第01讲集合与逻辑

第01讲集合与逻辑【考点梳理】【考点1】集合的有关知识1．集合的概念把某些能够确切指定的对象全体看作一个整体，这个整体就称为一个集合，集合中的每个对象称为该集合的元素。任何一个对象对于某一个集合来说，或是属于该集合，或是不属于该集合。集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性；集合的分类：有限集，无限集，空集；常用数集：正整数集，自然数集，整数集，有理数集，实数集；集合的表示法：列举法和描述法。2.子集与真子集子集：若集合中任何一个元素都属于集合，则集合叫做集合的子集，记作或；真子集：对于集合和，若,且中至少有一个元素不属于，则集合叫做集合的真子集，记作相等的集合：对于两个集合和，若，且，则叫做集合与集合相等，记作；空集是任何集合的子集，即，空集是任何非空集合的真子集；任何集合是其自身的子集，即；子集的传递性：若，则；若，则或；相等的集合中的所含元素完全相同；连接元素与集合的符号有：和；连接集合与集合的符号有：，，等；含有个元素的集合的子集共有个,真子集有个。3.集合的运算交集：；并集：；补集：=x|x交集与并集的定义仅一字之差，但结果却完全不同，交集中的且有时可以省略，而并集中的或不能省略，补集是相对于全集而言的，全集不同，相应的补集也不同；交集的性质：，，，，；并集的性质：，，，，；，；集合的运算满足分配律：，；补集的性质：摩根定律：，【考点2】命题命题：能够判断真假的陈述句叫命题。分类：真命题和假命题命题和命题真命题假命题如果，并且，那么记作，叫做与等价【考点3】充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件pq且qp【考点4】反证法反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．【解题方法和技巧】1.集合基本运算的方法技巧：（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.2、充要条件的两种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.3、充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.(3)数学定义都是充要条件.【考点剖析】【考点1】集合的有关知识题型一:集合的概念一、填空题1．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）若，则实数a的取值集合为______．【答案】【分析】根据元素的确定性和互异性可求实数a的取值.【详解】因为，故或或，当时，，与元素的互异性矛盾，舍；当时，，符合；当时，或，根据元素的互异性，符合，故a的取值集合为.故答案为：2．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）已知集合，，若，则___________.【答案】0【分析】根据集合元素的互异性和确定性，以及集合相等的概念，即可求出结果.【详解】由题意可知，∴，又∴，∴.故答案为：.3．（2021·上海交大附中高三开学考试）已知集合A={a，|a|，a2}，若，则实数a的值为_____.【答案】【分析】根据元素和集合的关系以及集合元素的互异性确定参数值．【详解】依题意，若，则，不满足集合元素的互异性，所以；若，则或（舍去），此时，符合题意；若，则，而，不满足集合元素的互异性，所以，综上所述，的值为．故答案为：4．（2020·上海·华东师范大学附属天山学校高三开学考试）设M是由满足下列性质的函数构成的集合：在定义域内存在，使得成立，已知下列函数：（1）；（2）；（3）；（4），其中属于集合M的函数是____________.（写出所有满足要求的函数的序号）【答案】（2）（4）【解析】根据集合的定义，可根据函数的解析式，构造方程，若方程有根，说明函数符合集合的定义，若方程无根，说明函数不符号集合的定义，由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．【详解】解：（1）中，若存在，使则即，△，故方程无解．即（2）中，存在，使成立，即；（3）中，若存在，使则即，△，故方程无解．即（4）存在，使成立，即；故答案为：（2）（4）【点睛】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，及其它方程的解法，掌握判断元素与集合关系的方法，即元素是否满足集合的性质是解答本题的关键．5．（2019·上海市金山中学高三期中）已知非空集合M满足，若存在非负整数k（），使得对任意，均有，则称集合M具有性质P，则具有性质P的集合M的个数为______________.