函数与导数中的新定义综合研析（教师版）

2 2 6 8 9 111.(2024·山东青岛·三模)定义[x[表示不超过x的最大整数.例如:[1.2[=1，[-1,2[=-2，则()A.[x[+[y[=[x+y[B.∀n∈Z，[x+n[=[x[+n22C.f(x(=x-[x[是偶函数D.f(x(=x-[x[是增函数B选项，设y=[x+n[表示不超过x+n的最大整数，所以y≤x+n，所以y-n≤x，所以[x]≤y-n，所以[x]+n≤y，即[x+n]≤y，C选项，f(x)=x-[x]，因为f(0.1(=0.1-0=0.1,f(-0.1(=-0.1-(-1(=0.9，所以f(0.1(≠f(-0.1(，所以f(x)不是偶函数，故C错误；D选项f(0.1)=0.1,f(1.1)=0.1，所以f(0.1)=f(1.1)，所以f(x)不是增函数，故D错误.2.(2024·河南新乡·二模)函数f(x(=[x[被称为取整函数，也称高斯函数，其中[x[表示不大于实数x的最大整数．若Ym∈(0,+∞(，满足[x]2+[x[≤,则x的取值范围是()A.[-1,2[B.(-1,2(C.[-2,2(D.(-2,2[由[x]2+[x[≤可得[x]2+[x[≤2→([x[+2(([x[-1(≤0，所以-2≤[x[≤1，故-2≤x<2，(1)设f(x)=[x[+x+|-[2x[，x∈R，求证：是f(x(的一个周期，且f(x(=0恒成立；(2)已知数列{an{的通项公式为an=+++…+(n∈N*(，设bn=(1)证明见解析；(1)f(x+=x++[x+1[-[2x+1[=x++[x[+1-[2x[-1=f(x(.故是f(x(的一个周期.,1(，故f(x(=0+0-0=0.33n1=2+1n2+21n2+n-1++n2+11n2+n1n2+2nan2=1n2+n+11n2+n1n2+2nan2=1n2+n+1+nn2+nnn2+n1n+1an1===++⋅⋅⋅+=2+nn2+nn2+n一人n个n2n21n2+11n2+2++<++<n2+n-1=，∴n1<an1≤.人n个而1=n+1=1+1+⋅⋅⋅+1n+1n2+2n+1尺n2+2n+1n2+2n人+1n2+2n+1一n个1n2+2nn+1=1n2+nn.<an1n2+2nn+1=1n2+nn.1n+111n+11<an2<<++⋅⋅⋅+=2+nn2+n2+n一n个,∴n<n<n+1.n=n.[x[,∴n<n<n+1.n=n.[x[+x+=[2x[，②由①知n<n<n+1，则n+n+=n=n.∴bn=n.n<1<n-n-1n∵+n-n<1<n-n-1nS∵>2-1+3-2+⋅22023=+2024-1<2023=+2024-1<+2025-1=<+2-1+++⋅⋅⋅+=88A.函数y=在定义域上是奇函数B.函数y=的零点有无数个C.函数y=在定义域上的值域是(-1,1(44【详解】设f(x(=，A选项，f(1.5(==，f(-1.5(==-，整函数为f(x(=[x[，[x[表示不超过x的最大整数，例如 ()f(x+n(=f(x(+nC.∀x,y>0，f(lgx(+f(lgy(=f(lg(xy((*，f(lg1(+f(lg2(+f(lg3(+⋅⋅⋅+f(lgn(=92对于B，∀x∈R，n∈Z，令f(x)=m，则m≤x<m+1，m+n≤x+n<m+n+1，因此f(x+n)=m+n=f(x)+n，B正确；因此f(lg1)+f(lg2)+f(lg3)+⋅⋅⋅+f(lg99)+f(lg100)=92，此时n=100，D正确.大整数，例如：[3.9[=3，[-2.1[=-3.若在函数f(x(的定义域内，均满足在区间[an,an+1(上，bn=[f(x([是一个常数，则称{bn{为f(x(的取整数列，称{an{为f(x(的区间数列.下列说法正确的是 ()A.f(x(=log2x(x≥1(的区间数列的通项an=2nB.f(x(=log2x(x≥1(的取整数列的通项bn=n-155C.f(x(=log2(33x((x≥1(的取整数列的通项bn≥n+5D.若f(x(=log2x(1≤x<2n(，则数列{bn(an+1-an({的前n项和Sn=(n-2(2n+2在[2n-1,2n(上，n-1≤log2x<n，[log2x[=n-1，所以an=2n-1，所以A错误；对于B中，由选项A知，bn=[f(x([=[log2x[=n-1，所以B正确.f(x([=[log2(33x([=[log2x+log233[≥[log2x[+[log233[=[log2x[+5，n(an+1-an(=(n-1((2n-2n-1(=(n-1(2n-1，2+32+23+34+⋅⋅⋅+(n-2(×2n-1+(n-1(2n，两式相减Sn=-(21+22+⋅⋅⋅+2n-1(+(n-1(2n=-+(n-1(2n=2-2n+(n-1(2n=2+(n-2(2n，所以D正确.xaA.xa>2等价于x2-2(x-a)>2，即2a>-x2+2x+2，因为-x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3，所以2a>3，所以a=ad-bc．已知函数f(x(的定xyxyA.f(1(=1B.f(x(是偶函数C.f(x(是周期函数xycxyc-yf(y)=0(*)，f(y)f(f(y)f(x)D.f(x(没有极值点66得：f(x(=，对于A，取f(x(=-，显然满足(*)式，此时f(1(=-1，故A错误；对于B，f(x(定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，则f(-x)==-=-f(x(成立，所以f(x(是奇函数，故B错误；对于C，假设非零常数T为函数f(x(的周期，即f(x+T(=f(x)，则f(x+T(===f(x)，其中f(1)≠0，对于D，由于f(x(=，则f/(x(=-，显然f/(x(=0没有实数解，所以f(x(没有极值点，故D正确；cosθ1-λsinθcosθ1-λsinθx21(2)函数g(x(=x21-1 x2+,若对∀x∈[-1,1[，∀θ∈R，都有g(x(-1≥f(θ(恒成立，求实数λ的取值(1)-3,-(2)-1≤λ≤1(1)f(θ(=cos2θ+2λsinθ-2，λ=，则f(θ(=1-sin2θ+sinθ-2=-sin2θ+sinθ-1，因为sinθ∈[-1,1[，所以f(θ(=-sin2θ+sinθ-1∈-3,-；(2)g(x(=+1=2-，2+,2[，函数g(x(转化为函数y=2-，t∈[1,2[，由题知，(g(x(-1(min≥f(θ(，即f(θ(=cos2θ+2λsinθ-2≤0对于∀θ∈R恒成立，令u=sinθ,则u∈[-1,1[，记h(u(=u2-2λu+1，u∈[-1,1[，故只要h(u(min≥0，77①当λ≤-1时，h(u(min=h(-1(=2+2λ≥0，解得λ≥-1，∴λ=-1，②当-1<λ<1时，h(u(min=h(λ(=1-λ2≥0，解得-1≤λ≤1，∴-1<λ<1，10.