21不等式的基本性质（共2课时）（教案）-高一数学（高教版2021基础模块上册）

《2.1不等式的基本性质》教学设计学习目标知识能力与素养（1）理解不等式的基本性质；（2）了解不等式基本性质的应用．（1）通过不等关系的学习与探究，培养数学思维能力；（2）经历比较实数大小及证明不等关系的过程，关注逻辑判断与推理．学习重难点重点难点⑴比较两个实数大小的方法；⑵不等式的基本性质．比较两个实数大小的方法．教材分析本节内容是第二章不等式的第一节，是整个不等式章节的基础，不等式是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应用，所以对不等式的学习有着重要的实际意义，不等式的性质为学生以后学习解不等式奠定基础.学情分析职业学校数学本身的特殊性，学生数学基础知识比较薄弱，学习兴趣需要激发,从学习新知识的意义上来讲，要尽量提高学生的数学素质，力争让数学课有趣生动，降低难度，激发学生自主学习的欲望．教学工具教学课件课时安排2课时教学过程同学们，与相等关系相比，不等关系在现实世界中更为普遍．不等式就是描述不等关系的一种重要的数学表示形式，我们将通过实数大小的比较，来研究不等式的基本性质．实数的大小（一）创设情境，生成问题两个周长相等的矩形，它们的面积哪个更大呢？图（1）所示为正方形，面积为3cm×3cm=9cm2；图（2）所示为长方形，面积为4cm×2cm=8cm2．由于9−8=1＞0，所以它们的面积不相等，且图（1）所示正方形的面积大于图（2）所示矩形的面积．【设计意图】引出新知。（二）调动思维，探究新知一般地，对于任意实数a，b，如果，那么称a大于b（或b小于a）．因为实数与数轴上的点是一一对应的，对于任意实数a，b都可以在数轴上找到对应的点A和B，如图所示．从图中，我们容易观察到，当点A在点B的右边时，a>b；当点A在点B的左边时，a<b；当点A与点B重合时，a=b．关于实数a，b的大小关系，可以通过以下运算来表示：要比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．这种比较大小的方法称为作差比较法．【设计意图】总结两个实数比较大小的方法，并利用数轴进一步说明，数形结合深化“作差比较法”（三）巩固知识，典例练习【典例1】比较与的大小．解因为所以温馨提示【典例2】比较与的大小．解因为所以探究与发现设a，b均为实数，试比较a²＋b²－ab与ab的大小．（四）巩固练习，提升素养【巩固1】比较与的大小．解，因此，．【巩固2】当时，比较和的大小．解因为，所以，．故 ， 所以.【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺（五）巩固练习，提升素养1.比较下列各组实数的大小．2.若，比较与的大小．3．比较与的大小．2.1.2不等式的性质（一）创设情境，生成问题比较两个实数大小的作差比较法为研究不等式奠定了基础．那么，如何用这个方法研究不等式的性质呢？在义务教育阶段，我们学习过一些不等式的性质，如：性质1如果，且，那么．（不等式的传递性）性质1表明，不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或代数式），不等号的方向不变．因此性质1也称为不等式的加法法则．利用不等式的加法法则，容易证明：如果，那么．这表明，不等式的任何一项可以从不等式的一边移到另一边，但同时要改变符号．这条结论也称为移项法则．性质2如果，那么．如果，那么．性质2表明，不等式两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．性质2也称为不等式的乘法法则．【设计意图】介绍不等式的基本性质（二）调动思维，探究新知性质1的证明由a＞b知，a–b＞0，于是(a＋c)–(b＋c)=a＋c–b–c=a–b＞0，所以a＋c＞b＋c．实数a、b和在数轴上分别对应点A和B，a+c和b+c在数轴上分别对应点A'’和点B'．当c>0时，点A和点B同时向右平移c个单位，即可到达点A'和点B'的位置；当c<0时，点A和点B同时向左平移c个单位，即可到达点A'和点B'的位置．显然，两种情况中，点A'点B'的左右位置与点A和点B的情况相同．性质3如果，那么．证明由a＞b，b＞c，得a–b＞0，b−c＞0；所以a－c＝a−b＋b−c＝(a−b)＋(b−c)＞0，由此得a＞c．对于实数a、b和c，它们在数轴上分别对应点𝐴、𝐵和𝐶，由𝑎>𝑏，所以点𝐴在点𝐵的右边，又因为𝑏>𝑐，即点𝐵在点𝐶右边，所以三个点从左到右依次为点𝐶、点𝐵和点𝐴，即𝑎>𝑏>𝑐．性质3表明不等式具有传递性．性质4如果那么．性质4也称为同向不等式的可加性．证明由a＞b，c＞d，由性质1得a+c>b+c,b+c>b+d,由性质3得（三）巩固知识，典例练习【典例3】用符号填空，并说明利用了不等式的哪（几）条基本性质．（1）如果𝑎<𝑏，那么𝑎−5𝑏−5（2）如果𝑎>𝑏，那么𝑎+4𝑏+2（3）如果𝑎<𝑏，那么（4）如果𝑎>𝑏，那么3𝑎−23𝑏−3．解（1）根据不等式性质1，不等式𝑎<𝑏两边同时减去5，不等号方向不变，即𝑎−5<𝑏−5．（2）根据不等式性质1，不等式𝑎>𝑏两边同时加上4，不等号方向不变，即𝑎+4>𝑏+4，又因为𝑏+4>𝑏+2，所以根据不等式性质3，可以得到𝑎+4>𝑏+2．（3）根据不等式性质2，不等式𝑎<𝑏两边同时除以−2，不等号方向改变，即．（4）根据不等式性质2，不等式两边同时乘以3，不等号方向不变，即3𝑎>3𝑏，再仿照（2）的方法，可以得到3𝑎−2>3𝑏−3．【典例4】若，，试证明．解因为，，由不等式的性质2得．同理，由，，得．因此，由不等式的性质3可得．【典例5】如果代数式与代数式的差不大于2，求x的取值范围．解由题可知(6𝑥+7)−(3𝑥−5)⩽2，化简得3𝑥+12⩽2，因此3𝑥⩽2−12故x⩽−10所以x的取值范围是xx⩽−【设计意图】巩固知识调动学生互动学习（四）巩固练习，提升素养【巩固3】用符号“”或“”填空，并说出应用了不等式的哪条性质．设，；设，；设，；设，．解（1），应用不等式性质2；（2），应用不等式性质3；（3），应用不等式性质3；（4），应用不等式性质2与性质3．探究与发现如果a>b，c>d，是否有“ac>bd”成立呢？如果成立，请说明理由；否则，请举出反例．（五）巩固练习，提升素养1．已知a＞b，用符号“＞”或“＜”填空:（1）a+1b+1；（2）5a5b；（3）3a+33b+2．2．判断下列结论是否正确，并说明理由．（1）如果a<b且b<（2）如果a>b，那么（3）如果a>b且c>3．如果代数式与代数式的差不小于3，求x的取值范围．（六）课堂小结，反思感悟1.知识总结：2.自我反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？【设计意图】通过总结，让学生进一步理解不等式的性质。通过反思，让学生对自己知识掌握程度有更清楚的认识，同时培养学生良好的学习习惯。（七）作业布置，继续探究(1)读书部分：教材章节2.1.1，2.1.2；(2)书面作业：P46习题2.1的1，2，3，4.（八）教学反思