阿基米德三角形六大题型（解析版）

性质1阿基米德三角形的底边AB上的中线MQ平行于抛物线的轴.最小值为p2.AB的方程为()A.x+2y-8=0B.x-2y+8=0C.x-4y+16=0D.x+4y-16=0所以点P(2,-4(，直线PF的斜率为=-4，A.|AB|=B.PA⊥PBC.PF⊥ABD.点P的坐标为(、3,-2(再求kPF=-、3，可判断PF⊥AB.对于A(-,B(4、3,6(，切线斜率分别为kA=-,kB=、3同理可得在点B的切线方程为3x-y-6=0x=3L,即P(43,-2Ly=-2x=3L,即P(43,-2Ly=-2-0PF=4--2=-3，kAB=-03PFkAB=-1，即PF⊥AB，C正确；程为()A.x-y-2=0B.x-2y-2=0C.x+y-2=0D.x+2y-2=0所以P(-2,4(，又F(2,0(，所以kPF==-1，因为PF⊥AB，所以kAB=1，所以直线AB的方程为y-0=x-2，即x-y-2=0.A.x1+x2=2x0B.底边AB的直线方程为x0x-p(y+y0(=0；3取AB的中点H，化简得到△AMB的面积为S=p2(1+k2(2，可判定D不正确.2=2py=x，由导数的几何意义知，直线AM的斜率为kAM=同理直线BM的斜率为kBM=x2，可得A处的切线方程为：y-y1=x1(x-x1(，即y-x1(x-x1(，化简可得所以直线AM的方程为y=x-，同理可得：直线BM的方程为y=x-，所以x-=x-，+x2=2x0，所以A正确；因点M(x0,y0)在直线AM,BM上，1-p(y0+y1(=0，x0⋅x2-p(y0+y2(=0，即A(x1,y1(在x0x-p(y+y0(=0上，B(x2,y2(在x0x-p(y+y0(=0上，所以底边AB的直线方程为x0x-p(y+y0(=0，所以B正确；设直线AB:y=kx+，联立方程组整理得x2-2pkx-p2=0，则Δ=(-2p)2+4p2=8p2>0且x1+x2=2pk，x1x2=-p2，-x2|==+1-x2|因为x1+x2=2pk，x1x2=-p2，所以x+x=(x1+x2(2-2x1x2=4p2k2+2p2，|x1-x2|=(x1+x2(2-4x1⋅x2=2p1+k2，代入可得S=+⋅2p、1+k2=2p、1+k2=p2(1+k2，min=p2，所以D不正确.请说明理由.0,-AQ2=y，所以抛物线的方程为x2=2y；若选②,准线为y=-，则-=-，得a=，所以抛物线的方程为x2=2y；将y=代入方程x2=y中，得x=±,0,-AQ：y-y1=k(x-x1(，将其与C：x2=2y联立得x2-2kx-x+2kx1=0，由Δ=(-2k(2-4×(-x+2kx1(=0得k=x1，故切线lAQ：y-y1=k(x-x1(，即y+y1=x⋅x1； (设AB的方程为x=y+，A(x1,y1(,B(x2,y2(,(y2=2pxx=y+，得y2-py-p2=0，则Δ=p2+4p2>0，则y1+y2=p，所以|AB|=x1+x2+p=y1++y2++p==10，解得p=4，(2)设直线MN的方程为x=my+n，M(x3,y3(，N(x4,y4(，联立{2+n，得y2-8my-8n=0，所以y3+y4=8m，y3y4=-8n，x令y3>0，当y>0时，x x3则在M处的切线PM的方程为：y-y3=2(x-x3(，x3同理可得切线PN的方程为：y=x+，联立PM与PN的方程，解得xp==-4，所以y3y4=-32=-8n，则n=4，满足2m2+n>0，则直线MN的方程为x=my+4，7.(2024·甘肃兰州·一模)已知圆C过点P(4,1(，M(2,3(和N(2,-1(，且圆C与y轴交于点F，点F是抛物线E:x2=2py(p>0(的焦点.(2)设直线AB的方程为y-1=k(x-4(A(x1,y1(，B(x2,y2(，过A，B点的抛物线的切线的斜率分别为k1、【解答过程】(1)因为圆C过点M(2,3(和N(2,-1(，则圆C的方程为(x-2(2+(y-1(2=4，所以过A点的切线方程为y-=x1(x-x1(，即y=x-，同理可得过B点的切线方程为y=x-，y=x-(x==2ky==4k-1y=x-(x==2k所以点Q在直线y=2x-1上，而点M(2,3(也在直线y=2x-1所以直线QM与圆C的另一个交点D就是直线y=2x-1与圆C的交点，所以直线QM与圆C的另一个交点为定点D,-.8.