(2024·全国·模拟预测)德国数学家狄利克雷(Dirichlet)是解析数论的创始人之一A.D(D(x))有零点B.D(x)是单调函数C.D(x)是奇函数D.D(x)是周期函数【详解】根据狄利克雷函数的性质即可由D(x)=0或D(x)=1均为有理数求解A，根据D(1)=D(2)=1,D有理数或同为无理数即可求解D.所以D(D(x))=1>0，故D(D(x))没有零点，A错误，对于C，因为x和-x同为有理数或同为无理数，所以D(-x)=D(x)，故D(x)是偶函数，C错误，所以D(x+T)=D(x)，故D(x)是周期函数(以任意非零有理数为周期)，D正确，雷函数说法正确的是()A.D(D(e((=1B.它是偶函数(x(=D(-x(=1；若x∈QC，则-x∈QC，则D(x(=D(-x(=0，所以D(x(为偶函(,,C=D(x(，(x+T2(=0或1，则D(x+T2(≠D(x(，即任意非零有理数均是D(x(的周期，任何无理数都不是D(x(的周期，故C正确；8函数D(x(的值域为{0,1{，故D错误；8A.D(D(x((=1C.存在x是无理数，使得D(x+1(=D(x(+1D.∀x∈R，总有D(x+1(=D(-x-1(((所以D(x+1(=0，当x是无理数时，x+1，-x-1均为无理数，此时有D(x+1(=D(-x-1(=0，当x是有理数时，x+1，-x-1均为有理数，此时有D(x+1(=D(-x-1(=1 所以∀x∈R，总有D(x+1(=D(-x-1(，故选项D正确.13.(2024·重庆·一模)(多选)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数f(x(=A.函数f(x(为偶函数RQ，f(-x(=0=f(x(f(x(=0f(f(x((=f(0(=1，C正确；99()A.充分不必要条件B.必要不充分条件x>0x<0C.充要条件D.既不充分也不必要条件x>0x=0x<0x>0x=0x<0当sgn(ex-1(+sgn(-x+1(=0时，取x=-，则ex-1<0，-x+1>0，此时sgn(ex-1(+sgn(-x+1(=-1+1=0，则x>1不成立，即充分性不成立；x-1>0，-x+1<0，所以sgn(ex-1(+sgn(-x+1(=1-1=0，即必要性成立，x-1(+sgn(-x+1(=0”是“x>1”的必要不充分条件.15.(2024·北京·模拟预测)数学上的符号函数可以返回一个整型变量，用来指出参数的正负号，一般用-1,x<0x>0②函数f(x(的单调递增区间为-+kπ,+kπ|(k∈Z(；④在[-2π,2π[上函数g(x(=xf(x(-1的零点个数为4.-2sinx,2sinx,cosx<0cosx>0f(x+π(=2sin(x+π(⋅sgn(cos(x+π((=-2sinx⋅(-sgn(cosx((=2sinx⋅sgn(cosx(=f(x(，函数g(x(=xf(x(-1的零点，即方程xf(x(-1=0的根，x=0时方程不成立，方程等价于f(x(=，函数f(x(与函数y=的图象在[-2π,2π[上有4个交点，所以在[-2π,2π[上函数g(x(=xf(x(-1的零点个数为4.结论④正确.16.(22-23高三上·阶段练习)已知max{a,b,c{表示a，b，c中的最大值，例如max{1,2,3{=3，若函数f(x(=max{-x2+4,-x+2,x+3{，则f(x(的最小值为()A.2.5B.3C.4D.5因为f(x(=max{-x2+4,-x+2,x+3{，所以f(x(的图象如图实线所示：由{可得A(-1,3(，由{)可得B,，由图知f(x(在(-∞,-1(上单调递减，在(-1,0(上单调递增，在(0,上单调递减，在,+∞(所以当x=-1时，y=-(-1(2+4=3，所以f(x(的最小值为3，a<b)17.(2024·广东韶关·二模)定义maxa<b)则2x,3y,的值是((a,,min{a,(a,a<b,对于任意实数x>0,y>0，【详解】设max{2x,3y,+{=M，则M≥2x,M≥3y,M≥+，设f(x)=x+2(x>0)，则f/(x)=1-3=x3x2，令f/(x)<0⇒0<x<32，f/(x)>0⇒x>32，12,即f(x)≥=22故f(x)min=f(12,即f(x)≥=22得f(2x)≥32,f(3y)≥32+=222所以3M≥2x+(2)2+3y+(3)2=f(2x)+f(3y+=222{max{2x,3y,42+92(=18.(2024·全国·模拟预测)设max{x,y,z{为x,y,z中最大的数.已知正实数a,b，记M=max{(8a,2b,1则M的最小值为()A.1B.2C.2D.4所以M2≥4，M≥2，[a,b[x∈[a,b[19.(2024·湖北·一模)记max{f(x({，min{f(x({[a,b[x∈[a,b[m-[{[,[{|m+n-2n|{(L{=.【详解】由|m+n-2n|=|(n-1)2+m-1|，设n为变量，{|m+n-2n|{=[,[{|(n-1(2+m-1|(L{，所以t=|(n-1)2+m-1|的最大值为max{|m-1|,|m+3|{，或者由|m+n-2n|=|(n-1)2+m-1|在n∈[0,9[时的最大值只可能在n=0或20.(2023·广东广州·模拟预测)欧拉函数φ(n((n∈N*(的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素的正A.3B.4C.5D.621.(2024·全国·模拟预测)(多选)欧拉函数是初等数论中的重要内容．对于一个正整数n，欧拉函数φ(n(表示小于或等于n且与n互质的正整数的数目．