山东省济南市历下区九年级上期中数学试卷（含答案解析）

/山东省济南市历下区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）如图，一个空心圆柱体，其主视图正确的是（）A． B． C． D．2．（3分）已知反比例函数y＝的图象经过点（2，3），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（）A．（﹣6，1） B．（1，6） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）3．（3分）已知三角形的面积一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．4．（3分）如果两个相似多边形的面积比为1：4，则它们的相似比为（）A．1：16 B．1：4 C．1：2 D．1：15．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（3分）用配方法解方程x2+4x+1＝0，配方后的方程是（）A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣2）2＝5 D．（x+2）2＝57．（3分）对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（）A．图象经过点（1，﹣3） B．图象在第二、四象限 C．x＞0时，y随x的增大而增大 D．x＜0时，y随x增大而减小8．（3分）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在双曲线y＝上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y19．（3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+4x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a＝（）A．1 B．0 C．±1 D．﹣110．（3分）在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（）A．12个 B．16个 C．20个 D．30个11．（3分）如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列方程为（）A．22×17﹣17x﹣22x＝300 B．22×17﹣17x﹣22x﹣x2＝300 C．（22﹣x）（17﹣x）＝300 D．（22+x）（17+x）＝30012．（3分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（）A．（8，1） B．（8，2） C．（9，1） D．（9，0）13．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜1 B．k≠0 C．k＜1且k≠0 D．k＞114．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s），当△PCQ与△ACB相似时，运动时间t的值为（）A．2 B．3 C．3或3.2 D．2或3.215．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．以下四个结论：①＝；②点F是GE的中点；③AF＝AB；④S△ABC＝5S△BDF，其中正确的结论序号是（）A．①④ B．①③ C．①②③ D．②③④二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案填在题中横线上）16．（3分）若＝，则的值为．17．（3分）如图，已知A点是反比例函数的图象上一点，AB⊥y轴于B，且△ABO的面积为3，则k的值为．18．（3分）若关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个根是2，则另一个根为．19．（3分）某乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A、B固定在乐器面板上，支撑点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC的长为cm（结果保留根号）．20．（3分）一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻太阳光下，测得长为1米的竹竿的影长为0.9米，但他在测量树影时，发现因树靠近一墙壁，影子不能全落在地面上，如图所示，他测得墙壁上的影（CD）高为1.2米，测得地面上的影（BD）长为2.7米，则树高米．21．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC＝3：2，点A（3，0），B（0，6）分别在x轴，y轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，且与边BC交于点E，则点E的坐标为．三、解答题（本大题共7个小题，共57分，请写出文字说明、证明过程或演算步骤）22．（7分）解方程：（1）x2+4x＝5；（2）x（x+2）＝3x+6．23．（7分）已知：如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC边的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）求DF的长．24．（8分）有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀．（1）随机抽取一张卡片，求抽到数字为偶数的概率；（2）随机抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求出两次数字和为5的概率．25．（8分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元，根据以往的销售经验，若每箱降价1元，每天可多售出2箱．如果要使每天销售饮料获利14000元，并且让顾客得到尽可能多的实惠，那么每箱应降价多少元？26．（9分）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，6），B（3，n）两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出ax+b﹣＜0的x的取值范围（3）求△AOB的面积．27．（9分）（1）如图1，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝4，CD＝CE，AE＝2，∠CAE＝45°，连接BE．①求证：△ACD≌△BCE；②求AD的长．（2）如图2，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°，AC＝3，AE＝8，求AD的长．28．（9分）如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB＝OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．（1）如图2，已知∠MON＝90°，点P为∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB＝135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角；（2）如图1，已知∠MON＝α，若∠APB是∠MON的智慧角，求∠APB的度数（用含α的式子表示）；（3）如图3，C是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于点A，B两点，且满足BC＝2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）如图，一个空心圆柱体，其主视图正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，故选：B．2．（3分）已知反比例函数y＝的图象经过点（2，3），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（）A．（﹣6，1） B．