(2024·辽宁·三模)设抛物线C的方程为y2=4x，M为直线l:x=-m(m>0)上任意一点；过点M作抛物与y2=4x联立，得y-=k+1(，整理得y2-y+k+=0，令Δ=1-4⋅k+=0，解得k=-2或k=，同时可求得直线MA的方程为y=x+2，直线MB的方程为y=-2x-，进而可知kMA⋅kMB=-1，即直线MA与直线MB互相垂直，所以A⋅B=(x-4)(x-+(y-4)(y+1)=0，从而过M，A，B三点的圆的一般方程为x2+y2-x-3y-3=0.(圆的标准方程：(x-2+(y-2=).过抛物线上点A(x1,y1(的切线方程为y-y1=k(x-x1(，与y2=4x联立，整理得y2-y-kx1+y1=0，Δ=1-4⋅(-kx1+y1(=0，所以k=，又因为y=4x1，从而过抛物线上点A(x1,y1(的切线方程为y-y1=(x-x1(，即y1y=2(x+x1(，同理可得过点B(x2,y2(的切线为y2y=2(x+x2(，又切线MA，MB都过点M(x0,y0(，所以得y1y0=2(x0+x1(，y2y0=2(x0+x2(，2(均满足方程y0y=2(x0+x(，故直线AB的方程为y0y=2(x0+x(.设M(x0,y0(，其为直线l:x=-m(m>0)上任意一点，=2y01=2=0=-m，所以M—⋅M=(x1-x0((x2-x0(+(y1-y0((y2-y0(=4m2+my-4m-y=(m-1)(y+4m(.=y0+y-4x0因为kAB=--=y1y2=0，kMA=y0+y-4x0y0y0+y-4x02y-4x0=-1，整理得(x0+2(2y-4x0=-1，整理得(x0+2(y=-4，y0y0+当0<m<1或1<m≤2时，△MAB不是直角三角形.别为A,B.-4kx+4=0，所以切线PA,PB的方程分别为y=x-1和y=-x-1，即切线方程分别为x-y-1=0和x+y+1=0；-4kx+4(kt+1(=0，由Δ=16k2-16(kt+1(=0，得k2-tk-1=0，记关于k的一元二次方程k2-tk-1=0的两根为k1,k2，所以切线PA和PB互相垂直. 2为定值.积为定值.联立2-4y+4k=0此时抛物线C的两条切线方程分别为x-y+1=0和x+y+1=0.设其斜率为k则切线方程为y=k(x+1)+m2=-1.【解题思路】(1)设点P坐标为(t,-1(，切线斜率为k，过点P的切线方程为y=k(x-t(-1，Bt，即AB中点M的横坐标为t，设点P坐标为(t,-1(，切线斜率为k，过点P的切线方程为y=k(x-t(-1，联立方程，{-t(-1，2-4kx+4(kt+1(=0，2-16(kt+1(=0，得k2-tk-1=0，记关于k的一元二次方程k2-tk-1=0的两根为k1,k2，所以切线PA和PB互相垂直.所以过点A的切线方程为y=(x-x1(=，将点(t,-1(代入，化简得x-2tx1-4=0，同理可得x-2tx2-4=0，所以x1,x2是关于x的方程x2-2tx-4=0的两个根，所以=t，即AB中点M的横坐标为t，而点P的横坐标也为t，所以直线PM与y轴平行.x2=2t,x1x2=-4，×|x1-x2|=(t2+4(t2+4=、(t2+4(3，为y2=4x.设P(-1,t)，过点P与抛物线C2相切的直线方程为y-t=k(x+1)(k≠0)，将其代入y2=4x得y2-y+4tk4tk=-1.因为两切线均过点P(-1,t)，所以ty1=2(x1-1)，ty2=2(x2-1)，则切点弦AB的方程为ty=2(x-1)，所以直线AB恒过定设点P到直线AB的距离为则|AB|=、1+m2|y1-y2|=4(1+m2)；则|CD|=1+m2为P.x2,P(xP,yP(，2x-1x2=2k-2所以点P在定直线y=x-1上.M,0(，N,0(，所以△PMN面积S=|MN||yP|=-=|(x1-x2(x1x2|=，、(x1+x、(x1+x2(2-4x1x2|2k-2|=所以点P的坐标为(0,-1(或(2,1(、,P,得直线MF斜率kMF=-，直线MP斜率kMP==x1，所以-1=kMFkMP，由F(0,T(1,1(得kTF==，故kTP=-2,得直线TP的方程为：y=-2(x-1(+1.