【答案】8【分析】分的取值进行分情况计算讨论满足条件的集合，从而得到答案.【详解】当时，为.当时，为当时，为当时，为.所以满足条件的集合有8个.故答案为：8【点睛】本题考查了集合的运算性质、元素与集合之间的关系、新定义，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．二、解答题6．（2019·上海市行知中学高三阶段练习）设数集由实数构成，且满足：若（且），则．（1）若，则中至少还有几个元素？（2）集合是否为双元素集合？请说明理由．（3）若中元素个数不超过，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合．【答案】（1）中至少还有两个元素；（2）不是双元素集合，答案见解析；（3）．【解析】（1）由（且），则，结合可计算得出集合中的元素；（2）由，逐项可推导出，，结合集合元素满足互异性可得出结论；（3）由（2）中有三个元素为、、（且），设中还有一个元素，可得出，，由已知条件列方程求出、的值，即可求得集合中的所有元素.【详解】（1），．，．，．中至少还有两个元素为，；（2）不是双元素集合．理由如下：，，，由于且，，则，则，可得，由，即，可得，故集合中至少有个元素，所以，集合不是双元素集合．（3）由（2）知中有三个元素为、、（且），且，设中有一个元素为，则，，且，所以，，且集合中所有元素之积为.由于中有一个元素的平方等于所有元素的积，设或，解得（舍去）或或．此时，，，，由题意得，整理得，即，解得或或，所以，．【点睛】关键点点睛：本题考查集合中元素相关的问题，解题时要结合题中集合满足的定义推导出其它的元素，以及结合已知条件列方程求解，同时注意集合中元素满足互异性.7．（2022·上海·高三专题练习）已知集合，若，求实数的值.【答案】【分析】根据题意，可得或，然后根据结果进行验证即可.【详解】由题可知：集合，所以或，则或当时，，不符合集合元素的互异性，当时，，符合题意所以【点睛】本题考查元素与集合的关系求参数，考查计算能力，属基础题.题型二：集合的表示方法一、填空题1．（2021·上海市进才中学高三期中）进才中学1996年建校至今，有一同学选取其中8个年份组成集合，设，，若方程至少有六组不同的解，则实数k的所有可能取值是_________.【答案】【分析】根据，用列举法列举出集合A中，从小到大8个数中（设两数的差为正），相邻两数，间隔一个数，间隔二个数，间隔三个数，间隔四个数，间隔五个数，间隔六个数的两数差，从中找出差数出现次数不低于3的差数即可.【详解】集合A中，从小到大8个数中，设两数的差为正：则相邻两数的差：1，3，2，6，2，1，3；间隔一个数的两数差：4，5，8，8，3，4；间隔二个数的两数差：6，11，10，9，6；间隔三个数的两数差：12，13，11，12；间隔四个数的两数差：14，14，14；间隔五个数的两数差：15，17；间隔六个数的两数差：18；这28个差数中，3出现3次，6出现3次，14出现3次，其余都不超过2次，故k取值为：3，6，14时，方程至少有六组不同的解，所以k的可能取值为：，故答案为：2．（2021·上海师大附中高三阶段练习）已知集合各元素之和等于3，则实数___________.【答案】或【解析】由题意知中各元素为描述中方程的解，由集合的性质讨论是否相等即可求实数.【详解】由题意知：中元素，即为的解，∴或，可知：或∴当时，；当时，，∴或，故答案为：或【点睛】本题考查了集合的性质，根据集合描述及元素之和，结合互异性讨论求参数，属于基础题.3．（2020·上海闵行·一模）已知集合，则__________.【答案】【解析】将中元素逐个代入判断是否成立即可得解.【详解】将中元素逐个代入，符合的有、，即.故答案为：.【点睛】本题考查了描述法表示集合和集合的交集运算，属于基础题.题型三：集合之间的关系_一、单选题1．（2022·上海·高三专题练习）定义集合A★B=，设，则集合A★B的非空真子集的个数为（

）A．12 B．14 C．15 D．16【答案】B【分析】结合非空真子集个数()的算法即可.【详解】A?B={2,3,4,6}，所以集合的非空真子集的个数为，故选：B.2．（2022·上海·高三专题练习）集合或，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，分和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数的取值范围．【详解】解：，①当时，即无解，此时，满足题意．②当时，即有解，当时，可得，要使，则需要，解得．当时，可得，要使，则需要，解得，综上，实数的取值范围是．故选：A．【点睛】易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为.3．（2020·上海市崇明中学高三期中）已知命题“若，则”是真命题，集合满足，集合满足.下列判断正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得出是成立的充分条件，再根据充分条件与集合的包含关系可得出合适的选项.【详解】由于命题“若，则”是真命题，则是成立的充分条件，因为集合满足，集合满足，.故选：B.二、多选题4．（2020·上海市大同中学高三阶段练习）（多选）集合，，下列说法正确的是（

