专题13随机互斥对立三大概率事件综合问题专练-2021-2022学年高二数学专题训练（2021必修三）

专题13随机、互斥、对立三大概率事件综合问题专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一个系统如图所示，，，，，，为6个部件，其正常工作的概率都是，且是否正常工作是相互独立的，当，都正常工作或正常工作，或正常工作，或，都正常工作时，系统就能正常工作，则系统正常工作的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】并联而成的四个支路，至少有一个支路正常工作系统就正常工作，求出四个支路都不能正常工作的概率，再利用对立事件的概率公式即可得解.【详解】设“正常工作”为事件，“正常工作”为事件，则“与中至少有一个不正常工作”为事件，“与中至少有一个不正常工作”为事件，则，于是得系统不正常工作的事件为，而，，，相互独立，所以系统正常工作的概率．故选：A2．2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布．若，假设三个收费口均能正常工作，则这三个收费口每天通过的小汽车数至少有一个超过700辆的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出，再求出这三个收费口每天通过的小汽车数至少有一个超过700辆的概率即得解.【详解】根据正态曲线的对称性，每个收费口每天通过的小汽车数超过700辆的概率，所以这三个收费口每天通过的小汽车数至少有一个超过700辆的概率，故选：C．3．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率.若生产状态正常，有如下命题：甲：；乙：的取值在内的概率与在内的概率相等；丙：；丁：记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则.（参考数据：若，则，，；）其中假命题是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【分析】根据可判断甲；根据两个区间长度相等，对称轴落在区间可判断乙；根据概率的对称性可判断丙；求出1只口罩的的过滤率大于的概率，再由二项分布的概率以及对立事件的概率即可判断丁，进而可得正确答案.【详解】由知，，，对于甲：由正态分布曲线可得：，故甲为真命题；对于乙：，两个区间长度均为1个，但，由正态分布性质知，落在内的概率大于落在内的概率，故乙是假命题；对于丙：由知，丙正确；对于丁：1只口罩的的过滤率大于的概率，，所以，，故丁是真命题.故选：B.4．下列说法正确的是（）A．从装有个红球和个白球的口袋内任取个球，记事件为“恰有个白球”，事件为恰有个白球”，则与互斥B．甲､乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛场，甲胜场C．随机试验的频率与概率相等D．抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为或”，事件为“向上的点数为奇数”，则与对立【答案】A【分析】直接利用互斥事件和对立事件，频率和概率的关系的应用判断、、、的结论．【详解】解：对于：从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，记事件为“恰有1个白球”，事件为恰有2个白球”，则与互斥，故正确；对于：甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，并不是说比赛5场，甲胜3场，故错误；对于：随机试验可以用频率估计概率，并不是说频率和概率相等，故错误；对于：抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为1或4”，事件为“向上的点数为奇数”，则与不对立，故错误．故选：．5．一个盒子里有2个红1个绿2个黄球，从盒子中随机取球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设取球停止时拿出黄球的个数为随机变量，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析得到表示第一次取球取到红球或第一次取到绿球第二次取到红球，再利用互斥事件的概率公式求解.【详解】根据题意可知，表示第一次取球取到红球或第一次取到绿球第二次取到红球，所以；故选：A6．掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件A=“第一次出现奇数点”，事件B=“两次点数相同”，则A与B的关系为（）A．互斥但不对立 B．互为对立 C．相互独立 D．以上关系均不正确【答案】C【分析】根据互斥，对立与独立事件的定义判断即可.【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子两次，出现的可能的情况共有36中，事件A包含，共18种，事件B包含，共6种，事件包含，共3种，所以根据互斥事件与对立事件的定义，均不满足，由于，，，所以，所以A与B的关系为相互独立.故选：C7．甲、乙两人进行投壶比赛，比赛规则：比赛中投中情况分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，投不中算“零筹”，进行三场比赛后得筹数最多者获胜．假设每场比赛中甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，乙的投掷水平与甲相同，且甲，乙两人投掷相互独立．比赛第一场，两人平局，第二场，甲投中“贯耳”，乙投中“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】甲要想赢得比赛，在第三场比赛中，比乙至少多得三筹．甲得“四筹”，乙得“零筹”，甲可赢；甲得“五筹”，乙得“零筹”或“两筹”，甲可赢；甲得“六筹”，乙得“零筹”或“两筹”，甲可赢；甲得“十筹”，乙得“零筹”或“两筹”、“四筹”、“五筹”、“六筹”，甲都可蠃，由此利用互斥事件概率加法公式能求出甲获胜的概率．【详解】解：由题可知筹数2456100若甲获胜，则在第三场比赛中，甲比乙至少多得三筹．分以下四种情况：①甲得“四筹”，乙得“零筹”，此种情况发生的概率；②甲得“五筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况发生的概率；③甲得“六筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况发生的概率；④甲得“十筹”，乙得“零筹”或“两筹”或“四筹”或“五筹”或“六筹”，此情况发生的概率，故甲获胜的概率．故选：D．8．下列说法正确的有()①概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；③任意事件A发生的概率P(A)总满足0<P(A)<1；④若事件A的概率趋近于0，即P(A)→0，则事件A是不可能事件.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】根据概率与频率的关系判断①正确，根据基本事件的特点判断②正确，根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断③错误，根据小概率事件的概念判断④错误．【详解】频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率．