换句话说，φ(n(是所有不超过n且与n互素的数的总数.A.φ(n(的定义域为N*，其值域也是N*B.φ(n(在其定义域上单调递增，无极值点D.φ(n(≤n-1，当且仅当n是素数时等号成立n=M(xe,n)，x2和n求出x的值.(3)x=M(a0c,n).=2；X15=8.n+则φ(n(=n-1-(p-1(-(q-1(=(p-1((q-1(，由题知，M(sp-1,p(=M(tq-1,q(=1，又xp-1=(kp+s(p-1=(kp(p-1+C-1(kp(p-2s+⋅⋅⋅+C--kpsp-2+sp-1=N0p+sp-1(k,N0∈N+(，所以M(xp-1,p(=M(sp-1,p(=1，同理有M(xq-1,q(=1；于是记xq-1=kq+1(k∈N+(，xφ(n(=(kq+1(p-1=N1q+1(N1∈N+(，即M(ed,n(=x，即M([M(xe,n([d,n(=x；所以M(ed,n(=M(xde,n(=M(kepde,n(，又M(ke,n(=k1，M(pq-1,q(=1，所以M(ed,n(=M(pdeke,n(=pk1M(pkφ(n(,q(=xM([M(pq-1,q([k(p-1(,q(=xM(1,q(=x；1=3e2+12e=x3e+1，则M(x2e,n(=M(x3e+1,n(，则M(c,n(=M(xc,n(，+0=n，从而数列{nk{有且仅有k0+1项，考虑使aknk+1-ak+1nk=(-1(k(k∈N+,k≤k0(成立，令k=k0k+1=(-1(k-1，又由于n2，n3，⋯,nk及k0均由n0=n和n1=c确定，则数列{ak{的各项也可根据n和c确定，由上知M(a0c,n(=1，M(c,n(=M(xc,n(，则M(a0c,n(=M(xa0c,n(=M([M(x,n(⋅M(a0c,n([,n(=M(1⋅x,n(=x，即x=M(a0c,n(，其中a0是根据n和c唯一确定的.在1∼2n-bn=--=，当n≤2时bn+1-bn>0，当n≥3时bn+1-bn<0，即b1<b2<b3>b4>b5>⋯⋯,25.(23-24高三上·河南·阶段练习)(多选)黎曼函数(Riemannfunction)是一个特殊的函数，由德国数学A.R(B.黎曼函数的定义域为[0,1[C.黎曼函数的最大值为D.若f(x(是奇函数，且f(1-x(=f(x(，当x∈[0,1[时，f(x(=R(x(，则f((+f(+6(=因为p,q∈N*,是既约真分数,0,1或(0,1(上的无理数，所以黎曼函数的定义域为[0,1[,B正确.因为f(1-x(=f(x(，所以f(-x(=f(x+1(.所以f(-x-1(=f(x+2(.因为f(x(是奇函数，所以f(-x-1(=-f(x+1(=-f(-x(=f(x(，所以f(x(=f(x+2(，即f(x(是以2为周期的周期函数，所以(+f(+6(=-,D错误.故选:BC.26.(2024·北京石景山·一模)黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：x∈[0,1[时，R(x(=+,∴n=1n+1=n+2=对于ai=a1+a2+a3+⋯+an=，(n≥2(，构造函数g(x(=ex-x-1，(x>0(，则g/(x(=ex-1>0，g(x(单调递增，x>x+1，e>+1,e>+>+1，f(x0))处的曲率，其中f/是f的导函数，f//(x(是f/(x)的导函数．则抛物线x2=2py(p>0)上的各点处的曲率最大值为()A.2pB.pC.=， 率表示曲线的弯曲程度.设函数y=f(x)的导函数为f/(x),f/(x证明：函数g=tanx,x图象的曲率K(x)的极大值点位于区间.11-,yⅡ=-.11-,yⅡ=-.3((241-((2、,fⅡ(2)=-2,、,fⅡ(2)=-2,22=2|fⅡ(x0(|=.3=2|fⅡ(x0(|=.3((2[1+(f/(x0((((2y2y2+4(2)由g(x)=tanx=(x)=2sinx3x 2x(x)=2sinx3x 2x==2x,2sinx=cos3x2sinx=cos2sinx=cos3x2sinx=cos3x,33cos4x+1cos4x+14(1-cos2x(cos64(1-cos2x(cos6x(cos4x+1(3∴K2(x(===(cos4x+1(3,cos4x+,cos4x+1t)=.令m(t(=2t3-3t2-4t+3,m/(t(=6t2-6t-4<0，((=-4>0,m∴m((=-4>0,m ,4 ,4/(t)<0.,t0(/(t)<0.(,4,42x(,4,42x, 29.(22-23高三上·山东·阶段练习)(多选)曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲,其中fⅡ(x(是f/(x(的导函数．下面说法正确的是()率,其中fⅡ(x(是f/(x(的导函数．下面说法正确的是()[1+(f/(x((2[1.5A.若函数f(x)=x3，则曲线y=f(x)在点(-a,-a3)与点(a,a3)处的弯曲程度相同B.若f(x)是二次函数，则曲线y=f(x)的曲率在顶点处取得最小值C.若函数f(x)=sinx，则函数K(x)的值域为[0,1]D.若函数f(x)=(x>0)，则曲线y=f(x)上任意一点的曲率的最大值为又K(x)=K(-x)，所以K(x)为偶函数，曲线在两点的弯曲长度相同，故A正确；对于C，f/(x)=cosx，fⅡ(x)=-sinx，t≤1时，y=t单调递增且y>01.5单调递增且m>0，根据复合函数的单调性知y=(2-t2(1.5在0<t≤1时单调递减，所以可知p(t)=在0<t≤1时单调递增，对于D，f/(x)=-，fⅡ(x)=，K(x)==≤=，=f(x(在点x0处左可导.当函数y=f(x(在点x0处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数y=f(x(在点x0处可导.(2)已知函数f(x(=x2eax+1-x3sinx-ex2.