）A．对任意，是的子集 B．对任意，不是的子集C．存在，使得不是的子集 D．存在，使得是的子集【答案】AD【分析】讨论、均为非空或空集，研究集合、之间的包含关系.【详解】当、均不为空集时，，，此时，是的子集；当、均为空集时，，与互为子集，故选：AD.三、填空题5．（2022·上海市七宝中学高三期中）设均为实数，若集合的所有非空真子集的元素之和为，则__________【答案】【分析】列举出集合的所有非空真子集，根据题意可求得的值.【详解】集合的所有非空真子集为：、、、、、，由题意可得，解得.故答案为：.6．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）设集合，.若，则_______.【答案】【分析】由题意可知集合是集合的子集，进而求出答案.【详解】由知集合是集合的子集，所以，故答案为：.7．（2022·上海市控江中学高三开学考试）已知集合，，且，则实数的值是___________．【答案】1【分析】由子集定义分类讨论即可.【详解】因为，所以，，当时，无意义，不满足题意；当时，，满足题意；当时，，不满足题意.综上，实数的值1.故答案为：18．（2022·上海·模拟预测）设集合，，若，则实数________【答案】0，2【分析】利用子集的定义即可求出的值.【详解】集合，，若，则且，所以或，故答案为：0，2【点睛】本题主要考查了子集的定义，涉及元素的互异性，属于基础题.题型四：集合的运算一、单选题1．（2022·上海·模拟预测）已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩图是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据之间的关系进行判断即可.【详解】由，解得或，则，又因为，所以集合与集合有公共元素0，且没有包含关系，故选项A中的韦恩图是正确的.故选：A.二、填空题2．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知集合，，则_____________．【答案】【分析】首先确定集合，由交集定义可得结果.【详解】，.故答案为：.3．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）若全集，集合，，则Bn?UA=【答案】##【分析】由集合，以及集合与集合的并集确定出集合，以及求出集合的补集，再根据交集运算即可求出结果.【详解】因为，，所以?UA=xx<-所以Bn故答案为：.4．（2022·上海交大附中高三开学考试）设全集，集合，在______【答案】【分析】利用集合的补运算求即可.【详解】由，，则.故答案为：.三、解答题5．（2022·上海·高三专题练习）已知.（1）若，求实数的值；（2）若，且，求实数的值；【答案】（1）5；（2）.【解析】（1）根据集合的运算结果可得，再利用韦达定理即可求解.（2）根据集合的运算结果可得，将代入方程求解,将求解结果反代回方程，验证即可求解.【详解】（1）由，则，即是方程的两个根，所以，解得.（2）由，且，可得，所以，解得5或，当时，，此时，（舍去）当时，，此时，所以实数的值为【点睛】本题考查了由集合的运算结果求参数值，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.题型五：空集一、单选题1．（2020·上海·华东师范大学附属天山学校高三开学考试）下列五个结论：①；②；③；④；⑤，其中错误结论的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】利用集合与集合的基本关系以及集合的基本运算即可求解.【详解】对于①，与不存在包含关系；故①不正确；对于②，空集是任何集合的子集，故②正确；对于③，任何集合是它本身的子集，故，即③正确；对于④，空集是任何集合的子集，故④正确；对于⑤，由集合的交运算，可得，故⑤正确；所以错误结论为①.故选：A【点睛】本题考查了集合的基本关系、集合的基本运算，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.二、填空题2．（2020·上海市建平中学模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是________【答案】【分析】根据指数函数是单调增函数解不等式，得到集合,再根据交集的定义和空集的定义得有公共元素,进而得到.【详解】由，根据指数函数是单调增函数，可得又∵集合，，则有公共元素，所以故答案为：.【点睛】本题考查集合的交集的运算，涉及利用指数函数的单调性解指数不等式，属基础题.题型六：集合新定义一、单选题1．（2022·上海黄浦·模拟预测）若集合，其中和是不同的数字，则A中所有元素的和为（