又点P在定直线y=x-1上，线方程为y0y=p(x+x0(．若A，B是抛物线C0:y2=ax(a>0(上的两个动点，且使得在点A与点B处QQ则QA:y1y=3(x+x1(，QB:y2y=3(x+x2(，==,QAQB=⋅=-1，∴y1y2=-9，Q==-，故点Q的轨迹方程为x=-.y=(x+x1(，QB:y2y=(x+x2(，QAQB=⋅=-1，∴y1y2=-①,由①②得y2=x-，得到C2:y2=x--，y2=x----…-=x-1+++…+=x-1-.直线AB的方程为y-x=(x1+x2((x-x1(，即y=(x1+x2(x-x1x2，又因为直线AB过点E(0,2(，所以-x1x2=2，即x1x2=-2，设直线PA的方程为y-x=k(x-x1(，与抛物线方程y=x2联立，解得x=x1或x=k-x1，所以直线PA的方程为y-x=2x1(x-x1(，即y=2xx1-x，同理直线PB的方程为y=2xx2-x，(故点P在直线y=-2上. FAFBFAFBMF(3)解法一：表示出M,N,P三点坐标，设△PMN的外接圆方程为x 所以切线l1的方程为y-=a(x-a(，结论得证.=x，所以kl=a,kl=b，:y=bx-，所以ab-(a+b(+2=0，所以-+1=0所以点P在直线y=x-1上:y=bx-，设△PMN的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，++F=0+b++F=02+abD+E+F=0解得D=-，E=-，F=所以外接圆方程为x2+y2-x-y+=0将T(1,1(代入方程，得6-2(a+b(-ab所以PF是△PMN的外接圆的直径，所以FT⊥TP，所以直线TP方程为y-1=-2(x-1)，即y=-2x+3又点P在直线y=x-1上，③PF⊥AB.PF=-1，直线PF方程为：y=-x+1，A.B.C.2D.1【解题思路】设直线AB的方程为x=my+，y1>0,y2<0，P(-,y0(，联立直线AB的方程和抛物线方程求得y1⋅y2=-，通过PF⊥AB求得y0=，再过P点作PM⎳x轴交AB于M值即可.设直线AB的方程为x=my+，y1>0,y2<0，P(-,y0(，联立整理得y2-my-2=-，又PF⊥AB，可得=0，即(,-y0(⋅(y,y2-y1(=0，化简得，当且仅当y1=-y2=时等号成立，切线l1,l21,l2分别交x轴于M,N两点.取到等号的例子P(0,-即可.设P(x0,y0(，若过点P且斜率为k的直线y=k(x-x0(+y0与抛物线x2=2y相切，则联立后得到的关于x的方程x2=2(k(x-x0(+y0(只有一个实数根.此即关于x的二次方程x2-2kx+2kx0-2y-2(y0-kx0(.方程k2=-2(y0-kx0(即k2-2x0k+2y0=0的根.故k1+k2=2x0，k1k2=2y0.2均过点P(x0,y0(，故其方程分别为y=k1(x-x0(+y0和y=k2(x-x0(+y0.在y=k1(x-x0(+y0中令y=，得x=x0+=x0+，从而得到A(x0+,，同理由y0<0，可设u=、-2y0>0，则y0=-u2，进而得到x+u2.=、x+u2≥、u2==(1+2u2+u4(x+u2.=2-u2((这里使用了不等式a2+b2≥2ab)=u2-u+=u-2+≥.⋅-=.2+y2=R2上任一点N(x0,y0(处的切线方程为x0x+y0y=R2，类比其推导思想可得抛物线C:y2=2px(p>0)上任一点N(x0,y0(处的切线方程为y0y=p(x0+x(.现过直线x=-3上一点P(不在x轴2=4x；y=2(x+x1(，同理可得R1(-x2,0(,y2t=2=02=4x，所以点M的轨迹Γ的方程为y2=4x，将点P(-3,t(带入y1y=2(x+x1(，得y1t=2(-3+x1(，同理可得R1(-x2,0(,y2t=2(-3+x2(，2(的坐标均满足方程yt=2(-3+x(，所以直线QR的方程为yt=2(-3+x(，即2x=ty+6,由{,+6,整理得，y2-2ty-12=0，tty1-y2|=1+(tty1-y2|=1+(t2+12t2+4=点P到直线QR的距离为d=|-6-t2t2+12t2+4=所