专题13概率综合题（原卷版）

专题13概率综合题1．（2021•广州一模）某中学举行篮球趣味投篮比赛，比赛规则如下：每位选手各投5个球，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一球得2分，投不进球得0分；在区每投进一球得3分，投不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在区和区每次投篮进球的概率分别为和，且各次投篮的结果互不影响．（1）若甲投篮得分的期望值不低于7分，则甲选择在区投篮的球数最多是多少个？（2）若甲在区投3个球且在区投2个球，求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率．2．（2021•深圳一模）某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分．测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮．甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在处和处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如下图表：若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率．（1）求甲同学通过测试的概率；（2）在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率．3．（2021•湛江一模）某校针对高一学生安排社团活动，周一至周五每天安排一项活动，活动安排表如下：时间周一周二周三周四周五活动项目篮球国画排球声乐书法要求每位学生选择其中的三项，学生甲决定选择篮球，不选择书法；乙和丙无特殊情况，任选三项．（1）求甲选排球且乙未选排球的概率；（2）用表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，求的分布列和数学期望．4．（2021•广东一模）在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩是医务人员和人民群众抗击疫情的武器与保障，为了打赢疫情防控阻击战，我国企业依靠自身强大的科研能力，果断转产自行研制新型全自动高速口罩生产机，“争分夺秒、保质保量”成为口罩生产线上的重要标语．（1）在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生产且互不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检．已知批次Ⅰ的成品口罩生产中，前三道工序的次品率分别为，，．①求批次Ⅰ成品口罩的次品率．②第四道工序中红外线自动检测为次品的口罩会被自动淘汰，合格的口罩进入流水线并由工人进行抽查检验．已知批次的成品口罩红外线自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个口罩恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）．（2）已知某批次成品口罩的次品率为，设100个成品口罩中恰有1个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产线后批次的口罩的次品率某医院获得批次，的口罩捐赠并分发给该院医务人员使用．经统计，正常佩戴使用这两个批次的口罩期间，该院医务人员核酸检测情况如下面条形图所示，求，并判断是否有的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关．附：，0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.8285．（2021•广东二模）城市大气中总悬浮颗粒物（简称是影响城市空气质量的首要污染物，我国的《环境空气质量标准》规定，日平均浓度（单位：在，时为一级水平，在，时为二级水平．为打赢蓝天保卫战，有效管控和治理那些会加重日平均浓度的扬尘污染刻不容缓．扬尘监测仪与智能雾化喷淋降尘系统为城市建筑工地的有效抑尘提供了技术支持．某建筑工地现新配置了智能雾化喷淋降尘系统，实现了依据扬尘监测仪的日平均浓度进行自动雾化喷淋，其喷雾头的智能启用对应如表：日平均浓度喷雾头个数个205080110150根据以往扬尘监测数据可知，该工地施工期间日平均浓度不高于，，，的概率分别为0.15，0.35，0.7，0.95．（1）若单个喷雾头能实现有效降尘，求施工期间工地能平均有效降尘的立方米数．（2）若实现智能雾化喷淋降尘之后，该工地施工期间日平均浓度不高于，，，的概率均相应提升了，求：①该工地在未来10天中至少有2天日平均浓度能达到一级水平的概率；，结果精确到②设单个喷雾头出水量一样，如果日平均浓度达到一级水平时，无需实施雾化喷淋，二级及以上水平时启用所有喷雾头150个，这样设置能否实现节水节能的目的？说明理由．6．（2021•潮州一模）某芯片公司对今年新开发的一批芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为，，，，，，，，，，五个小组（所调查的芯片得分均在，内），得到如图所示的频率分布直方图，其中．