教案6.1几何建模概述

6.1几何建模概述1．几何建模

工程中的零件和结构件大都是以三维立体形式存在于空间，它们一般由一些简单的几何形体组成。几何造型就是利用计算机技术，有效地将一些简单的几何形体组合成较复杂的立体，即在计算机屏幕上交互地构造和修改设计对象形体，并在计算机内建立三维几何模型。对于现实世界中的物体，通过某种描述、处理、存储等方法，将它转换成为计算机的内部表示的过程称为建模。在计算机辅助机械产品设计与制造中，将零部件的几何形状用计算机内部表示就是几何建模。建模过程实质就是一个描述、处理、存储、表达现实世界的过程。1几何建模技术是CAD/CAM系统中的关键技术。几何建模技术是以计算机能够理解的方式，对几何实体进行确切的定义，赋予一定的数学描述，再以一定的数据结构形式对所定义的几何实体加以描述，从而在计算机内部构造一个实体的模型。几何建模技术研究的是产品数据模型在计算机内部的建立方法、过程及采用的数据结构和算法。该模型是对几何实体的确切的数学描述或是对几何实体某种状态的真实模拟，它将为CAD/CAM系统的各种不同的后续应用提供信息，如由模型产生有限元网格，根据模型编制数控加工程序，由模型进行机器装配、干涉检查等。通常将能够定义、描述、生成几何模型，并能交互编辑的系统称为几何造型系统。2所谓几何建模就是以计算机能够理解的方式，对实体进行确切的定义，赋予一定的数学描述，再以一定的数据结构形式对所定义的几何实体加以描述，从而在计算机内部构造一个实体的模型。3三维几何建模系统可划分为线框建模、表面建模和实体建模三种主要类型

分别对应于用一维的线、二维的面和三维的体来构造形体。几何建模的定义、描述的几何实体必须是完整的、唯一的，而且能够从计算机内部的模型上提取该实体生成过程中的全部信息．或者能够通过系统的计算分析自动生成某些信息。

一般来说，几何造型是通过对点、线、面、体等几何元素，经过平移、旋转等几何变换和并、交、差等集合运算，产生满足设计目的的物体模型。

42．几何建模技术的发展

20世纪60年代：几何建模技术发展的初始阶段—线框模型，仅含有顶点和棱边的信息20世纪70年代：表面模型。在线框模型的基础上增加面的信息，使构造的形体能够进行消隐、生成剖面和着色处理。后来又出现曲面模型，用于各种曲面的拟合、表示、求交和显示。20世纪70年代末：实体造型。通过简单体素的几何变换和交、并、差集合运算生成各种复杂形体的建模技术，实体模型能够包含较完整的形体几何信息和拓扑信息。是目前CAD/CAM建模的主流技术。线框模型、表面模型、实体模型统称为几何模型。20世纪80年代：特征建模技术。不仅表达产品的几何形状信息，而且表达与制造有关的非几何信息。如：精度、公差、粗糙度等

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几何信息是指一个物体在三维欧氏空间中的位置、大小、尺寸和形状信息。对于一条空间直线，可以用它的两个端点的位置矢量来表示，也可以用其端点在三维直角坐标系中的坐标分量来定义。例如几种常见的几何元素的定义：顶点：V=(x,y,z)直线：(x-x0)/A=(y-y0)/B=(z-z0)/C平面：ax+bx+cx+d=0二次曲面：ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0自由曲面：可用Coons曲面、Bezier曲面、B样条曲面、NURBS曲面的参数方程表示

1.几何信息二、几何建模技术的基本知识

1.几何信息

2.拓扑信息

3．非几何信息

4.

形体的表示

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拓扑信息是指该物体的拓扑元素(顶点Vertex、边Edge和表面Face)的个数、类型以及它们相互之间的连接关系，根据这些信息可以确定物体表面的邻接关系。

各种几何元素相互间的关系构成了形体的拓扑信息。

2.拓扑信息

任一形体是由点、边、环、面、体等各种不同的几何元素构成，这些几何元素间的连接关系是指一个形体由哪些面组成，每个面上有几个环，每个环有哪些边组成，每个边又由哪些顶点定义等。各种几何元素相互间的关系构成了形体的拓扑信息。因此，拓扑关系允许三维实体作弹性运动，这些运动使得三维实体上的点仍为不同的点，而不允许把不同的点合并成一个点。对于两个形状和大小不一样的实体的拓扑关系恰好可能是等价的。典型的例子是立方体和圆柱体，这两个实体的几何信息是不同的，而其拓扑特性是等价的，如图4．3所示。7描述形体拓扑信息的根本目的是便于直接对构成形体的各面、边及顶点的参数和属性进行存取和查询，便于实现以面、边、点为基础的各种几何运算和操作。