(ⅰ)求函数g(x(=eax+1-xsinx-e在x=0处的切线方程；=-1，又g/(x(=2axeax+1-sinx-xcosx，则k=g/(0)=0，(ⅱ)f(x(=x2eax+1-x3sinx-ex2=x2(eax+1-xsinx-e(，，故f(x(与g(x(同号，g(x(=eax+1-xsinx-e，先考察g(x(的性质，由于g(x(为偶函数，只需分析其在(0,+∞(上的性质即可，/(x(=2axeax+1-sinx-xcosx，g/(0(=0,，设m(x(=2axeax+1-sinx-xcosx,x∈(0,+∞(，则m/(x(=(2a+4a2x2(eax+1-2cosx+xsinx，m/(0(=2ae-2，则必存在一个区间(0,m(，使得m/(x(<0，则g/(x(在(0,m(单调递减，又g/(0(=0，则g/(x(在区间(0,m(内小于0，则g(x(在(0,m(单调递减，又g(0(=0，故g(x(在区间(0,m(内小于0，故f(x(在区间(0,m(内小于0，则x=0不可能为f(x(的极小值点.②当a≥时，g(x(=eax2+1-xsinx-e≥ex2+1-xsinx-e， 令h(x(=ex2+1-xsinx-e，h/(x(=ex2+1-sinx-xcosx，令s(x(=ex2+1-sinx-xcosx，/(x(=+x2x2+1-2cosx+xsinx，易知y=+x2x2+1在区间(0,+∞(上单调递增，对y=-2cosx+xsinx，y/=2sinx+sinx+xcosx=3sinx+xcosx，则y/=3sinx+xcosx在区间(0,上大于0，故y=-2cosx+xsinx在区间(0,上单调递增./(x(=+x2x2+1-2cosx+xsinx在区间(0,上单调递增.又s/(x(≥0，故h/(x(在区间(0,上单调递增，又h/(0(=0，故h/(x(≥0，故h(x(在区间(0,则g(x(=eax2+1-xsinx-e≥h(x(>0，x∈(0,，故x=0为f(x(的极小值点，所以a的取值范围为a≥.31.(2024·贵州·模拟预测)定义：设f/(x)是f(x)的导函数，fⅡ(x(是函数f/(x)的导数，若方程fⅡ(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0((为函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数f(x)=x3+bx2-x+a图象的对称中心为(0,1)，则下列说法中正确的有()A.a=1，b=0B.函数f(x)C.函数f(x)有三个零点D.y=f(x)在区间(0,1)上单调递减【详解】由f(x)=x3+bx2-x+a，可得f/(x(=3x2+2bx-1，fⅡ(x(=6x+2b，因为函数f(x)=x3+bx2-x+a图象的对称中心为(0,O1(，由以上过程可知f(x)=x3-x+1，f/(x(=3x2-1，且当x<-或x>时，f/(x(>0；当-<x<时，f/(x(<0.于是f(x)在(-∞,-和,+∞(上都是增函数，在(-,(上是减函数，故选项D错误；因为f(x)=x3-x+1关于点(0,1(对称，所以f(x)的极大值与极小值之和为2，故选项B正确；因为函数f(x)极小值f=>0，32.(2024·河南·三模)设函数f(x(的导函数为f/(x(,f/(x(的导函数为fⅡ(x(,fⅡ(x(的导函数为f川(x(.若f(x0(=0,f(x0((为曲线y=f(x(的拐点.(2)已知函数f(x(=ax5-5x3，若,f为曲线y=f(x(的一个拐点，求f(x(的单调区间与极值.(2)单调递增区间为(-∞,-1(,(1,+∞(；单调递减区间为[-1,1[，极大值为2，极小值为-2.(2)解：由函数f(x(=ax5-5x3，可得f/(x(=5ax4-15x2,fⅡ(x(=20ax3-30x=10x(2ax2-3(，因为,f为曲线y=f(x(的一个拐点，所以fⅡ=0，≠0，所以f/(x(=15x4-15x2=15x2(x2-1(.当x<-1或x>1时，f/(x(>0，则f(x(的单调递增区间为(-∞,-1(,(1,+∞(；当-1≤x≤1时，f/(x(≤0，且f/(x(=0不恒成立，则f(x(的单调递减区间为[-1,1[，x-1的极限即为01696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限)D.2【详解】l=l=l=2，=.f(x(≥f成立，且3<cosx，x(2)l1+=e【详解】(1)设F(x(=f(x(-f=x3-x，由于F(1(=-<0，所以f(x(≥f不成立，故f(x(=x3-3x不是区间[0,3[上的2阶无穷递降函数.(2)设g(x(=(1+g(x(=ln(1+x(=，设h(x(=，则ll=l=1，f=，所以=⋅=-=>1，t(>f，所以f(t(>f>⋯>f，因为l=lcosx=1，要方法，其含义为：若函数f(x(和g((2)函数f(x(=1+x+++⋯+-(n≥2，n∈N*)，判断并说明f(x(的零点个数；1,x=0.1,x=0.(2)f(x(=1+x+++⋯+-，f′(x(=1+x+++⋯+-，所以f′(x(-f(x(=--，=′=-.nsin2nsin， x即g(x(=sin x1,x=0.数为“不动点”函数．函数f(x)=2x-sinx+【详解】令f(x)=2x-sinx+cosx=x，即x-sinx+cosx=0，由题意可知即求函数g(x)=x-sinx+cosx的零点个数，当x≥时，g(x)=x-、2sin(x-≥-、2>0，此时不存在零点；当x≤-π时，g(x)=x-、2sin(x-≤-π+、2<0，此时不存在零点；令g/令g/故g(x)在(-π,上有且仅有一个零点，综上所述，f(x)=2x-sinx+cosx仅有一个不动点.37.(2024·广东广州·二模)若x0是方程f(g(x((=g(f(x((的实数解，则称x0是函数y=f(x(与y=g(x(的“复合稳定点”．若函数f(x(=ax(a>0且a≠1)与g(x(=2x-2有且仅有两个不同的“复合稳定点”，则a的取值范围为()A.(0,,1(C.(1,2(D.(2,+∞(2x-2=2ax-2即(ax(2-2a2ax+2a2=0有两个不同实根，令t=ax，则t2-2a2∴a2x-2=2ax-2，即(ax(2-2a2ax2-2a2t+2a2=0在(0,+∞(上有两个不同实根，空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer).简单地讲0为该函数的不动点.