）.A．44 B．110 C．132 D．143【答案】D【分析】由题意得，从而表示出，再由，得的可能取值，从而得和的值，可确定的值.【详解】因为，所以，所以，所以可以为1，3，9，11，33，99，所以可以为因为和是不同的数字，所以可以为，此时，所以A中所有元素的和为，故选：D【点睛】求解本题的关键是理解是循环节长度为两位的循环纯小数，从而得，进而代入集合A化简计算.2．（2022·上海市进才中学高三期中）设S是整数集Z的非空子集，如果任意的，有，则称S关于数的乘法是封闭的.若、是Z的两个没有公共元素的非空子集，．若任意的，有，同时，任意的，有，则下列结论恒成立的是(

)A．、中至少有一个关于乘法是封闭的B．、中至多有一个关于乘法是封闭的C．、中有且只有一个关于乘法是封闭的D．、中每一个关于乘法都是封闭的【答案】A【分析】本题从正面解比较困难，可运用排除法进行作答．考虑把整数集Z拆分成两个互不相交的非空子集、的并集，如为奇数集，为偶数集，或为负整数集，为非负整数集进行分析排除即可．【详解】若为奇数集，为偶数集，满足题意，此时与关于乘法都是封闭的，排除B、C；若为负整数集，为非负整数集，也满足题意，此时只有关于乘法是封闭的，排除D；从而可得、中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确.故选：A．二、填空题3．（2022·上海·模拟预测）对于复数a、b、c、d，若集合具有性质“对任意，必有”，则当时，_________．【答案】【分析】由题意可得，，结合题意分类讨论确定集合．【详解】∵，则，即，则若，则取，则若，则取，则，经检验满足题意∴故答案为：．三、解答题4．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）设自然数，若由n个不同的正整数，，…，构成的集合满足：对集合S的任何两个不同的非空子集A、B，A中所有元素之和与B中所有元素之和均不相等，则称集合S具有性质P．(1)试分别判断在集合与是否具有性质P，不必说明理由；(2)已知集合具有性质P．①记，求证：对于任意正整数，都有；②令，，求证：；(3)在（2）的条件下，求的最大值．【答案】(1)不具有性质.具有性质.(2)见解析(3)的最大值为.【分析】（1）根据集合S具有性质P的定义结合反例可判断两个集合是否具有性质.（2）①根据也具有性质及其子集的个数可证；②根据①可证.（3）不妨设，利用（2）的结论可证，从而可求最大值.(1)对于集合，因为，故集合的元素和相等，故不具有性质.对于，其共有15个非空子集：，，各集合的和分别为：，，它们彼此相异，故具有性质.(2)①因为具有性质，故对于任意的，也具有性质，否则有两个非空子集，它们的元素和相等，而也是的子集，故不具有性质，矛盾.注意到共有个非空子集，每个子集的元素和相异，且子集的和最大为，最小为，故.②因为，故，由①可得，故.(3)不妨设，设，则，由（2）可得，且.而，故，当且仅当时等号成立，即此时任意的正整数，即故此时时等号成立，故的最大值为.【点睛】思路点睛：对于与集合有关的新定义问题，注意根据定义检验，另外在问题解决的过程中，注意局部性质与整体性质的关系，注意利用已有的结果来解决后面的问题.题型七：集合的应用一、单选题1．（2019·上海市市北中学高三期中）设集合是的两个非空子集,如果存在一个从到的函数满足:对任意当时,恒有,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是A．B．C．D．【答案】D试题分析：对于集合A,存在；对于集合B,存在；对于集合C,存在因此选D.考点：函数单调性，新定义二、填空题2．（2020·上海市崇明中学高三期中）从集合的子集中选出两个非空集合，满足以下两个条件：①，；②若，则.共有___________种不同的选择.【答案】7【解析】根据所给条件，全集中共有5个元素，由，则，可知集合A中最多有两个元素，以集合A中的元素为讨论点，分A中有1个元素和2个元素进行讨论即可得解.【详解】（1）中只有一个元素：，；，；，；，.（2）中有两个元素：，；，；，.综上，共7种不同的选择.故答案为：73．（2021·上海市青浦高级中学模拟预测）若集合且下列四个关系：①；②；③；④中有且只有一个是正确的，则符合条件的所有有序数组的个数是________．