对于多面体，其拓扑元素顶点、边、面的连接关系共有9种，如图4．4所示各种几何元素相互间的关系构成了形体的拓扑信息。8

非几何信息是指产品除描述实体几何、拓扑信息以外的信息，包括零件的物理属性和工艺属性等，如零件的质量、性能参数、公差、加工粗糙度和技术要求等信息。为了满足CAD/CAM/CAPP集成的要求，非几何信息的描述和表示显得越来越重要，是目前特征建模中特征分类的基础。

3．非几何信息

4、

形体的表示形体在计算机内常采用六层拓扑结构来定义。并规定形体及几何元索均定义在三维欧氏空间中。

9定义形体的拓扑结构

10①体体是由封闭表面围成的有效空间，其边界是有限个面的集合，而外壳是形体的最大边界，是实体拓扑结构中的最高层。②壳壳由一组连续的面围成，实体的边界称为外壳，如果壳所包围的空间是个空集则为内壳。③面面是形体表面的一部分，且具有方向性，它由一个外环和苦干个内环界定其有效范围。面的方向用垂直于面的法矢表示，法矢向外为正向面。④环环是由有序、有向的边组成的封闭边界，环中各条边不能自交，相邻两边共享一个端点。环有内环、外环之分，确定面中内孔或凸台边界的环为内环，确定面的最大外边界的环为外环，外环最大且只有一个。环具有方向性，外环通常按逆时针方向，而内环通常按顺时针方向。11⑥点点是边的瑞点，点不允许出现在边的内部，也不能孤立地存在于物体内、物体外或面内,点是造型中最基本的元素，它可以是形体的顶点，也可以是曲线曲面的控制点、型值点、插值点。顶点则是面中两条不共线线段的交点。

⑤边边是形体中两个相邻面的交界，一条边只能有两个相邻的面，一条边有两个端点定界该边的起点和终点，它可以是空间直线或曲线。

体素体素指可由若干个参数描述的基本形状，如立方体、圆柱、球、环等，体素也可以是由定义的轮廓沿指定边线扫描生成的空间。如立方体可用一个顶点坐标(x，y，z),三个轴向边长(dx，dy，dz)．以及绕x,y,z轴旋转的角度αx,αy,αz来定义。对于球体只要给出球心位置(x0,y0，z0)及其半径r即能唯一确定。

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集合运算是几何造型的基本方法，任何复杂形体那可以通过简单形体的集合运算生成，集合运算包括并、交、差，相应的集合算子及其作用如下：并A∪B取A和B的并集交A∩8取A和B的交集差A－B从A中减去A和B的交集三、集合运算与正则集合运算

由正则形体通过集合运算而生成的形体不一定仍然是正则的，而早期的造型理论特别强调几何形体的正则性，为此引入了正则集合运算的概念。能够产生正则形体的集合运算称为正则集合运算。相应的正则集合算子有：正则并U* 正则交∩* 正则差—*A∩*B=Ki（B∩A）数学上正则集定义为：S=KiS

图该公式的含义为：如果一集合S的内部闭包与原来的集合相等．则称此集合为正则集。式中∩*、∪*、－*分别为正则交、正则并和正则差，K是封闭的意思，i是内部的意思。图4．6两个立方体的普通布尔交集

图4．7普通布尔运算，出现了悬面

13一个形体的表面是由一系列基本几何元素(面、边、点)组合而成．而这些几何元素之间的拓扑关系应满足一定的约束条件。通常用欧拉公式来检验这种拓扑关系是否满足条件，从而检查形体是否有效。

四、欧拉公式欧拉公式对于简单多面体和一般多面体有所不同。

1．简单多面体欧拉公式简单多面体是指与球具有拓扑等价的多面体：也就是指无孔、无槽的多面体，如长方体、三棱锥等。简单多面体的欧拉公式为：V-E+F=2(V—顶点数,E—边数,F—面数)如对于长方体，V＝8，E＝12，F＝6，V-E+F=8-12+6＝2简单多面体欧拉公式可用于球体、锥体等简单曲面体。

142．一般多面体欧拉公式一般多面体是指含有孔、槽的多面体。一般多面体的欧拉公式为

V-E+F-L=2（B-G）式中V—顶点数；

E—边数；

F—面数；

L—多面体表面上的内环数；

B—互不相连的多面体数量；

G—多面体上的通孔数。15如图4—18(a)所示的长方体上带有一个通孔，则V=16，E=24，F=10，L＝2，B＝1，G＝1，式(4—2)左侧为V-E+F-L