以S△PQR=|QR|d=(t2+12(t2+12，t|=t2、t2+12，所以S△PQ1R1=t2=1-12S△PQRt2+12t2+12，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，△PAB又常被称作阿基米德三角形.A.B.C.p2D.2p23的面积公式可得S△PAB=p2(1+m2(2≥p2.p2，所以设直线AB的方程x=my+p2y2=4xx=my+得y2-2mpy-y2=4x所以y1+y2=2mp,y1y2=-p2，|AB|=1+m2(y1+y2(2-4y1y2=2p(1+m2(yy1=p(x+x1(,yy2=p(x+x2(，y1+y22p=-y1+y22p=-1+m2S△PAB=|AB|d=p2(1+m2(≥p2当且仅当m=0时取到最小值.弦AB过焦点F，则下列结论正确的是()A.x1+x2=2x0B.底边AB的直线方程为x0x-p(y+y0(=0；xxx-=x2x-p(x1-x2(xxxx-=x2x-p(x1-x2(x=p3x2=2py=x，由导数的几何意义知，直线AM的斜率为kAM=1x1，同理直线BM的斜率为kBM=1x2，pppx1(x-x1(，x可得A处的切线方程为：y-y1=x1(x-x1(，即y-=化简可得y=1x-，所以直线AM的方程为px1(x-x1(，x=x2x-px则(x1-x2(x=-=x2x-px1+x2=2x0，所以A正确；因点M(x0,y0)在直线AM,BM上，1-p(y0+y1(=0，x0⋅x2-p(y0+y2(=0，即A(x1,y1(在x0x-p(y+y0(=0上，B(x2,y2(在x0x-p(y+y0(=0上，所以底边AB的直线方程为x0x-p(y+y0(=0，所以B正确；设直线AB:y=kx+联立方程组整理得x2-2pkx-p2=0，则Δ=(-2p)2+4p2=8p2>0且x1+x2=2pk，x1x2=-p2，=+1-x4|因为x1+x2=2pk，x1x2=-p2，所以x+x=(x1+x2(2-2x1x2=4p2k2+2p2，|x1-x2|=(x1+x2(2-4x1⋅x2=2p1+k2，代入可得S=+⋅2p、1+k2=2p、1+k2=p2(1+k2，min=p2，所以D不正确.2+1可得x2-4kx-4=0，Δ=16k2+16>0，由韦达定理可得x3+x4=4k，x3x4=-4，由焦点弦长公式可得|MN|=y3+y4+2=k(x3+x4(+4=4(k2+1(，对函数y=求导得y/=，则直线PM的方程为y-=(x-x3(，即y=-，则F=(2k,-2(，M—=(x4-x3,y4-y3(=(x4-x3,k(x4-x3((，所以，F⋅M=2k(x4-x3(-2k(x4-x3(=0，即PF⊥MN，且|PF|=4k2+4=2k2+1，2+1=4(k2+1，所以axB=-4，则xB=-，故B(-,，TA=a，直线TA:y-=a(x-a)，所以-xD=a2，则xD=-，故D(-,，(0,，△APQ=-2(，S△ADT=+a+=(a2+4)2，所以△APQ与△ADT面积之比的最大值3-22.弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，顶点为 ()到P(-2,3(，得到答案.则y2-6y-16=0，解得y=8或y=-2，不妨设M(8,8(,N,-2(，设直线PM方程为y-8=k(x-8(，联立C:y2=8x得，[k(x-8(+8[2=8x，k2x2+(16k-16k2-8(x+64k2-128k+64=0，Δ=(16k-16k2-8(2-4k2(64k2-128k+64(=0，解得k=，故直线PM的斜率k=，故直线PM:y=x+4，同理可得直线PN的斜率k/=-2，故直线PN:y=-2x-1，y=-2x-1,y=+4,，解得x=-2,yy=-2x-1,A.B.p2C.2p2D.4p22切线为y1y=p(x+x1(，同理得过B的切线斜率为，过点B的切线为y2y=p(x+x2(，可得Q最小值.整理得y2-2pmy-p2=0，则y1+y2=2pm,y1y2=-p2.