。得x?+2x—3W0,解得xe[—3,1].

2.(2017•苏州暑假测试)已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时，f(x)=2X—x2,则f(0)+f(—

1)=•

答案：一1

解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以R0)=0,f(—1)=一戈1)=一(2—1)=-1,因此f(0)

+f(—1)=-1.

3.已知出x)是定义在R上的函数，且f(x)=f(x+2)恒成立，当xd[—1,1]时,f(x)=x2,则当xd[2,

3]时，函数%x)的解析式为.

答案：f(x)=(x—2尸

解析：因为函数满足f(x)=f(x+2),所以函数周期为2.又xd[2,3],x-2G[0,1],则f(x)=f(x

-2)=(x-2)2.

2x-3,x>0,

4.(2017・无锡期末)已知收)=/、是奇函数，则f(g(-2))=

g(x),x<0

答案：1

解析：因为Rx)是奇函数，所以g(—2)=f(—2)=-12)=-1,从而出g(—2))=f(—l)=-f(l)=

1.

5.若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(l)=l,f(2)=2,则f(8)—f(14)=.

答案：一1

解析：f(8)-f(14)=fi[3)-f(4)=f(-2)-f([-l)=-f(2)+f(l)=-l.

6.已知函数f(x)=x+；(a>0),当xd[l,3]时，函数f(x)的值域为A.若A=[8,16],则a的值等

于.

答案：15

aW16x-x2

、2，对任

{a》8x-x

aW15,

意的xG[l,3]恒成立,当x€[l,3]时，16X-X2G[15,39],8x-x2G[7,15],所以即a

a215,

的值等于15.

7.定义在(一1,1)上的函数f(x)=-5x+sinx,如果f(l-a)+f(l-a2)>0,那么实数a的取值范

围是.

答案：(1,.)

解析：函数为奇函数，在(一1,1)上单调递减，由f(l-a)+f(l-a2)>0,得f(l-a)>f(a2-l).所

-l<a2-l<l,所以

J—a<a2—1,

8.(2017•南京、盐城二模)若函数f(x)=x2-mcosx+

m2+3m-8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为.

答案：{2}

解析：由题意，得出x)是偶函数，若f(x)有唯一零点，故f(0)=0,由出0)=0,得m?+2m—8=0,

解得m=2或m=-4.当m=2时，f(x)=x2-2cosx+2=x2+4sin22，有唯一零点x=0;当m=-4

时，f(x)=x2+4cosx—4.因为f(2)=4cos2<0,n2—8>0,所以在(2,n)内也有零点，不合题

意.

9.已知函数f(x)=x2+2x+1,如果使f(x)Wkx对任意实数x£(l,m]都成立的m的最大值是5,

则实数k=.

答案遭

解析：设g(x)=f(x)—kx=x2+(2—k)x+l,设不等式g(x)W0的解集为aWxWb,则A=(2—kp

-420,解得k24或kWO.因为函数RX)=X2+2X+1,且Rx)Wkx对任意实数xG(l,m]恒成立，

所以(1,m]£[a,b].所以aWl,b'm.所以g(l)=4—kV0,解得k>4.因为m的最大值为b,所以

b=5,即x=5是方程g(x)=O的一个根，代入x=5即可解得k=当.

10.设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足条件y=f(x+l)是偶函数，且当x》l时，f(x)=2

-1,则嗫出|),必)的大小关系是.(按从大到小的顺序排列)

231

答案：f(3)>f(2)>f(3)

解析：函数y=f(x+1)是偶函数，所以f(-x+l)=f(x+1),即函数关于直线x=l对称.所以

=f(1),f(|)=f(|),当x，l时，Rx)=d)x—1单调递减，所以由1V，f(1)>f(1)>f(1),即若)

11.已知二次函数f(x)=ax2—4x+c的值域为[0,+8).

(1)判断此函数的奇偶性，并说明理由；

(2)判断此函数在+8)上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；

a

(3)求出f(x)在[1,+8)上的最小值g(a),并求g(a)的值域.

解：(1)由二次函数f(x)=ax?—4x+c的值域为[0,+°°),

4ac—16

得a>0且飙=0,解得ac=4.

*.*fi[l)=a+c—4,f(—l)=a+c+4,a>0且c>0,

・・・f(-1)#瑁),f(—l)W—f(l),

・•・此函数是非奇非偶函数.

2222

(2)函数在仁，+8)上单调递增.设X],X2是满足X2>X]2=的任意两个数，从而有X2一二>X1一二

aaaa

22

20,・・・(x2-^)>(xi-^).