∴随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．∴①正确．

∵基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生．∴②正确．

∵必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，∴任意事件A发生的概率P（A）满足0≤P（A）≤1，∴③错误．

若事件A的概率趋近于0，则事件A是小概率事件，∴④错误

∴说法正确的有两个，

故选C．【点睛】本题主要考查了概率的概念和有关性质，属于概念辨析题，对一些易混概念必须区分清．9．下列说法正确的是A．袋中有形状、大小、质地完全一样的个红球和个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球B．天气预报“明天降水概率”，是指明天有的时间会下雨C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票张，一定会中奖D．连续掷一枚均匀硬币，若次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上【答案】D【分析】根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可.【详解】A选项，袋中有形状、大小、质地完全一样的个红球和个白球，从中随机抽出一个球，是红球的概率是，故本项错误；B选项,天气预报“明天降水概率”，是指明天有的概率会下雨，故本选项错误；C选项，某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票张，可能会中奖，故本选项错误；D选项，连续掷一枚均匀硬币，若次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，故本选项正确.故选D.【点睛】本题主要考查了概率的意义，属于中档题.10．下列命题中正确的是（）A．事件发生的概率等于事件发生的频率B．一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点C．掷两枚质地均匀的硬币，事件为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件为“两枚都是正面朝上”，则D．对于两个事件、，若，则事件与事件互斥【答案】C【分析】根据频率与概率的关系判断即可得A选项错误；根据概率的意义即可判断B选项错误；根据古典概型公式计算即可得C选项正确；举例说明即可得D选项错误.【详解】解：对于A选项，频率与实验次数有关，且在概率附近摆动，故A选项错误；对于B选项，根据概率的意义，一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是，表示一次实验发生的可能性是，故骰子掷6次出现3点的次数也不确定，故B选项错误；对于C选项，根据概率的计算公式得，，故，故C选项正确；对于D选项，设，A事件表示从中任取一个数，使得的事件，则，B事件表示从中任取一个数，使得的事件，则，显然，此时A事件与B事件不互斥，故D选项错误.【点睛】本题考查概率与频率的关系，概率的意义，互斥事件等，解题的关键在于D选项的判断，适当的举反例求解即可.二、填空题11．在件产品中，有件一级品，件二级品，则下列事件：①在这件产品中任意选出件，全部是一级品；②在这件产品中任意选出件，全部是二级品；③在这件产品中任意选出件，不全是一级品；④在这件产品中任意选出件，其中不是一级品的件数小于．其中随机事件是．【答案】①③【解析】试题分析：由于在件产品中，有件一级品，件二级品，则①“件产品中，有件一级品，件二级品”，这件事可能发生，也可能不发生，故是随机事件．②“在这件产品中任意选出件，全部是二级品”这件事根本不可能发生，故是不可能事件；③“在这件产品中任意选出件，不全是一级品”，这件事可能发生，也可能不发生，故是随机事件；④“在这件产品中任意选出件，其中不是一级品的件数小于”，是一定要发生的事件，故是必然事件．考点：随机事件12．下列事件：①在空间内取三个点，可以确定一个平面；②13个人中，至少有2个人的生日在同一个月份；③某电影院某天的上座率会超过50%；④函数y＝logax(0＜a＜1)在定义域内为增函数；⑤从一个装有100只红球和1只白球的袋中摸球，摸到白球．其中，________是随机事件，________是必然事件，________是不可能事件．(填写序号)【答案】①③⑤；②；④【详解】①空间中不共线的三点可确定一个平面，故①是随机事件；②一年中有12个月份，故13个人中，一定有至少2个人的生日在同一个月份，为必然事件；③是随机事件；④当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域内为减函数，故④为不可能事件；⑤是随机事件．考点：随机事件与确定事件.13．(1)“从自然数中任取两数,其中一个是偶数”,这是___事件;