(1)求函数f(x)=2x+x-3的不动点;(2)若函数g(x)=lnx-b有两个不动点x1,x2，且x1<x2，若x2-x1≤2，求实数b的取值范围.(1)log23(2)ln-≤b<-1(1)根据不动点定义求解即可；(2)根据题意问题转化为方程b=lnx-x有两个不等的实数根x1,x2，令φ(x(=lnx-x，利用导数判断单调性所以函数f(x(的不动点为log23.(2)函数g(x(有两个不动点x1,x2，即方程lnx-b=x，即b=lnx-x有两个不等的实数根x1,x2，令φ(x(=lnx-x，则φ/(x(=-1=，x(<0，所以函数φ(x(在(0,1(上单调递增，在(1,+∞(上单调递减，所以b<-1，且x2-x1的值随着b的值减小而增大，当x2-x1=2时，有两式相减得ln=x2-x1=2，x2-x1=2，解得x1=，所以此时b=ln-，所以满足题意的实数b的取值范围为ln-≤b<-1.函数f(x(=ex-2x+ae-x(x≥0(.，证明>ln(n+1(.*【详解】(1)当a=-1时，有f(x(=ex-2x-e-x(x≥0(，所以f/(x(=ex+-2(x≥0(，所以f/(x(=ex+-2≥2ex⋅-2=0所以f(x(≥f(x(min=f(0(=0，所以f(x(≥0得证.x-2x=x(x≥0(解的个数即为函数f(x(的不动点的个数，化ex-2x=x(x≥0(为ex-3x=0(x≥0(，令g(x(=ex-3x(x≥0(，xln3(ln3,+∞(x(-0+g(x(3-3ln3所以g(x(在[0,ln3(上有唯一一个零点，又g(5(=e5-15>25-15=17>0，所以g(x(在(ln3,+∞(上有唯一一个零点，x-2x-e-x>0,x∈(0,+∞(，令x=lns,s>1，则s-2lns-s-1>0，即s->2lns,s>1，-1+1-n11+1nn1+1n>ln(1+，n2+n所以1>ln=ln(n+1(-n2+n所以1+1+⋯+1>ln2-ln1+ln3-ln2+⋯+ln(n+1)-lnn=ln(n+1(，即2+12+12+21+1+⋯+1>ln(n+1(.2+12+12+20为函数f(x)的一(2)若f(x(=(a+1(x-+(a>-1)，讨论集合B的子集的个数.(1)令g(x)=f(x)-x=e-x，求导得g(x)=e-1，所以g(x)min=g(e)=0，所以g(x)有唯一零点，所以集合A={x|f(x)=x{中有且仅有一个元素；(2)当a>-1时，由函数f(x)=(a+1)x-+，可得导函数f(x)=(a+1)++×>0，所以f(x)在(0，+∞)上即f(x)稳定点与f(x)的不动点等价，故只需研究f(x)=(a+1)x-+的不动点即可；令F(x)=f(x)-x=lnx+ax-,(x>0)，且F(e2)=lne2+a×e2->0，所以此时f(x)有唯一不动点；故F(x)max=F(x1)=lnx1+ax1-=lnx1--，设h(x)=lnx--，则h(x)在(0，+∞)上单调递增，且h(e2)=lne2--，又a=-×-在x1∈(0,+∞)时单调递增，故(i)当F(x)max=lnx1--=0时，即x1=e2，(ii)当F(x)max=lnx1--<0，即x1<e2，此时-1<a<-，方程F(x)=0无解，即f(x)无不动点，所以集合B的子集有1个；(iii)当F(x)max=lnx1-->0时，即x1>e2，此时-<a<0，方程F(x)=0有两个解，即f(x)有当-<a<0时，集合B的子集有4个.x,x>00x>0x<0x,x>0x<0Lx+a,f(x+1(=1恰有3个不等实数根，①当x>0时，x+1>0，方程f(x(f(x+1(=1可化为e2x+1=1，解得x=-，这与x>0不符，因此在(0,+∞(内f(x(f(x+1(=1没有实数根；②当-1<x<0时，x+1>0，方程f(x(f(x+1(=1可化为=1，该方程又可化为a=ex+1-x.设k(x(=ex+1-x，则k/(x(=ex+1-1，f(x(f(x+1(=1在(-1,0(内恰有一个实数根；f(x(f(x+1(=1在(-1,0(内没有实数根.③当x=-1时，x+1=0,f(x+1(没有意义，所以x=-1不是f(x(f(x+1(=1的实数根.⋅x+ax+a+1④当x<-1时，x+1<0，方程⋅x+ax+a+1化为x2+(2a+1(x+a2+a-1=0，于是此方程在(-∞,-1(内恰有两个实数根，1+则有{-2a1<-1，解得a>(2a+1(21+则有{-2a1<-1，解得a>1-(2a+1(+a2+a-1>0因此当a>1+25时，方程f(x(f(x+1(=1在(-∞,-1(内恰有两个实数根，当0<a≤时，方程f(x(f(x+1(=1在(-∞,-1(内至多有一个实数根，x,h(x)=x+a(a>0).-3,-1(；即(2+a((2-2+a(=1，整理a2+(22-2(a+1-22=0，即(a+22-1((a-1(=0，解得a=1，xx(=ex(x+1)2+2ex(x+1(=ex(x+1((x+3(，x>0x<0x,x>0x<0Lx+a,+1(=1恰有3个不等实数根，①当x>0时，x+1>0，方程ω(x(ω(x+1(=1可化为e2x+1=1，解得x②当-1<x<0时，x+1>0，方程ω(x(ω(x+1(=1可化为=1，该方程又可化为a=ex+1-x.设k(x(=ex+1-x，则k/(x(=ex+1-1，x(ω(x+1(=1在(-1,0(内没有实数根.③当x=-1时，x+1=0,ω(x+1(没有意义，所以x=-1不是ω(x(ω(x+1(=1的实数根.化为x2+(2a+1(x+a2+a-1=0，于是此方程在(-∞,-1(内恰有两个实数根，则有{-2<-1，解得a>2，-4(a2+a-1则有{-2<-1，解得a>2，1-(2a+1(+a2+a-1>043.(2024·贵州贵阳·一模)英国数学家泰勒发现了如下公式：ex=1+x+++⋯++⋯其中n!=1×2×3×4×⋯×n,e为自然对数的底数，e=2.71828⋯⋯.以上公式称为泰勒公式.设f(x(=x≥1+x；<g(x(；≥h(0(=0，即ex≥1+x.x=1+x+++++⋯++⋯,①于是e-x=1-x+-+-+⋯+(-1)n+⋯,②f(x(==x+++⋯+-+⋯,g(x(==1+++⋯+-+⋯,即<g(x(.