（1）求这100颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）．（2）芯片公司另选100颗芯片交付给某公司进行测试，该公司将每颗芯片分别装在3个工程中进行初测．若3个工程的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；若3个工程中只要有2个评分没达到11万分，则认定该芯片不合格；若3个工程中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程中进行二测，二测时，2个工程的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；2个工程中只要有1个评分没达到11万分，公司将认定该芯片不合格．已知每颗芯片在各次置于工程中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与公司对芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率）．每颗芯片置于一个工程中的测试费用均为300元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现公司测试部门预算的测试经费为10万元，试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由．7．（2021•珠海一模）为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某中学数学教师对新入学的180名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于12小时的有76人，统计成绩后，得到如下的列联表：学生本学期检测数学标准分数大于等于120分学生本学期检测数学标准分数不足120分合计周做题时间不少于12小时6076周做题时间不足12小时64合计180（1）请完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；（2）（ⅰ）若将频率视为概率，从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取12人，求这些人中周自主做数学题时间不少于12小时的人数的期望．（ⅱ）通过调查问卷发现，从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取12人，这12人周自主做数学题时间的情况分三类，类：周自主做数学题时间大于等于16小时的有4人：类：周自主做数学题时间大于等于12小时小于16小时的有5人：类：周自主做数学题时间不足12小时的有3人．若从这随机抽出的12人中再随机抽取3人进一步了解情况，记为抽取的这3名同学中类人数和类人数差的绝对值，求的数学期望．附：参考公式和数据：，．附表：0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8288．（2021•佛山二模）某小微企业生产一种如图所示的电路子模块，要求三个不同位置1、2、3接入三种不同类型的电子元件，且备选电子元件为、、型，它们正常工作的概率分别为0.9、0.8、0.7．假设接入三个位置的元件能否正常工作相互独立．当且仅当1号位元件正常工作，同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作．（1）共可组装出多少种不同的电路子模块？（2）求电路子模块能正常工作的概率最大值；（3）若以每件5元、3元、2元的价格分别购进、、型元件各1000件，组装成1000套电路子模块出售，设每套子模块组装费为20元．每套子模块的售价为150元，但每售出1套不能正常工作子模块，除退还购买款外，还将支付购买款的3倍作为赔偿金．求生产销售1000套电路子模块的最大期望利润．9．（2021•湛江三模）某高三学生小明准备利用暑假的7月和8月勤工俭学，现有“送外卖员”和“销售员”两份工作可供其选择．已知“销售员”工作每日底薪为50元，每日销售的前5件每件奖励20元，超过5件的部分每件奖励30元．小明通过调查，统计了100名销售员1天的销售记录，其柱状图如图1；“送外卖员”没有底薪，收入与送的单数相关，在一日内：1至20单（含20单）每送一单3元，超过20单且不超过40单的部分每送一单4元，超过40单的部分，每送一单4.5元，小明通过随机调查，统计了100名送外卖员的送单数，并绘制成如下直方图（如图．（1）分别求出“销售员”的日薪（单位：元）与销售件数的函数关系式、“送外卖员”的日薪（单位：元）与所送单数的函数关系式；（2）若将频率视为概率，根据统计图，试分别估计“销售员”的日薪和“送外卖员”的日薪（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）的数学期望，分析选择哪种工作比较合适，并说明你的理由．10．（2021•汕头一模）为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础．