(2)“从自然数中任取连续两数,乘积是偶数”,这是___事件;

(3)“从自然数中任取两数,差为”,这是___事件.【答案】随机必然不可能【解析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义知(1)随机(2)必然(3)不可能.14．某学校有，两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8．则甲同学第二天去餐厅用餐的概率为______；【答案】0.7【分析】第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.【详解】设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，则，且与互斥根据题意得：，，由全概率公式，得：.故答案为：0.7.15．某校开展了“节能减排，保护环境，从我做起！”的活动，该校高二六班同学利用假期在东城、西城两个小区逐户进行关于“生活习惯是否符合低碳排放标准”的调查生活习惯符合低碳排放标准的称为“低碳家庭”，否则称为“非低碳家庭”.经统计，这两类家庭占各自小区总户数的比例如下表：低碳家庭非低碳家庭东城小区西城小区如果在东城、西城两个小区内各随机选择2个家庭（视比例为概率），则这4个家庭中恰好有2个家庭是“低碳家庭”的概率为______.【答案】【分析】把所求概率的事件分拆成3个互斥事件的和，利用n次独立重复试验，某事件恰好发生k次的概率公式计算即得.【详解】依题意，4个家庭中恰好有2个家庭是“低碳家庭”的事件，是“低碳家庭”为东城小区两个的事件，为东城小区与西城小区各一个的事件，为西城小区两个的事件的和，且，，互斥，，，，于是得，所以这4个家庭中恰好有2个家庭是“低碳家庭”的概率为.故答案为：16．袋中有3个伍分硬币､3个贰分硬币和4个壹分硬币，从中任取三个，求总分值超过8分的概率.【答案】【分析】设总分值超过8分记为事件A，分4种情况讨论：①“取到3个伍分硬币”；“取到2个伍分硬币和1个贰分硬币”；“取到2个伍分硬币和1个壹分硬币”；④“取到1个伍分硬币和2个贰分硬币”，分别求得相应的概率，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解.【详解】根据题意，设总分值超过8分记为事件A，该事件包括下列4种情况：①“取到3个伍分硬币”记为，概率为；②“取到2个伍分硬币和1个贰分硬币”记为，概率为；③“取到2个伍分硬币和1个壹分硬币”记为，概率为；④“取到1个伍分硬币和2个贰分硬币”记为，概率为，又由，，，彼此为互斥事件，故所求概率为.故答案为：.17．某校举行知识比赛，比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答对每题的概率均，且相互之间没有影响，则选手甲进入复赛的概率是______．【答案】【分析】先对甲进入复赛的事件进行分拆，再利用n次独立试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式计算即可得解.【详解】依题意，甲进入复赛的事件M是甲答3题进入复赛的事件M1，甲答4题进入复赛的事件M2，甲答5题进入复赛的事件M3的和，它们互斥，而选手甲答对每题的概率均，则，，，于是得，所以选手甲进入复赛的概率是.故答案为：18．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则密码被成功破译的概率_________．【答案】【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案．【详解】解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，，则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率，故该密码被成功破译的概率．故答案为：．19．