【答案】6【分析】因为①；②；③；④中有且只有一个是正确的,故分四种情况进行讨论,分别分析可能存在的情况即可.【详解】若仅有①成立,则必有成立,故①不可能成立.若仅有②成立,则,,,成立,此时有,两种情况.若仅有③成立,则,,,成立,此时仅有成立.若仅有④成立,则,,,成立,此时有三种情况.综上符合条件的所有有序数组的个数是6个.故答案为：6.【点睛】本题主要考查了集合的综合运用与逻辑推理的问题,需要根据题设条件分情况讨论即可.属于中等题型.4．（2020·上海·高三专题练习）向量集合,对于任意,以及任意,都有,则称为“类集”,现有四个命题:①若为“类集”,则集合也是“类集”;②若,都是“类集”,则集合也是“类集”;③若都是“类集”,则也是“类集”;④若都是“类集”,且交集非空,则也是“类集”.其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号)【答案】①②④【解析】因为集合,对于任意,且任意,都有,可以把这个“类集”理解成,任意两个中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在上,因此可以理解它的图象成直线,逐项判断,即可求得答案.【详解】集合,对于任意,且任意,都有可以把这个“类集”理解成,任意两个中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在上,因此可以理解它的图象成直线对于①,,向量整体倍,还是表示的是直线,故①正确;对于②,因为,都是“类集”,故还是表示的是直线,故②正确;对于③,因为都是“类集”,可得是表示两条直线,故③错误;对于④,都是“类集”,且交集非空,可得表示一个点或者两直线共线时还是一条直线.综上所述,正确的是①②④.故答案为:①②④.【点睛】本题考查了集合的新定义,解题关键是要充分理解新定义,结合向量和集合知识求解,考查了分析能力和计算能力,属于难题.5．（2022·上海·高三专题练习）若X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于，属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于.则称是集合X上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合：①；②；③；④.其中是集合X上的拓扑的集合的序号是________.【答案】②④.【分析】根据集合X上的拓扑的集合的定义，逐个验证即可：①，③，因此①③都不是；②④满足：①X属于，属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于，因此②④是，从而得到答案.【详解】①；而，故①不是集合X上的拓扑的集合；②，满足：①X属于，属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于，因此②是集合X上的拓扑的集合；③；而，故③不是集合X上的拓扑的集合；④.满足：①X属于，属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于，因此④是集合X上的拓扑的集合；故答案为②④.【点睛】本题主要考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意.本题是开放型的问题，要认真分析条件，探求结论，对分析问题解决问题的能力要求较高，此题是基础题.6．（2020·上海市行知中学高三开学考试）设集合，都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，，都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是________．【答案】11【分析】含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个，由此能求出满足条件的两个元素的集合的个数．【详解】含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个，故满足条件的两个元素的集合有11个．故答案为11．【点睛】本题考查元素与集合的关系的判断，解题时要认真审题，仔细解答．与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集;（2）看这些元素满足什么限制条件;（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．【考点2】命题题型八：命题一、单选题1．（2022·上海市青浦高级中学高三阶段练习）已知与皆是定义域、值域均为R的函数，若对任意，恒成立，且与的反函数、均存在，命题P：“对任意，恒成立”，命题Q：“函数的反函数一定存在”，以下关于这两个命题的真假判断，正确的是（