又a>0,

22

a(x—~)2>a(X]--)2,

2aa

2424

从而a(x--)9+c—7>a(x--)29+c--,

2aaa[a

即ax2-4X2+c>axf-4x]+c,

从而f(x2)>f(xi),

2

/.函数在[:，+8)上单调递增.

a

12

(3)f(x)=ax~—4x+c,又a>0,x=T,x^[l,+°°).

0a

2

当x()==21,即0<aW2时，最小值g(a)=f(x())=O.

a

2

24

当xo="<L即a>2时，最小值g(a)=f(l)=a+c—4=a+=-4.

aa

0(0<aW2),

综上，最小值g(a)={4*<八

a+:一4(a>2).

、a

当Ova近2时,最小值g(a)=O;

4

当a>2时，最小值g(a)=a+1—4W(0,+°°).

a

综上，y=g(a)的值域为［0,+°°).

12.已知函数f(x)=x2—2ax(a>0).

(1)当a=2时，解关于x的不嗓式：—3<f(x)<5；

(2)对于给定的正数a,有一个最大的正数M(a),使得在整个区间［0,M(a)］上，不等式|f(x)|W5

恒成立.求出M(a)的解析式；

(3)函数y=f(x)在［t,t+2］上的最大值为0,最小值是一4,求实数a和t的值.

解：(1)当a=2时,f(x)=x2-4x.

X2—4x—5<0①，

一3vf(x)<502,

［X2-4X+3>0②.

由①得，一l<x<5,由②得，x<l或x>3,所以不等式组的解集为(-1,1)U(3,5).

(2)因为a>0,当一a2<-5,即时，要使|f(x)|<5在x《［0,M(a)］上恒成立，则M(a)只能

是X2—2ax=—5的较小根，即M(a)=a~\/a2—5.

当一SWTvO,即0<aW小时，要使|f(x)|W5在xd［0,M(a)］上恒成立，则M(a)只能是x?—2ax

=5的较大根，即M(a)=a+4古石.

a-\/a2—5(a>J5),

所以M(a)=，——

.a+4a~+5(0<a^\5).

(3)f(x)=(x—a)2—a?(tWxWt+2),显然f(0)=f(2a)=0.

若t=0,则a2t+l,且如沁仪)=曲)=-4,或％„(x)=f(2)=-4,

当f(a)=—a2=—4时，a=±2,a=-2不合题意，舍去.

当:2)=2?-2aX2=-4时,a=2.

若t+2=2a,则aWt+1,且fmi£x)=f(a)=-4,或fmbl(x)=f(2a-2)=—4,

当Ra)=-a2=—4时，a=±2,若a=2,则t=2,符合题意；

若a=—2,则与题设矛盾，不合题意，舍去.

当f(2a_2)=(2a_2)2_2a(2a-2)=_4时,a=2,t=2.

a=2,a=2,

综上所述，■和符合题意.

t=0t=2

13.已知函数f(x)=x+：(x>0).

(1)若avO,试用定义证明:f(x)在(0,+8)上单调递增;

⑵若a>0,当x£［l,3］时不等式f(x)22恒成立，求a的取值范围.

(1)证明：若a<0,设O<X］VX2,

则f(xI)—f(x)=(X1-x)(1■

22X］X2

因为X1—X2<0,1,

A1A2

所以f(xI)—f(x2)<0,即f(x］)<f(x2),

故f(x)在(0,+8)上单调递增.

(2)解：若a>0,则f(x)在(0,g)上单调递减，在(黄，+8)上单调递增.

①若OVaWl,则f(x)在［1,3］上单调递增,fmin(x)=f(l)=l+a.

所以l+a22,即a2l,所以a=l.

②若l<a<9,则f(x)在［1,上单调递减，在［,，3］上单调递增，

3

%in(x)=f6「)=23.所以2622,即a2l,

所以l<a<9.

③若a29,则f(x)在［1,3］上单调递减，Wx)=f(3)=3+1.

所以3+：22,即a》-3,所以a29.

综合①②③可知，a，l.

故a的取值范围是［1,+8).

4

第2讲基本初等函数

1.(2017•苏锡常镇调研(一))函数f(x)=m(4；—3)的定义域为-

3

答案：q,i)u(i,+8)

4x—3>0,33

解析：由题意可得,、解得x>?且x大1,故所求函数的定义域为(?，1)U(1,+

In(4x—3)W0,彳今

8).____________

2.函数y=、Jlog2(2x—1)的定义域是.