设过点A的切线方程为(y-y1(=k(x-x1(，联立{2k(x-x1(，整理得y2-y+-y=0，由Δ=(-2-4-y(=0，可得k=，则过A的切线为：(y-y1(=(x-x1(，即y1y-y=p(x-x1(，即y1y-2px1=p(x-x1(，即y1y=p(x+x1(，y1y2y2-y1y2-y12，联立两切线p(x+x1(=p(x+x2(，则x=x2y1-x1y2y1y2y2-y1y2-y12，所以两条切线的交点Q在准线上，则y1y=p(-+x1(,y2y=p(-+x2(，两式相减得(y1-y2(y=p(x1-x2(=p-==，QF=-=-m，的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y2=2px(p>0(，弦AB过焦点F，△ABQ为阿基米德三角A.锐角三角形B.直角三角形设直线AB的方程为my=x-，联立，整理得y2-2pmy-p2=0，则y1+y2=2pm，y1y2=-p2．易知切线的斜率肯定不为0，设过点A的切线方程为k1(y-y1(=x-，联立(=x-整理得y2-2pk1y+2pk1y1-y=0，则Δ=(-2pk1(2-4(2pk1y1-y(=0，即pk1=y1，设过点B的切线方程为k2(y-y2(=x-，同理可得pk2=y2，则p2k1k2=y1y2=-p2，得k1k2=-1，=-1，A.M点必在直线x=-2上，且以AB为直径的圆过M点B.M点必在直线x=-1上，但以AB为直径的圆不过M点C.M点必在直线x=-2上，但以AB为直径的圆不过M点D.M点必在直线x=-1上，且以AB为直径的圆过M点结合导数几何意义可证得过抛物线y2=4x上一点(x0,y0(的切线方程为y0y=2(x+x0(，由此可确定在A,B0(为抛物线y2=4x上一点，当y0>0∴y-y0=(x-x0(，即y-y0=x-，∴y0y=2x+=2(x+x0(；0<00(处的切线方程切线方程为y0y=2(x+x0(；0=00=00y=2(x+x0(，则抛物线在A,B处的切线方程为y1y=2(x+x1(和y2y=2(x+x2(，∴{∴2(1+x3(=03=-1，∴M点必在直线x=-1上；AC错误；设直线AB方程为：x=ty+1，③PF⊥AB.△PAB顶点P的纵坐标为()直线l:y=k(x-1(经过抛物线的焦点，所以点P(-1,2(，6.(23-24高三·云南昆明·阶段练习)过抛物线y2=2px(p>0(的焦点F作抛物线的弦与抛物线交于A、Bl2相交于点P.△PAB又常被称作阿基米德②AP⊥PB；③设A(x1,y1(、B(x2,y2(，则△PAB的面积S的最小值为；④PF⊥AB；⑤PM平行于x轴.A.2B.3C.4D.5【解答过程】先证明出抛物线y2=2px(p>0(在其上一点(x0,y0(处的切线方程为y0y=px+px0. 0(在抛物线y2=2px上，则y=2px0，2=2px(p>0(在其上一点(x0,y0(处的切线方程为y0y=px+px0.设A(x1,y1(、B(x2,y2(，设直线AB的方程为x=my+联立，消去x得y2-2mpy-p2=0，由韦达定理可得y1y2=-p2，y1+y2=2mp，对于命题①,抛物线y2=2px在点A处的切线方程为y1y=px+px1，即y1y=px+2=2px在点B处的切线方程为y2y=px+联立解得所以点P的横坐标为-，AB；当AB不与x轴垂直时，直线AB的斜率为kAB=，直线PF的斜率为kPF==-m，∴kAB⋅kPF=-1，则PF⊥AB.+m2=(m2+1(⋅|y1+=⋅(m2+1(⋅7.(2024高三·全国·专题练习)已知抛物线Γ:x推论：若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C(0,m((m>0(，则另一顶点P的轨迹方程为y=-m.A.5-1B.2+5C.3+D.5+5由推论可知以PQ为底边的阿基米德三角形的另一个顶点P的轨迹方程为y=-2，又因为切线PA与直线y=-2相交于点A，x轴相交于点D.设P(x1,y1(y2+2=y1①.2=5-1，故|PF|=y1+2=、5+3.(3)△PAB的边AB所在的直线方程为(x1+x2(x-2py-x1x2=0；以点A为切点的切线方程为y-=(x-x1)，以点B为切点的切线方程为y-=(x-x2)，联立A.