）A．命题P真，命题Q真 B．命题P真，命题Q假C．命题P假，命题Q真 D．命题P假，命题Q假【答案】D【分析】利用反函数的定义和原函数与反函数关于直线的对称性，通过列举的方式加以说明即可【详解】由题，可设，与，与其反函数，均存在，命题：对任意，恒成立”由图象关于直线对称可知是错误的．如图：对命题：可设，令，存在，根据反函数特征，若函数存在反函数，则不能存在一个值对应两个的情况，说明不存在反函数故命题假，命题假故选：D．2．（2022·上海·高三专题练习）关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【解析】对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，分析各种情况下方程的两根，进而可得出结论.【详解】若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于的方程的一根为，由于两根之和为，则该方程的另一根为，两根异号，合乎题意；若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则是方程的一根，由于两根之和为，则另一根也为，两根同号，不合乎题意；若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于的方程的两根为和，两根同号，不合乎题意；若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于的方程的两根为和，两根之和为，不合乎题意.综上所述，甲命题为假命题.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查命题真假的判断，解题的关键就是对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，结合已知条件求出方程的两根，再结合各命题的真假进行判断.二、多选题3．（2021·上海·模拟预测）假设“物理好数学就好是真命题”，那么下面哪句话成立（

）A．物理好数学不一定好 B．数学好物理不一定好C．数学差物理也差 D．物理差数学不一定差【答案】BCD【分析】按照互为逆否的两个命题等价即可判断答案.【详解】设p:物理好，q:数学好，由题意，“若p，则q”为真命题，所以“若，则”为真命题，C正确；而其它形式的命题（否命题，逆命题）无法判定真假，则B,D正确.故选：BCD.三、填空题4．（2021·上海市吴淞中学高三期中）命题“如果，那么”的否命题是___________.【答案】如果，那么【分析】将条件和结论同时否定即可.【详解】命题“如果，那么”的否命题是“如果，那么”.故答案为：如果，那么5．（2022·上海·高三专题练习）能够说明“若，，则”是假命题的一组整数，的值依次为___________.【答案】，（答案不唯一）【分析】若，，可得，分，同号和异号讨论即可求得答案．【详解】解：当，，可得，①当，同号时，可得，②当，异号时，.故取整数，满足即可．故答案为:，．6．（2022·上海·高三专题练习）命题“若，则”的否命题为_______命题．（填“真”或“假”）【答案】真【分析】根据否命题的定义写出否命题，再判断真假．【详解】命题“若，则”的否命题为“若，则”，这是真命题，因此它等价的命题“若，则”是真命题．故答案为：真．【考点3】充分条件、必要条件与充要条件题型九：充分条件与必要条件一、单选题1．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知向量，“”是“”的（

）.A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】C【分析】根据向量的平方即模长的平方，结合充要条件的概念即可得结果.【详解】，故“”是“”的充要条件，故选：C.2．（2021·上海市金山中学高三期中）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】直接根据必要性和充分性的定义判断得到答案.【详解】“攻破楼兰”不一定会返回家乡，不充分；“返回家乡”了一定是在攻破楼兰的前提下，必要.故选：B.3．（2021·上海中学高三期中）已知，则“对任意”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】取特殊值来判断即可.【详解】当时，若要使，则，当时，若要使，则，所以不存在k，对任意，因为是的真子集，所以“对任意”是“”的充分不必要条件.故选：A二、填空题4．