答案：(],1]

解析：依题意有log2(2x—1)20,即0<2x—1W1,解得/〈xMl.

3

(f(x—4),x>2,

3.已知函数f(x)=卜，-2WxW2,则f(—2017)=.

[f(-x),x<—2,

答案：e

解析：f(-2017)=f(2017)=f(l)=e.

X+13

2II+X+2

4.已知函数f(x)=_2|X|_1_1的最大值为M,最小值为m,则M+m=.

答案：4

2M+1+X3+2X3X3

解析：Rx)=-2|x_|_1=2+产百，令g(x)=2lx；+],则g(x)为奇函数，最大值与最小值互为

相反数，因此M+m=4.

5.(2018•南京调研)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(-8,0]上为单调增函数.若f(一

1)=-2,则满足f(2x—3)W2的x的取值范围是.

答案：(一8,2]

解析：因为f(x)在R上是奇函数且在(一8,0]上单调递增，所以f(x)在R上单调递增.又共一

1)=-2,所以f(l)=2,所以f(2x-3)W2=f(l),所以2x-3Wl,即x<2.

[21-x,xWl,

6.设函数f(x)=<,1则满足f(x)W2的x的取值范围是________.

II-lOg2X,X>l,

答案：[0,+°°)

[xWl,fx>l,

解析：由题意得「X一或.一解得OWxWl或X>1.综上，x》0.

121xw2[l-k)g2xW2,

7.(2017・镇江期末)不等式1082*—1112*<4匕>0,a#l)对任意xG(l,100)恒成立，则实数a的取

值范围是.

答案：(0,1)U(£,+8)

解析：不等式logaX-ln?xV4可化为"二一后\<4,即+lnx对任意x£(l,100)恒成立.因

inainainx

411

为x0(l,100),所以lnx£(0,21n10),7~—+lnx24,故1;—­<4,解得InaVO或Ina>彳，即OVa

illxillaq

I

<1或a>e\

8.(2018•苏州测试)已知函数f(x)=x2+abx+a+2b.若f(0)=4,则f(l)的最大值为.

答案：7

解析：因为阳))=4,所以a+2b=4,即a=4-2b,所以f(l)=ab+a+2b+1=ab+5=(4-2b)b

5

+5=-2b2+4b+5=-2(b-l)2+7,所以当b=l时，出1)的最大值为7.

9.若函数f(x)=ln(ax2+x)在区间(0,1)上单调递增，则实数a的取值范围是________.

答案：［一=+8)

解析：当a=0时，f(x)=lnx显然满足条件；当a>0时，令t(x)=ax2+x=a(x+《)2一上，易知

lol1

t(x)的图象的对称轴在y轴的左侧，满足要求；当a<0时，t(x)=ax0~+x=a(x+Ky—_只需—

zaqaZa

1即可，解得一;Wa〈0.综上可知a》一：

10.(2018•苏州测试)设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x20时，f(x)=2x,若对任意的xW［a,

a+2］,不等式f(x+a)》尸(x)恒成立，则实数a的取值范围是_______.

答案：(-8,-|］

解析：由题意得f(x)=2冈，所以对任意的x《［a,a+2］,2»目》(2冈产恒成立，即|x+a|》2|x|对任

意的xG［a,a+2］恒成立，所以3x2—2ax—a20对任意的xG［a,a+2］恒成立，所以

3a2-2a2-a2<0,〜-3

3(a+2)2—2a(a+2)—aYo,解"2,

11.已知函数f(x)=ak+M(a>0,aWl,b€R).

(1)若f(x)为偶函数，求b的值；

(2)若f(x)在区间［2,+8)上是增函数，试求a,b应满足的条件.

解：(1)因为Rx)为偶函数，

所以对任意的xGR,都有H—x)=f(x),

即小+时=/丑+曾|x+b|=|-x+b|,解得b=0.

x+b,x2-b,

(2)记h(x)=|x+b|=j,

—x—b,x<-b.

①当a>l时，Rx)在区间［2,+8)上是增函数，

即h(x)在区间［2,+8)上是增函数，

所以一b<2,b》一2.

②当0<a<l时，f(x)在区间［2,+8)上是增函数，

即h(x)在区间［2,+8)上是减函数，但h(x)在区间［―b,+8)上是增函数，

故不存在a,b的值，使f(x)在区间［2,+8)上是增函数.