在产业扶贫政策的大力支持下，某玩具厂对原有的生产线进行技术升级，为了更好地对比升级前和升级后的效果，其中甲生产线继续使用旧的生产模式，乙生产线采用新的生产模式．质检部门随机抽检了甲、乙两条生产线的各100件玩具，在抽取的200件玩具中，根据检测结果将它们分为“”、“”、“”三个等级，、等级都是合格品，等级是次品，统计结果如表所示：等级频数1007525（表一）合格品次品合计甲80乙5合计（表二）在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有的次品必须由厂家自行销毁．（1）请根据所提供的数据，完成上面的列联表（表二），并判断是否有的把握认为产品的合格率与技术升级有关？（2）每件玩具的生产成本为20元，、等级产品的出厂单价分别为元、40元，若甲生产线抽检的玩具中有35件为等级，用样本的频率估计概率，若进行技术升级后，平均生产一件玩具比技术升级前多盈利12元，则等级产品的出产单价为多少元？附：，其中．0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82811．（2021•惠州模拟）华为作为全球销量第二位，一直深受消费者喜欢．惠州某学校学习小组为了研究用户购买新时选择华为品牌是否与年龄有关系，于是随机调查100个2020年购买新的人，得到如下不完整的列联表．定义用户年龄30岁以下为“年轻用户”，30岁以上为“非年轻用户”．购买华为购买其他品牌总计年轻用户28非年轻用户2460总计100（1）请将列联表填充完整，并判断是否至少有的把握认为购买时选择华为与年龄有关？（2）若从购买华为用户中采取分层抽样的方法抽出9人，再从中随机抽取3人，其中年轻用户的人数记为，求的分布列和数学期望．附：．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82812．（2021•潮州二模）为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现症状的概率均为，且每次给药后是否出现症状与上次给药无关．（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现2次症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现3次症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为，求的分布列和数学期望．13．（2021•广东模拟）为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛．规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束．假设每局比赛小明获胜的概率都是．（1）求比赛结束时恰好打了7局的概率；（2）若现在是小明以的比分领先，记表示结束比赛还需打的局数，求的分布列及期望．14．（2021•广州二模）习近平总书记指出：在扶贫的道路上，不能落下任何一个贫困家庭，丢下一个贫困群众．根据相关统计，2010年以后中国贫困人口规模呈逐年下降趋势，2011年年，全国农村贫困发生率的散点图如图：注：年份代码分别对应年份2011年年．（1）求关于的回归直线方程（系数精确到；（2）已知某贫困地区的农民人均年纯收入（单位：万元）满足正态分布，若该地区约有的农民人均年纯收入高于该地区最低人均年纯收入标准，则该地区最低人均年纯收入标准大约为多少万元？．参考数据与公式：，．回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，．若随机变量服从正态分布，则，，．15．（2021•广东模拟）某大型小区物业公司为增强居民对消防安全的认识，特对小区居民举办了一次消防安全知识测试．并从中随机抽取了参加测试的1000人的成绩（满分：100分），经统计得到如图频率分布直方图：（1）（ⅰ）求；（ⅱ）由直方图可知，此次测试分数近似服从正态分布，请用正态分布知识求；（2）在（1）的条件下，为鼓励该小区居民多学习消防安全知识，本次测试制定如下奖励方案：测试成绩低于65的居民获得1次随机红包奖励，成绩不低于65的居民获得2次随机红包奖励．每次随机红包钱数（单位：元）对应的概率如表：随机红包3050概率该小区王大爷参加此次测试，记为王大爷获得的红包奖励钱数（单位：元），求的分布列及数学期望．参考数据：若，则；；．16．（2021•梅州一模）某电子产品加工厂购买配件并进行甲、乙两道工序处理，若这两道工序均处理成功，则该配件加工成型，可以直接进入市场销售；若这两道工序均处理不成功，则该配件报废；若这两道工序只有一道工序处理成功，则该配件需要拿到丙部门检修，若检修合格，则该配件可以进入市场销售，若检修不合格，则该配件报废．根据以往经验，对于任一配件，甲、乙两道工序处理的结果相互独立，且处理成功的概率分别为，，丙部门检修合格的概率为．（1）求该工厂购买的任一配件可以进入市场销售的概率；（2）已知配件的购买价格为80元个，甲、乙两道工序的处理成本均为8元个，丙部门的检修成本为16元个，若配件加工成型进入市场销售，售价可达200元个；若配件报废，则亏损购买成本以及加工成本．