所以当a≤1时，G/(x(≥1-a≥0，所以F/(x(在R上单调递增.lna(=(-a=-a(<0，x(在(-lna,lna(上单调递减.所以当-lna<x<0时，F/(x(>0；当0<x<lna时，F/(x(<0.所以F(x(在(-lna,0(上单调递增，在(0,lna(上单调递减.性.可导，则有如下公式xn=ffⅡf川x3+⋯+ex=1+x+x4+⋯x,e-xf(n((x(=ex,f(n((0(=1，由泰勒展开式可得ex=1+x+x2+x3+x4+⋯;x=1+x+x2+x3+x4+x5⋯,e-x=1-x+x2-x3+x4-x5+⋯,所以f(x(=2+x2+x4+x6+⋯+1-ax2，则f/(x(=x+x3+x5+⋯-2ax=x+x2+x4+⋯-2a(，则当x在0的附近时，+x2+x4+⋯-2a≥0即可，x=1+x+x2+x3+x4+x5⋯,所以e2=1+2+122+123+124+5+6+4+5+6+7+=(7+t(4，3++C⋅0.3843++C⋅0.414所以k=30.f(x(的四阶导数⋯⋯,一般地，函数f(x(的n-1阶导数的导数叫做函数f(x(的n阶导数，记作f(n((x(=[fn-1(x([,，n≥4；f(x0(+(x-x0(+(x-x0(2+⋯+(x-x0(n+⋯,我们将g(x(称为函数f(x(在点x=x0处的泰勒展开式.例如f1(x)=ex在点x=0处的泰勒展开式为g1(x)=1+x+x2+⋯+xn+⋯(1)求出f(x)=cosx在点x=0处的泰勒展开式g(x(；⋯(1-((1+试求的值.【答案】(1)cosx=1-+-+⋯++⋯(3)由(1)可得-sinx=-+-+⋯+-+⋯,进而可得++⋯,结合已知可得结论.(x)=-sinx，f''(x(=-cosx，⋯,所以f(0)=cos0=1，f,(0)=-sin0=0，f''(x(=-cos0=-1，⋯,所以cosx=1-+-+⋯++⋯(2)由(1)可得cos0.3=1-+-+⋯++⋯≈1-+=1-0.045+(3)因为=(1-1+1-1+1-1+⋯=(1-1-⋯⋯①,对cosx=1-+-+⋯++⋯,两边求导可得：-sinx=-+-+⋯+-+⋯,键在于用n阶泰勒展开式表示.展开式为：f(x(=f(0(+f/(0(x+x2+⋯+xn+⋯=xn，其中f(n((0(表示f(x(的n阶导数在0处的取值，我们称xn为f(x(麦克劳林展开式的第n+1项．例如：ex=1+(2)数学竞赛小组发现ln(1+x(的麦克劳林展开式为ln(1+x(=x-这意味着：当x>0时，ln(1+x(>x-你能帮助数学竞赛小组完成对此不等式的证明吗？当x≥1时，若ex+lnx++mx，求整数m的最大值.3x(=cosx,f(2((x(=-sinx,f(3((x(=-cosx,所以第2项x1=x,x3=-因为x>0,所以g/(x(=>0,g(x(单调递增，所以g(x(>g(0(=ln1-0+0=0，所以ln(1+x(>x-.1+ln1+>+m成立，得出m<e+，m的最大整数不超过3.当m=3时，因为x≥1，所以ex>1+x++，所以ex+lnx+--3x>1+x+++lnx+--3x=+lnx+-2x，所以ex+lnx+>+3x，故当x≥1时，ex+lnx+>+3x，所以整数m的最大值为3.47.(2024·河南周口·模拟预测)已知函数f(x(=(x-1(ln(1-x(-x-cosx.(1)求函数f(x(在区间(0,1(上的极值点的个数.(2”是一个求和符号，例如i=1+2+⋯+n，=2x+2x2+⋯+2xn，等等．英国数学家布典应用. ,在构造相应函数多次求导即可得解由lnn=可将原问题x(=ln(1-x(+(x-1(×-×(-1(-1+sinx=ln(1-x(+sinx，令g(x(=ln(1-x(+sinx，则g/(x(=--+cosx，则f/(x(<f/(0(=ln1-0=0，令h(x(=，其中n→+x>0，=-1+x2(-1)n+令m(x(=μ/(x(=-sinx+x++-，则m/(x(=-cosx+1++-，故m/(x(≥0恒成立，即m(x(在(0,+∞(上单调递增，故m(x(>m(0(=-sin0+0+0+0=0，即μ/(x(>0在(0,+∞(上恒成立，即μ(x(在(0,+∞(上单调递增，故μ(x(>μ(0(=1-1+0+0+0=0，即h/(x(>0在(0,+∞(上恒成立，故h(x(在(0,+∞(上单调递增，则h(x(>h(0(=0，即=ln(1-x(+sinx<0， 故只需证sin>-，令n(x(=sinx-x+，x∈(0,+∞(，则n/(x(=cosx-1+，x(=cosx-1+即cosx-1+>0，即n/(x(>0，故n(x(在(0,+∞(上单调递增，故n(x(=sinx-x+>n(0(=0，即sin即得证.函数h(x(=，得到h/(x(=cosx-1+即可借助导数求单48.(2024·全国·模拟预测)已知函数f(x(=(x-a(e-x+x2-2x,g(x(=xe-x-ex-1-x3+ax2-f(x(，且f(x(在x=0处取得极大值.(1)求a的值与f(x(的单调区间.(1)a=1，f(x(的单调递增区间为(-∞,0(和(2,+∞(，单调递减区间为(0,2(.(2)猜想f/(c(=，m=(1)根据f(x(在x=0处取得极大值得f/(0(=0，求出a=1，利用导数求出函数f(x(的单调区间；由f(x(=(x-a(e-x+x2-2x，得f/(x(=(a+1-x(e-x+x-2.则f/(x(=(2-x(e-x+x-2=(x-2((1-e-x(.令f/(x(>0，即(x-2((1-e-x(>0，解得x∈(-∞,0(∪(2,+∞(，令f/(x(<0，即(x-2((1-e-x(<0，解得x∈(0,2(，所以f(x(在(-∞,0(和(2,+∞(上分别单调递增，在(0,2(上单调递减.所以a=1满足题意，f(x(的单调递增区间为(-∞,0(和(2,+∞(，单调递减区间为(0,2(.=.因为k=表示f(x(的图像上两端点A,B在该点处的切线与f(x(的图像上两端点A=f/(c(，-x-ex-1-x3+x2+2x，则g/(x(=-(e-x+ex-1(-x2+x+2=-(e-x+ex-1(-(x-2+≤-2e-x⋅-0+=-，又g/(x(≤-,所以kAB=g/(c(≤-.lnx+b2(x-4)eax-x3+x2.