（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）毛泽东同志在《清平乐●六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的__________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）【答案】必要不充分【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确选项.【详解】“好汉”“到长城”，“到长城”“好汉”，所以“到长城”是“好汉”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分5．（2022·上海·高三专题练习）若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是________．【答案】【分析】计算不等式，然后得出且等号不能同时取得，计算即可.【详解】由得，因为是不等式成立的充分不必要条件，∴满足且等号不能同时取得，即，解得．故答案为：6．（2022·上海·高三专题练习）“”是“”的_________________条件．【答案】充分不必要【解析】根据定义分别判断充分性和必要性即可.【详解】充分性：若，则，故充分性成立；必要性：若，当时，不成立，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.【考点4】反证法题型十：反证法一、单选题1．（2022·上海交大附中模拟预测）设是定义在非空集合上的函数，且对于任意的，总有．对以下命题：命题：任取，总存在，使得；命题：对于任意的，若，则．下列说法正确的是（

）A．命题均为真命题B．命题为假命题，为真命题C．命题为真命题，为假命题D．命题均为假命题【答案】B【分析】先判断命题p为假，再利用反证法证明命题即可【详解】命题p显然是错的，下分析命题q为真命题．关注到的任意性，不妨设，则，这是很重要的一点．若，易知，若，则可验证S为无限集．上述为分析过程，下利用反证法进行证明．不妨假设，而由于，由定义，，则，与假设矛盾．故选：B二、解答题2．（2021·上海市向明中学高三期中）若数列中的每一项都为实数，且满足，则称为为“数列”.(1)若数列为“数列”且，求的值；(2)求证：若数列为“数列”，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数；(3)若数列为“数列”，且中不含值为的项，记前项中值为负数的项的个数为，求所有可能的取值.【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）推导出，，由此能求出的值；（2）假设数列的项都是正数，则，与假设矛盾；假设数列的项都是负数，，与假设矛盾，由此能证明的项不可能全是正数，也不可能全是负数；（3）存在最小的正整数满足，（），数列是周期为的数列，由此能求出结果。(1)解：（1）因为是数列，且，，，所以，解得，所以(2)证明：（2）假设数列的项都是正数，即，，，所以，，与假设矛盾，故数列的项不可能全是正数；假设数列的项全都是负数，则，而，与假设矛盾，故数列的项不可能全是负数。(3)解：（3）由（2）可知，数列中项既有负数也有正数，因此存在最小正整数满足，（），设，（），则，，，，，，，，，故有，即数列是周期为的数列，由上可知，，…，这项中，，为负数，，这两项中一个为正数，另一个为负数，其余都是正数，因为，当时，；当时，，，…，这项至多一项为负，且只能是，在，，…这项中负数项的个数为，当时，若，则，故为负数，此时，，若，则，故为负数，此时，；当时，比为负数，，；综上可知的可能取值为.3．（2020·上海·华师大二附中高三阶段练习）若正整数的二进制表示是，这里()，称有穷数列1，，，，为的生成数列，设是一个给定的实数，称为的生成数.（1）求的生成数列的项数；（2）求由的生成数列，，，的前项的和(用､表示)；（3）若实数满足，证明：存在无穷多个正整数，使得不存在正整数满足.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】（1）由题意知，求出m,可知的生成数列的项数，故解即可求解；（2）可先归纳猜想，再由数学归纳法证明；（3）对，设二进制表示下，证明不存在，使得，利用反证法证明.【详解】因为，所以且，，故确定即可确定的生成数列的项数，令，解得，因为，所以，所以的生成数列的项数为；（2）法一：(数学归纳法)当时，，当时，，当时，，猜想：，接下来用数学归纳法证明，当时，已证，假设结论对成立，则对有，故结论对也成立，所以；（3）对，设二进制表示下，我们证明不存在，使得，事实上，对这样的，有，如果存在，使得，设的二进制表示为，则，