所以f(x)在区间［2,+8)上是增函数时，a,b应满足的条件为a>l且b»—2.

12.设f(x)=loga(l+x)+loga(3—x)(a>0,a#l),且f(l)=2.

(1)求a的值及f(x)的定义域；

_3

(2)求f(x)在区间［0,N上的最大值.

解：(1)因为以)=2,

所以loga4=2(a>0,a*I),所以a=2.

1+x>0,

由i得XW(—1,3),

,3—x>0,

所以函数f(x)的定义域为(一1,3).

2

(2)f(x)=log2(l+x)+log2(3—x)=log2［(1+x)-(3-x)］=log2［—(x-1)+4］,

所以当xG(—1,1］时，f(x)是增函数；

当xG(l,3)时，f(x)是减函数,

3

故函数f(x)在［0,］］上的最大值是f(l)=log24=2.

13.已知函数f(x)=(x-2)eX+a(x-l)2有两个零点.

(1)求a的取值范围；

(2)设X”X2是4X)的两个零点，求证：X］+X2<2.

6

(1)解：f(x)=(x-l)ex+2a(x-l)=(x-l)(ex+2a).

①若a=0,则f(x)=(x-2)eX,f(x)只有一个零点.

②若a>0,则当xG(—8,1)时,f(x)<0;当xG(l,+8)时,针(x)>0,

所以f(X)在(一8,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

又f(l)=-e<0,fiJ2)=a>0,取b满足b<0且b<ln|,

则f(b)>|(b—2)+a(b—l)2=a(b2—1b)>0,

故f(x)存在两个零点.

③若a<0,由P(x)=O得x=l或x=ln(—2a).

若心一宗则ln(-2a)Wl,故当xG(l,+8)时,f'(x)>0,

因此f(x)在(1,+8)上单调递增.又当xWl时Rx)VO,所以f(x)不存在两个零点.

若a<一右则In(­2a)>l,故当x©(l,In(—2a))时，f'(x)<0：当xC(ln(-2a),+8)时，f，

(x)>0因此f(x)在(1,In(-2a))上单调递减，在(In(—2a),+8)上单调递增.又当xWl时，f(x)<0,

所以f(x)不存在两个零点.

综上，a的取值范围是(0,+°°).

(2)证明：不妨设x】Vx2,由(1)知X|£(-8,1),x2e(l,+8),2-X2G(-OO,1),f(x)在(一

°°,1)上单调递减，所以XI+X2<2等价于f(Xj)>f(2—x2),

即出2—X2)V0.

—-2

由于f(2—X2)=x2e2—X2+a(X21),

而f(x2)=(x2—2)ex2+a(x2—1y=0,

所以f(2-X2)="X2e2-X2-(X2-2)ex2.

设g(x)=—xe2-x—(x—2)ex,

则gXx)=(x-l)(e2-x-ex).

所以当x>l时，g'(x)<0,而g(l)=0,故当x>l时,g(x)<0.

从而g(x2)=f(2—x2)<0,故XI+X2<2.

7

第3讲分段函数与绝对值函数

（1

（7）*（xWO）,i

1.f（x）=,3贝Uf（f（9））=

Jog3X（X>O），

答案：9

解析：因为f(/)=log3/=—2,

11

所以f(f(§))=f(_2)=q)—29=9.

2.已知函数f(x)满足f(.；闪)=1。敢\/日冈|,则f(x)的解析式是

答案：f(x)=—log2x

解析：根据题意知X>0,所以f(1)=k)g2X,则f(x)=log2：=—log2X.

3.若函数f(x)=|2x+a|的单调增区间是［3,+8),则@=.

答案：一6

解析：由图象易知函数f(x)=|2x+a|的单调增区间是［一/+°°),令一：3,所以a=-6.

4'设定义域为R的[lx函—41数,x所20(,2+4X+4,x<°若,函数g(x)=『(x)r2m+.)f(x)+m2有7个零

点，则实数m=.

答案：2

解析：作出f(x)的图象，如图.设t=f(x),则函数g(x)=f(x)—(2m+1)氏x)+m2可转化为g(t)

=t2—(2m+l)t+m2.

由函数有7个零点，结合图象，可知函数8编=12—(2111+1)1+012必有一个零点为4,代入t=4

得16—4(2m+l)+m2=O,解得m=2或m=6.

代入检验，当m=6时，f(x)=4或f(x)=9,f(x)=4有3个不同实根，f(x)=9有2个不同实根,

不符合题意；当m=2时，f(x)=l或f(x)=4,f(x)=l有4个不同实根，f(x)=4有3个不同实根,

符合题意.故m=2.