<x2<x3，求证【详解】(1)当a=-1,b=0时f(x(=x2则f(x0(===15，即f(x0(=x0=15，解得x0=4(2)当a=-1,b=1时f(x)=(x-4(e-x-x3+3x2，不妨设A(x4,f(x4((，B(x5,f(x5((，x4<x5，则kAB=，又f(x)=(5-x(e-x-x2+6x，令F(x(=f(x)=(5-x(e-x-x2+6x，则F(x(=(x-6(e-x-x+6=(x-6((e-x-1(，-x-1<0恒成立，所以当0<x<6时F(x(>0，当x>6时F(x(<0，所以F(x(在(0,6(上单调递增，在(6,+∞(上单调递减，所以F(x(在x=6处取得极大值，即最大值，所以F(x(≤F(6(=18-e-6，所以f(x(≤18-e-6，由拉格朗日中值定理可知必存在c∈(x4,x5(使得f(c)=，即f(c)=kAB，又f(x(≤18-e-6，所以kAB≤18-e-6，即函数f(x)在区间(0,+∞)图象上任意两点A，B连线的斜率不大于18-e-6；(3)当a=1,b=-1时f(x)=lnx+(x-4)ex-x3+x2，∈(x2,x3(，使得f(c1)=，f(c2)=，所以只需证明f(c1)≥f(c2)，即证明f(x(在,1(上单调递减，又f(x)=xlnx+(x-3)ex-x2+2x，令G(x(=f(x)=xlnx+(x-3)ex-x2+2x，则G(x(=lnx+(x-2)ex-x+3，令m(x(=G(x(=lnx+(x-2)ex-x+3，则m(x(=+(x-1)ex-1=(x-1((ex-，令n(x(=ex-，x∈,1(，则n(x(=ex+>0，则n(x(在,1(上单调递增，又n=e，n(1(=e-1>0，∈,1(使得n(x0(=0，所以当x∈,x0(时n(x(<0，则m(x(>0，即m(x(单调递增，1(时n(x(>0，则m(x(<0，即m(x(单调递减，所以m(x(在x0处取得极大值，即最大值，所以m(x(≤m(x0(=lnx0+(x0-2(ex0-x0+3=-x0+-x0+3-2x+4x0-2x0x0即f(x(在,1(上单调递减，命题得证.(2)构造新的函数h(x(；(3)利用导数研究h(x(的单调性或最值；题.50.(23-24高二下·江西九江·阶段练习)已知函数f(x(=x2-3x+alnx，a∈R.(1)当a=1时，求函数f(x(的在点(1,f(1((处的切线；(2)若函数f(x(在区间[1，2[上单调递减，求a的取值明理由.(1)y=-2(2)a≤-2f(x(不是(1)利用导数的几何意义求得函数f(x(的在点(1,f(1((处的斜率即可求解；(2)利用导数的几何意义可得f(x(=≤0在[1，2[上恒成立，参变分离可得a≤(-2x2+3x(min(3)假设函数f(x(是“拉格朗日中值函数”，设A(x1,y1(，B(x2,y2(是f(x(上不同的两点，且0<x1<x2，代入(1)由题意可知当a=1时，f(x(=x2-3x+lnx，f(1(=1-3+0=-2，f(x(=2x-3+，所以函数f(x(的在点(1,-2(处切线的斜率k=f(1(=2-3+1=0，所以函数f(x(的在点(1,-2(处的切线为y=-2.(2)由题意可得f(x(=2x-3+=，即a≤-2x2+3x在x∈[1,2[恒成立，只需a≤(-2x2+3x(min即可，又因为当x∈[1,2[时y=-2x2+3x∈[-2,1[，所以a≤-2.2(是f(x(上不同的两点，且0<x1<x2，由题意可得f(x1(=x-3x1+alnx1，f(x2(=x-3x2+alnx2，则kAB==-=x2+x1-3+，函数f(x(在拉格朗日平均值点处的切线斜率k=f/=x1+x2-3+，令=t(t>1(，上式化为lnt==2-，即lnt+=2，所以在(1,+∞(上不存在t使得lnt+=2，即不存在这样的A,B两点使得f/=；f/(c((b-a(成立．设f(x(=ex+x-4，其中e为自然对数的底数，e≈2.71828．易知，f(x(在实数集Rf(x(<1；(2)从图形上看，函数f(x(=ex+x-4的零点就是函数f(x(的图象0作为r的初始近似值，使得0<f(x0(<，然后在点(x0,f(x0((处作曲线y=f(x(1是r的一次近似值；在点(x1,f(x1((处作曲线y=f(x(的,⋯,xn,⋯.①当xn>r时，证明：xn>xn+1>r；证明：0<xn-r<.又由f(r)=0，得f(x)=f(x)-f(r)，根据拉格明日中值定理，存在c∈(r,x)，f(x)=f(x)-f(r)=f/(c)(x-r)<f/(c)=(ec+1)，因为r∈(1,，所以c<x<r+<+<2，(ec+1)<(e2+1)<1，所以0<f(x)<1.(2)①先证xn>xn+1，在(xn,f(xn))处，曲线y=f(x)的切线方程为y-f(xn(=f/(xn((x-xn(，令y=0，得x=xn-，即xn+1=xn-，由于xn>r，f(x)在R上单调递增，则f(xn(>f(r(=0，而f/(x(=ex+1>0，则有>0，所以xn+1=xn-<xn，即xn>xn+1；n+1>r，由于f(x)在R上单调递增，只需证f(xn+1(>f(r(=0，曲线y=f(x)的切线方程为y-f(xn(=f/(xn((x-xn(，即y=f(xn(+f/(xn((x-xn(，根据xn+1的定义，f(xn(+f/(xn((xn+1-xn(=0，令h(x(=f(x(-f(xn(-f/(xn((x-xn(，x∈[xn+1,xn[，hx(=f/(x(-f/(xn(=ex-ex<0，x∈[xn+1,xn[，于是h(x)在[xn+1,xn]上单调递减，而h(xn(=f(xn(-f(xn(-f/(xn((xn-xn(=0，因此h(xn+1(>0，又h(xn+1(=f(xn+1(，即f(xn+1(>0，所以xn+1>r，综上xn>xn+1>r.②由f(x)在R上单调递增，0<f(x0(<，得x0>r，则x0>x1>x2>⋯>xn>⋯>r>1，由①0<f(xn(<1x(====<<<，n+1-r=φ(xn(-φ(r(=φ/(c)(xn-r(<(xn-r(，n∈N，0-r820-r82-r11-r<8即<，于是<，累乘得<，所以xn-r<(x0-r(<1-r<8|⋯⋯⋯n-1-r8n-1-r8程为：y-f(x0)=f/(x0)(x-x0).ff(x(=ln(x+1(在x=0处的[1,1[阶帕德近似为R(x(=.