若市场大量需求配件的成型产品，试估计该工厂加工5000个配件的利润．（利润售价购买价格加工成本）17．（2021•霞山区校级模拟）在一段时间内，分5次测得某种商品的价格（万元）和需求量之间的一组数据为：12345价格1.41.61.822.2需求量1210753已知，．（1）求出对的线性回归方程；（2）如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？（精确到．参考公式：．18．（2021•河源模拟）某篮球职业联赛分为常规赛和季后赛两个阶段．常规赛采用循环赛，分主场比赛和客场比赛两种，积分高的球队进入季后赛；季后赛采用五局三胜制进行淘汰赛，最终决出总冠军．“5局3胜”制是指先胜3局者获得比赛胜利，比赛结束）．如表是甲队在常规赛80场比赛中的比赛结果记录表．季度比赛次数主场次数获胜次数主场获胜次数1季度231316112季度27112183季度30162313（1）根据表中信息，能否在犯错误概率不超过0.100的前提下认为“主客场”与“胜负”之间有关？（2）已知甲队和乙队在季后赛首轮比赛中相遇，假设每局比赛结果相互独立，以甲队常规赛80场比赛获胜的频率估计甲队在季后赛每局比赛获胜的概率，记为本轮比赛结束时甲队和乙队所进行的比赛的局数，求的分布列及甲队获得这轮比赛胜利的概率．附：．0.1000.0500.0252.7063.8415.02419．（2021•韶关一模）在一次大范围的随机知识问卷调查中，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：得分，，，，，，，频数213212524114（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表）．①求的值；②若，求的值；（2）在（1）的条件下，为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额（单位：元）2050概率现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．20．（2021•江门一模）2020年新高考数学首次引入了多选题，让数学基础和数学能力在不同层次的考生都有了发挥的空间，同时更加精确地发挥数学科考试的选拔功能．某校为了解学生对引入多选题的看法，从高三年级1000名学生（其中物理类600人，历史类400人）中采用分层抽样的方法抽取100名学生进行调查，得到一个不完整的列联表．（1）请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为赞同引入多选题与选科有关？说明你的理由：物理类历史类总计赞同引入多选题25不赞同引入多选题30总计（2）多选题的评分标准是：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有错选的得0分，有漏选的得2分．在一次考试中，命题人对甲、乙两道多选题分别设置了2个和3个正确选项，假设某位考生在作答这两道题时相互独立，且做甲题时得2分的概率为，得5分的概率为；做乙题时得2分的概率为，得5分的概率为；设这位考生在作答这两道多选题时的得分和为，求的分布列及数学期望．参考公式：，其中．0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.8321．（2021•茂名模拟）茂名市是著名的水果之乡，“高农业”蓬勃发展，荔枝，华李、香蕉、龙眼等“岭南佳果”驰名中外．某商铺推出一款以新鲜水果为原料的加工产品，成本为每份10元，然后以每份20元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的作垃圾处理．（1）若商铺一天准备170份这种产品，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量份的函数解析式．（2）商铺记录了100天这种产品的日需求量（单位：份），整理得图．若商铺计划一天准备170份或180份这种产品，用表示准备170份的利润，表示准备180份的利润，你认为应准备哪个数量更合理？请说明理由．（以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率）22．（2021•广东模拟）科技是国家强盛之基，创新是民族进步之魂．当今世界，科学技术日益渗透到经济发展、社会和人类生活的方方面面，成为生产力中最活跃的因素，科学技术的重要性也逐渐突显出来．某企业为提高产品质量，引进了一套先进的生产线．为了解该生产线输出的产品质量情况，从中随机抽取200件产品，测量某项质量指数，根据所得数据分成，，，，，，，，，这5组，得到的频率分布直方图如图所示，若这项质量指数在，内，则称该产品为优等品，其他的称为非优等品．（1）估计该生产线生产的产品该项质量指数的中位数（结果精确到；（2）按优等品和非优等品用分层抽样的方法从这200件产品中抽取10件产品，再从这10件产品中随机抽取3件，记优等品的数量为，求的分布列与期望．23．（2021•广州二模）某市场研究人员为了了解共享单车运营公司的经营状况，对该公司近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．