一项过关游戏规则规定:在第关要抛掷一颗质地均匀的骰子次，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关.甲同学参加了该游戏，他连过前二关的概率是_____．【答案】【分析】由题可求过第一、二关的概率，再利用独立事件的概率公式即求.【详解】由于骰子是均匀正方体，所以，抛掷后各点数出现的可能性是相等的.设事件An，为“第n次过关失败”，则对立事件为“第n次过关成功”，第n次游戏中，基本事件总数为.第1关：事件所含基本事件数为2（即出现点数1和2两种情况）.所以，过此关的概率为.第2关：事件所含基本事件数为方程当分别取2、3、4时的正整数解组数之和，即6个.所以，过此关的概率为.故连过两关的概率为.故答案为：.20．从4名男同学和5名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中不都是男同学的概率为______（结果用数值表示）【答案】【分析】先考虑“选出的人都是男同学”的概率，然后根据对立事件的概率关系可求得结果.【详解】记事件为“选出的人都是男同学”，则为“选出的人中不都是男同学”，因为，所以，故答案为：.三、解答题21．为加强进口冷链食品监管，进一步确定某批进口冷冻食品是否感染病毒，在入关检疫时需要对其采样进行化验，若结果呈阳性，则有该病毒；若结果呈阴性，则没有该病毒，对于，（）份样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验次：二是混合检验，将份样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这份全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这份究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则份检验的次数共为次，若每份样本没有该病毒的概率为，而且样本之间是否有该病毒是相互独立的．（1）求2份样本混合的结果为阳性的概率；（2）若取得4份样本，考虑以下两种检验方案：方案一：采用混合检验；方案二：平均分成两组，每组2份样本采用混合检验．若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．试问方案一、二哪个更“优”？请说明理由．【答案】（1）；（2）方案一更优，理由见解析．【分析】（1）应用对立事件的概率求法，求2份样本混合的结果为阳性的概率；（2）根据步骤分别写出方案一、方案二对应的分布列，进而求它们的期望，比较期望值的大小，即可判断较优的方案.【详解】（1）该混合样本阴性的概率是，由对立事件得：阳性的概率为：．（2）方案一：混在一起检验，方案一的检验次数记为X，则X的可能取值为1，5，P(X＝1)＝，P(X＝5)＝，∴X的分布列为：X15P∴E(X)＝1×+5×＝．方案二：由题意分析得每组2份样本混合检验时，若阴性则检验次数为1，概率为，若阳性，则检测次数为3，概率为，检验次数记为Y，则Y的可能取值为2，4，6，P(Y＝2)＝，P(Y＝4)＝＝，P(Y＝6)＝()2＝，∴Y的分布列为：Y246P∴E(Y)＝2×+4×+6×＝＝，E(Y)E(X)＝＝，∴E(X)＜E(Y)，故方案一更优．22．某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字100，80，60，0.凡顾客当天在该商场消费每超过1000元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金（单位：元）.设奖券上的数字为ξ，ξ的分布列如下表所示，且ξ的数学期望E（ξ）=22.Ξ10080600P0.05ab0.7（1）求a，b的值；（2）若某顾客当天在商场消费2500元，求该顾客获得奖金数不少于160元的概率.【答案】（1）；（2）0.0375.【分析】（1）根据E（ξ）=22和概率和为1，联立求解即得解；（2）由题意可抽奖两次，奖金数不少于160元的抽法只能是100元和100元、100元和80元