注：fⅡ(x(=[f/(x([/,f川(x(=(4(x=[f川(x([/,f(5(x=[f(4(x[/...(2)求证：(x+b(f>1；bb=等式.x(=∵f(x(=ln(x+1(，则f/(x(=，fⅡ(x(=-t(=-=>0t>1∴(x+ln(1+>1成立，即(x+b(f>1成立.x<e<(1+x+成立，则至少有1+>0，即x>0或x<-1首先考虑e<(1+x+(1+x+>1，即(x+ln(1+>1，再考虑(1+x<e，该不等式等价于xln(1+<1，'(x(<0当x∈(-∞,-1(时由ln(1+<，可知xx<e<(1+x+的解集为(0,+∞(.算机数学中有着广泛的应用.已知函数f(x)在x=0处的[m,n[阶帕德近似定义为：R(x)=中f(2)(x)=[f/(x)[/，f(3)(x)=[f(2)(x)[/，⋯,f(m+n)(x)=[f(m+n-1)(x)[/.已知f(x)=ln(x+1)在x=0处的[2,2[阶帕德近似为R(x)=a+bx+2.1+x+2(2)设h(x(=f(x(-R(x(，证明：xh(x)≥0； λ(3)设x1<x2<x3≤0及λ>0进行讨论，结合函数单调性与零点的存在性定理计算可得当且=，(2)依题意，h(x)=f(x)-R(x)=ln(1+x)-，h/(x)=-=≥0，(3)不妨设x1<x2<x3，令t(x)=lnx-λ(x-，tI(x)=-λ(1+=(x>0)，当λ>0时，令s(x)=-λx2+x-λ,其判别式Δ=1-4λ2，若Δ=1-4λ2>0，即0<λ<，tI(x)=0存在两个不等正实根r1,r2(r1<r2(，r1,r2(r2,+∞(r1(<0,t(r2(>0，所以t(λ4(=lnλ4-λ(λ4->2--λ5+=(2-λ5(+-2(>0，t(x1(=0，又因为t=ln-λ-x(=-lnx+λ(x-=-t(x)，故当且仅当0<λ<时，lnx=λ(x-存在三个不等实根，且满足x1<x2=1<x3，且x1=，因此，lnx>(x>1)，故lnx3=λ(x3->，化简可得：<=x3+4+=x1+x2+x3+3，函数的方法.给定两个正整数m，n，函数f(x(在x=0处的[m,n[阶帕德近似定义为：R(x(=x(=[f/(x([/，f川(x(=[fⅡ(x([/，f(4((x(=[f川(x([/，f(5((x(=[f(4((x([/，⋯⋯已知函数f(x(=ln(x+1(.②若f(x(-m+1(R(x(≤1-cosx恒成立，求实数m的取值范围.O②由已知令h(x(=ln(x+1(-mx+cosx-1，且h(0(=0，所以x=0是h(x(的极大值点，求导得到h/(x(=-m-sinx，故h/(0(=1-m=0，m=1，得到m之后写出h(x(=ln(x+1(-x+cosx-1，然后求由f(0(=R(0(得a0=0，所以R(x(=，所以ln1.1=f(0.1(≈R(0.1(==≈0.095.因为F/(x(=-=<0，所以F(x(在x∈(-1,0(及(0,+∞(上均单调递减.-1,0(，F(x(>F(0(=0，即>ln(x+1(， ln(x+1(ln(x+1(，ln(x+1(ln(x+1(，②由f(x(-m+1(R(x(≤1-cosx得ln(x+1(-mx+cosx-1≤0在(-1,+∞(上恒成立，令h(x(=ln(x+1(-mx+cosx-1，且h(0(=0，所以x=0是h(x(的极大值点，又h/(x(=-m-sinx，故h/(0(=1-m=0，则m=1，当m=1时，h(x(=ln(x+1(-x+cosx-1，所以h/(x(=-sinx-1=-sinx-，-1,0(时，-sinx>0，->0，则h/(x(>0，故h(x(当x∈(0,+∞(时，h(x(=[ln(x+1(-x[+(cosx-1(，令φ(x(=ln(x+1(-x，因为φ/(x(=-1<0，所以φ(x(在(0,+∞(上单调递减，故当x∈(0,+∞(时，h(x(=[ln(x+1(-x[+(cosx-1(<0，综上，当m=1时，f(x(-m+1(R(x(≤1-cosx恒成立.(1)直接构造函数法：证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))转化为证明f(x)-g(x)>0(或f(x)-g(x)<55.(23-24高二下·湖北·期中)帕1+b1x+⋯+bnxn,,,a0+a1x+⋯+amxm，且满足：f(0(=R(0(f/(0(=R/(0(fⅡ(01+b1x+⋯+bnxn,,,fx(=[f/(x([/，f川(x(=[fⅡ(x([/,f(4((x(=[fⅡ(x([/,f(5((x已知f(x(=ln(x+1(在x=0处的[1,1[阶帕德近似为g(x(=.≥g(x(；0(列方程组求解可得；(1)由f(x(=ln(x+1(,g(x(=，有f(0(=g(0(，可知fl(x(=,fⅡ(x(=-,gl(x(=,gⅡ(x(=，令φ(x(=f(x(-g(x(=ln(x+1(-(x≥0(，则φl(x(=-=≥0，所以φ(x(在其定义域(-1,+∞(内为增函数，又φ(0(=f(0(-g(0(=0，∴x≥0时，φ(x(=f(x(-g(x(≥φ(0(=0，得证.(3)h(x(=f(x(-g(x(=ln(x+1(-的定义域是(-1,+∞(，hl(x(=-=.①当a≤2时，hl(x(≥0，所以h(x(在(-1,+∞(上单调递增，且h(0(=0，所以h(x(在(-1,+∞(上存在1个零点；(x(=x2+(4-2a((x+1(=x2+(4-2a(x+(4-2a(，由t(x(=0，得x1=(a-2(-、a2-2a〈0,x2=(a-2(+a2-2a〈0.又因为t(-1(=1>0,t(0(=4-2a<0，所以x1∈(-1,0(,x2∈(0,+∞(.x(-1,x1(x1(x1,x2(x2(x2,+∞(hl(x(+0-0+h(x(极大值h(x1(极小值h(x2(,x2(时，因为h(0(=0，所以h(x(在(x1,x2(上存在1个零点，且h(x1(>h(0(=0,h(x2(<h(0(=0；当x∈(-1,x1(时，因为h(e-a-1(=lne-a-=-<0，-1<e-a-1<0，而h(x(在(-1,x1(单调递增，且hl(x1(=0，而h(e-a-1(<0，故-1<e-a-1<x1，所以h(x(在(-1