5.若函数的=门一/>0,a#l)满足f(l)J则f(x)的单调减区间是

答案：［2,+8)

解析：由f(D=^,得a2=*解得a=：或a=—/舍去)，即f(x)=(乎、一可.由于y=|2x-4|在(一

8,2］上递减，在［2,+8)上递增，所以f(x)在(-8,2］上递增，在［2,+8)上递减.

f(x),x>0,

6.已知奇函数y=/、八如果f(x)=aX(a>0,且aWl)对应的图象如图所示，那么g(x)

g(x)，x<0.

答案：-2X(X〈O)

8

解析：依题意，出1)=3，所以a=g,所以Rx)=(%x>0.当x<0时，-x>0,所以8仪)=一4一

x)=_g)f=_2'.

7.设函数Rx)=|x+a|,g(x)=x—1,对于任意的x£R,不等式f(x)2g(x)恒成立，则实数a的

取值范围是.

答案：[-1，+°°)

解析：如图，作出函数f(x)=|x+a|与g(x)=x—1的图象，观察图象可知，当且仅当一aWl,即

a2—1时，不等式Rx)2g(x)恒成立，因此a的取值范围是[―1,+°°).

—x2+x,xWl,

8.已知函数f(x)=」og1X,x>i.

、3

(1)若对任意的x£R,都有f(x)W|k-1|成立，则实数k的取值范围是:

(2)若存在x£R,使|f(x)|Wk,则实数k的取值范围是.

35

答案：(1)(-8,-]U[^,H-oo)(2)[0,+00)

解析：⑴对任意x£R,都有f(X)W|k-1|成立，即％ax(X)W|k-l|.

因为Kx)的草图如图所示，

—x2+x,xWl,

iii

观察f(X)=jbg]X,X>1的图象可知，当X=5时，函数fmax(X)=W，所以上一1|，不解得k

、3

号3或k斗5

(2)|f(x)|的图象如图所示且用x)|£[0,+8),因为存在乂£凡使怅x)|Wk,故k的取值范围是[0,

+°0).

一，x22,

9.已知函数f(x)=jx若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取

[(X—1)3,x<2.

值范围是.

答案：(0,1)

解析：作出函数y=f(x)的图象如图.则当Ovkvl时，关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根.

9

10.对于函数丫=出*)仪6对，下列命题正确的是.(填序号)

①函数y=f(x)和函数y=-f(—x)的图象关于原点对称；

②函数y=f(l—x)与y=f(x—1)的图象关于直线x=0对称；

③若f(l—x)=f(x—l),则函数y=f(x)的图象关于直线x=l对称；

④若f(l+x)=f(x—1),则函数y=f(x)是周期函数；

⑤若f(x—1)+瑁-x)=0,则函数y=f(x)的图象关于原点对称.

答案：①④⑤

解析：对于①，因为函数y=f(-x)与函数y=-f(x)的图象关于原点对称，所以函数y=—f(一

x)与函数y=f(x)的图象关于原点对称，故①正确；对于应)，令f(x)=x,则y=f(l—x)=l—x,y=f(x

-l)=x-l,两图象关于x轴对称，不关于直线x=0对称，故②错误；对于③，因为f(l-x)=f(x

—1),令1—x=t,得X—1=—t,所以f(t)=f(—t).故函数y=f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，

故③错误；对于④，若f(l+x)=f(x-l),令x-l=t,则f(t+2)=f(t).故函数y=f(x)是周期为2的

周期函数，故④正确；对于⑤，若—x)=0,则f(x-l)=—Rl-x),令x-l=-t,得1

+x=t+2,则f(—1)=—fift),故函数y=f(x)是奇函数，其图象关于坐标原点对称，故⑤正确.综上,

所有正确命题的序号是①④⑤.

11.求函数f(x)=-x2+|x|的单调区间，并求函数y=fi［x)在［-1,2］上的最大、最小值.

—x2+x(x20)

解:因为f(x)=—x2+|x|=

—x2—x(x<0)

f—(X—1)?+；(xNO),

即f(x)=〈..

［—(x+/)2+^(x<0),

作出其在［-1,2］上的图象如图所示:

由图象可知，f(x)的增区间为(一8,—3)和［0,3］，减区间为0］和成，+8).

由图象知，当或:时，fmax(x)=1,当X=2时，f^in(X)=-2.