（1）月市场占有率与月份代码符合线性回归模型拟合的关系，求关于的线性回归方程，并预测公司2021年3月份（即时）的市场占有率；（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1000元辆和1200元辆的，两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如表：报废年限1年2年3年4年型车（辆20353510型车（辆10304020经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整年，且以每辆单车使用寿命的频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考公式及数据：回归直线方程为，其中，，，．24．（2021•揭阳模拟）太阳能热水器因节能环保而深受广大消费者的青睐，但它也有缺点持续阴天或雨天便无法正常使用．为了解决这一缺陷，现在的太阳能热水器水箱上都安装了辅助电加热器，如果天气不好或冬季水温无法满足需要时，就可以通过辅助电加热器把水温升高，方便用户使用．某工厂响应“节能减排”的号召，决定把原来给锅炉加热的电热水器更换成电辅式太阳能热水器．电辅式太阳能热水器的耗电情况受当天的日照时长和日均气温影响，假设每天的日照情况和日均气温相互独立，该电辅式太阳能热水器每日耗电情况如表所示．日照情况日均气温不低于日均气温低于日照充足耗电0千瓦时耗电5千瓦时日照不足耗电5千瓦时耗电10千瓦时日照严重不足耗电15千瓦时耗电20千瓦时根据调查，当地每天日照充足的概率为，日照不足的概率为，日照严重不足的概率为年这一年的日均气温的频率分布直方图如图所示，区间分组为，，，，，，，，，，，．（1）求图中的值，并求一年中日均气温不低于的频率；（2）用频率估计概率，已知该工厂原来的电热水器平均每天耗电20千瓦时，试估计更换电辅式太阳能热水器后这一年能省多少电？（一年以365天计算）25．（2021•广东模拟）数字人民币，是中国人民银行尚未发行的法定数字货币，即“数字货币电子支付”．央行数字货币不计付利息，可用于小额、零售、高频的业务场景，相比于纸币没有任何差别．数字人民币试点地区是深圳、苏州、雄安新区、成都及未来的冬奥场景．为了解居民对数字人民币的了解程度，某社区居委会随机抽取1200名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表：得分，，，，，，，男性人数301101101501308040女性人数2060701801405030（1）将居民对数字人民币的了解程度分为“比较了解”和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成列联表，并判断是否有的把握认为“数字人民币的了解程度”与“性别”有关？不太了解比较了解总计男性女性总计（2）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，连同名男性调查员一起组成3个环保宣传队．若从这中随机抽取3人作为队长，且男性队长人数占的期望不小于2，求的最小值．附：，．临界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82826．（2021•惠州二模）全国中小学生的体质健康调研最新数据表明，我国小学生近视眼发病率为，初中生为，高中生为，影响青少年近视形成的因素有遗传因素和环境因素，主要原因是环境因素学生长时期近距离的用眼状态，加上不注意用眼卫生、不合理的作息时间很容易引起近视，除了学习，学生平时爱看电视、上网、玩电子游戏、不喜欢参加户外体育活动，都是造成近视情况日益严重的原因．为了解情况，现从某地区随机抽取16名学生，调查人员用对数视力表检查得到这16名学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶），如图：（1）写出这组数据的众数和中位数；（2）若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力“．①从这16名学生中随机选取3名，求至少有2名学生是“好视力“的概率；②以这16名学生中是“好视力”的频率代替该地区学生中是“好视力“的概率，若从该地区学生（人数较多）中任选3名，记表示抽到“好视力”学生的人数，求的分布列及数学期望．27．（2021•梅州二模）2020年新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在全力保障口罩、防护服等医疗物资供给基础上，重点开展医疗救治急需的呼吸机、心电监护仪等医疗设备的组织生产和及时供应，统筹协调医用物资生产企业高速生产，支援世界各国抗击肺炎疫情．我市某医疗器械公司转型升级，从9月1日开始投入呼吸机生产，该公司9月1日月9日连续9天的呼吸机日生产量为（单位：百台，，2，，，数据作了初步处理，得到如图所示的散点图．2.731952851095注：图中日期代码分别对应9月1日月9日；表中，．（1）从9个样本点中任意选取2个，在2个样本点的日生产量都不高于300台的条件下，求2个样本点都高于200台的概率；（2）由散点图分析，样本点都集中在曲线的附近，求关于的方程，并估计该公司从生产之日起，需要多少天呼吸机日生