点P的纵坐标为-2B.C的准线方程为x=-2:y=kx+2，2-8kx-16=0，Δ=64k2+64>0，所以x1+x2=8k，x1x2=-16，2=8y，得y/=x，则点A处的切线：y=x1x-x①,同理点B处的切线：y=x2x-x②,联立①②,得x=，y=-2，对于D项，|AB|=y1+y2+4=k(x1+x2(+8=8k2+8，点P到直线AB的距离为：d=4k2+4，1+k2A.△AMB是直角三角形B.顶点M的轨迹是抛物线C的准线C.MF是△AMB的高线利用三角形面积公式结合韦达定理可以判断D.2由导数的几何意义知，直线AM的斜率为kAM=x1，同理直线BM的斜率为kBM=x2，AB2-2pkx-p2=0，AB得到x1+x2=2pk，x1x2=-p2.对于B，由导数的几何意义可得A处的切线方程为：y-y1=x1(x-x1)，则y-=x1(x-x1)，化简可得：y=x-，所以直线AM的方程为：y=x1所以x-=x-，则(x1-x2(x=-，所以y=x2⋅x1+x2-x=所以M,-，因为抛物线C：x2=2py的准线为y=-x2|=+1-x2|-x2|=+1-x2|因为x1+x2=2pk，x1x2=-p2.所以x+x=(x1+x2(2-2x1x2=4p2k2+2p2，|x1-x2|=(x1+x2(2-4x1⋅x2=2p1+k2，min=p2，故D不正确.2(为切点的切线交于P点.若弦AB过点F(0,1(，则下列说法正确的有 ()A.x1x2=-4B.若x1=2，则A点处的切线方程为x-y-1=0程y=x1x-x，进而可判定B正确；由直线AP的斜率为x1，直线BP的斜率为x2，得到x1确.-4kx-4=0，1+x2=4k,x1⋅x2=-4，所以A正确；对于B中，由抛物线x2=4y.可得y=x2，则y/=x，则切线方程为：y-x=x1(x-x1(，即y=x1x-x，对于D中，由选项B可知，过点B的切线方程为y=x2x-x，联立直线PA,PB的方程可得P(2k,-1(,kPF=-,kPF⋅kAB=-1,PF⊥AB，|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2(2-4x1⋅x2=1+k216k2+16=4(1+k2(，|PF|=(2k-0)2+(-1-1)2=4k2+4=21+k2，3【解题思路】根据抛物线y2=2px(p>0(在点P(x0,y0(处的切线方程为y0y=p(x+x0(结合点到直线的距离【解答过程】先证抛物线y2=2px(p>0(在点P(x0,y0(处的切线方程为y0y=p(x+x0(，不妨设切线方程为：x-x0=k(y-y0(，且有y=2px0，所以Δ=4p2k2-8pky0+8px0=0⇒pk2-2y0k+2x0=0，(y-y0(⇒y0y-y=px-(y-y0(⇒y0y-y=px-px0⇒y0y=p(x+x0(，得证.pp由于弦AB过抛物线y2=4x的焦点，于是可反设直线AB的方程为x=my+1.AyB=-4A+yAyB=-4由于在A(xA,yA(处抛物线y2=4x的切线方程为yAy=2(x+xA(，在B(xB,yB(处抛物线y2=4x的切线方程为yBy=2(x+xB(，进而(yA-yB(yQ=2(xA-xB(=yy，从而yQ=yAyB=2m，将yQ=yAyB代入yAyQ=2(xQ+xA(得xQ=yB=-1.2+(-m(因此点Q的坐标为(-1,2m(，于是点Q到直线AB的距离d=|-1-2m2-|=21+2+(-m(根据弦长公式得|AB|=1+m2⋅(yA+yB(2-4yAyB=4(1+m2(，于是△ABQ的面积S=|AB|d=4(1+2x2-x+k2=0，所以x1+x2=,x1x2=1，所以|AB|=x1+x2+p=4+2k2+2=8，解得k=1或k所以直线PF的方程为y=-(x-1)，因为P点必在抛物线的准线x=-1上，所以xP=-1，所以yP=-(xP-1)=-(-1-1)=2，所以P(-1,2)，所以直线PF的方程为y=x-1，因为P点必在抛物线的准线x=-1上，所以xP=-1，所以yP=xP-1=-1-1=-2，所以P(-1,-2)，B(x20= 故可设直线AB方程为y=kx+1，方程x2-4kx-4=0的判别式Δ=16k2+16>0，所以x1+x2=4k,x1x2=-4，所以y1+y2=