12.对于函数f(x)(x£D),若存在正常数T,使得对任意的XGD,都有f(x+T)》f(x)成立，我们

称函数f(x)为“T同比不减函数”.

(1)求证：对任意正常数T,f(x)=x2都不是“T同比不减函数”.

(2)是否存在正常数T,使得函数f(x)=x+|x-l|—|x+l|为“T同比不减函数”？若存在，求T

的取值范围；若不存在，请说明理由.

(1)证明：任取正常数T,存在x()=-T,所以xo+T=O.

因为fl：xo)=f(-T)=T2>f(0)=f(xo+T),

即f(x)Wf(x+T)不恒成立，

所以*x)=x2不是“T同比不减函数”.

(2)解:设函数f(x)=x+|x-lL|x+l|是“T同比不减函数”，

\~2(x》l),

f(x)=«—X(―1<X<1),

,x+2(x<—1),

当x=-l时，因为f(-l+T)》f(-l)=l=f(3)成立，

所以-1+T23,所以T24.

而另一方面，若TN4,

①当xe(-8,-1］时，

f(x+T)-f(x)=x+T+|x+T-l|-|x+T+l|-(x+2)=T+|x+T-l|-|x+T+1|-2.

10

因为|x+T-l|-|x+T+l]》一|(x+T—l)-(x+T+l)|=-2,

所以f(x+T)-f(x)》T-2-2)0,所以有Rx+T)》f(x)成立.

②当xG(—1,+8)时，

f(x+T)-f(x)=x+T-2-(x+|x-l|-|x+l|)=T-2-|x-l|+|x+l|.

因为|x+l|一|x—“>一|(x+l)—(x—1)|=—2,

所以f(x+T)-f(x)>T-2-2^0,

即f(x+T)》f(x)成立.

综上，恒有f(x+T)》f(x)成立，

所以T的取值范围是[4,+°°).

13.(2017•镇江中学模拟)已知函数f(x)=x|2a-x|+2x,aGR.

(1)若a=0,判断函数y=f(x)的奇偶性，并加以证明；

(2)若函数y=f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；

(3)若存在实数ad[—2,2],使得关于x的方程f(x)—tf(2a)=0有三个不相等的实数根，求实

数t的取值范围.

解:(1)函数y=f(x)为奇函数.

当a=0时，f(x)=x|x|+2x,

且函数f(x)的定义域为R,

所以f(—x)=—x|x|—2x=-f(x),

所以函数y=%x)为奇函数.

fx2+(2—2a)x,x，2a,

⑵f(x)=

x2+(2+2a)x,x<2a,

当xN2a时，y=f(x)的对称轴为直线x=a—1;

当x<2a时，y=f(x)的对称轴为直线x=a+1.

所以当a-lW2aWa+l时，y=f(x)在R上是增函数，

即若函数fi[x)在R上是增函数，则实数a的取值范围是[-1,1].

(3)方程f(x)-tf(2a)=0的解即为方程f(x)=tfi：2a)的解.

①当一IWaWl时，函数f(x)在R上是增函数，

所以关于x的方程f(x)=tf(2a)不可能有三个不相等的实数根；

②当a>l时，即2a>a+l>a-l,

所以f(x)在(-8,a+1)上单调递增，在(a+1,2a)上单调递减，在(2a,+8)上单调递增，

所以当f(2a)<tf(2a)Vf(a+l)时，关于x的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根，

即4a<t-4a<(a+l)2.

因为a>l,所以l<t<；(a+[+2).

设h(a)=1(a+1+2),

因为存在aG[—2,2],使得关于x的方程fi[x)=tf(2a)有三个不相等的实数根，

所以IVtVhmax(a),

又可证h(a)=/a+：+2)在(1,2]上单调递增，

99

所以hmax(a)=g,所以IVtVg；

③当aV—1时，即2aVa-lVa+l,

所以f(x)在(一8,2a)上单调递增，在(2a,a—1)上单调递减，在(a—1,+8)上单调递增，

所以当f(a—l)Vtf(2a)V*2a)时，关于x的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根，

即一(a—l)2<t,4a<4a.

因为a<—1,所以；(a+1—2).

设g(a)=-：(a+92).

因为存在aw[—2,2],使得关于x的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根，

11

所以l<t<gmax(a),

又可证g(a)=-；(a+：—2)在[-2,—1)上单调递减，

99

所以gmax(a)=R,所以1VtVg.

9

综上所述，实数t的取值范围是(1,g).