（1，6） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（2，3），∴k＝2×3＝6，A、∵（﹣6）×1＝﹣6≠6，∴此点不在反比例函数图象上；B、∵1×6＝6，∴此点在反比例函数图象上；C、∵2×（﹣3）＝﹣6≠6，∴此点不在反比例函数图象上；D、∵3×（﹣2）＝﹣6≠6，∴此点不在反比例函数图象上．故选：B．3．（3分）已知三角形的面积一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：已知三角形的面积s一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系为S＝ah，即h＝；是反比例函数，且2S＞0，h＞0；故其图象只在第一象限．故选：D．4．（3分）如果两个相似多边形的面积比为1：4，则它们的相似比为（）A．1：16 B．1：4 C．1：2 D．1：1【解答】解：∵两个相似多边形面积的比为1：4，∴它们的相似比为1：2．故选：C．5．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC＝2，故选：B．6．（3分）用配方法解方程x2+4x+1＝0，配方后的方程是（）A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣2）2＝5 D．（x+2）2＝5【解答】解：方程移项得：x2+4x＝﹣1，配方得：x2+4x+4＝3，即（x+2）2＝3．故选：A．7．（3分）对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（）A．图象经过点（1，﹣3） B．图象在第二、四象限 C．x＞0时，y随x的增大而增大 D．x＜0时，y随x增大而减小【解答】解：A、∵反比例函数y＝，∴xy＝3，故图象经过点（1，3），故A选项错误；B、∵k＞0，∴图象在第一、三象限，故B选项错误；C、∵k＞0，∴x＞0时，y随x的增大而减小，故C选项错误；D、∵k＞0，∴x＜0时，y随x增大而减小，故D选项正确．故选：D．8．（3分）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在双曲线y＝上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1【解答】解：当x＝﹣2时，y1＝＝﹣2；当x＝﹣1时，y2＝＝﹣4；当x＝2时，y3＝＝2．∵﹣4＜﹣2＜2，∴y2＜y1＜y3．故选：A．9．（3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+4x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a＝（）A．1 B．0 C．±1 D．﹣1【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（a﹣1）x2+4x+a2﹣1＝0，得：a2﹣1＝0，且a﹣1≠0，解得：a＝﹣1，故选：D．10．（3分）在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（）A．12个 B．16个 C．20个 D．30个【解答】解：∵共摸了40次，其中10次摸到黑球，∴有30次摸到白球，∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：3，∴口袋中黑球和白球个数之比为1：3，故盒子中大约有白球：4÷＝12（个）．故选：A．11．（3分）如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列方程为（）A．22×17﹣17x﹣22x＝300 B．22×17﹣17x﹣22x﹣x2＝300 C．（22﹣x）（17﹣x）＝300 D．（22+x）（17+x）＝300【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有（22﹣x）（17﹣x）＝300，故选：C．12．（3分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（）A．（8，1） B．（8，2） C．（9，1） D．（9，0）【解答】解：延长EB、DA交于点P，则点P即为位似中心，位似中心的坐标为（9，0），故选：D．13．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜1 B．k≠0 C．k＜1且k≠0 D．k＞1【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，∴k≠0，且△＝b2﹣4ac＝36﹣36k＞0，解得k＜1且k≠0．故答案为k＜1且k≠0．故选：C．14．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s），当△PCQ与△ACB相似时，运动时间t的值为（）A．2 B．3 C．3或3.2 D．2或3.2【解答】解：∵运动时间为ts，则CP＝t，CQ＝8﹣2t，∵∠PCQ＝∠ACB＝90°，∴当△PCQ与△ACB相似时，有∠CPQ＝∠B或∠CPQ＝∠A，当∠CPQ＝∠B时，则有，即＝，解得t＝2；当∠CPQ＝∠A时，则有＝，即，解得t＝．综上可知，当点P、Q同时运动2秒或秒后，△PCQ与△ACB相似，故选：D．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．以下四个结论：①＝；②点F是GE的中点；③AF＝AB；④S△ABC＝5S△BDF，其中正确的结论序号是（）A．①④ B．①③ C．①②③ D．②③④【解答】解：∵∠ABC＝90°，BG⊥CD，∴∠ABG+∠CBG＝90°，∠BCD+∠CBG＝90°，∴∠ABG＝∠BCD，在△ABC和△BCD中，，∴△ABG≌△BCD（ASA），∴AG＝BD，∵点D是AB的中点，∴BD＝AB，∴AG＝BC，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∵AG⊥AB，∴AG∥BC，∴△AFG∽△CFB，∴＝，∵BA＝BC，∴＝，故①正确；设AB＝BC＝2x，∵点D是AB的中点，∴AD＝BD＝AG＝x，在Rt△DBC中，DC＝＝x，∴BG＝DC＝x，∵△AFG∽△CFB，∴＝＝，∴FG＝FB＝BG＝，∵∠DBE＝∠DCB＝90°﹣∠BDC，∠BED＝∠CBD，∴△CDB∽△BDE，∴＝，即＝，∴BE＝x，∴FE＝BG﹣GF﹣BE＝x，∴FG≠FE，故②错误；∵△AFG∽△CFB，∴＝＝，∴AF＝AC，∵AC＝AB，∴AF＝AB，故③正确；过点F作MF⊥AB于M，则FM∥CB，∴＝＝，∵＝，∴＝＝•＝×＝，即S△ABC＝6S△BDF，故④错误；故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案填在题中横线上）16．（3分）若＝，则的值为．【解答】解：∵＝，∴＝1+＝1+＝．故答案为：．17．（3分）如图，已知A点是反比例函数的图象上一点，AB⊥y轴于B，且△ABO的面积为3，则k的值为6．【解答】解：根据题意可知：S△ABO＝|k|＝3，由于反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，则k＝6．故答案为：6．18．（3分）若关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个根是2，则另一个根为﹣3．【解答】解：设方程另一根为t，根据题意得2t＝﹣6，解得t＝﹣3．故答案为﹣3．19．（3分）某乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A、B固定在乐器面板上，支撑点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC的长为（40﹣40）cm（结果保留根号）．【解答】解：∵点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴AC＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，故答案为：（40﹣40）．20．（3分）一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻太阳光下，测得长为1米的竹竿的影长为0.9米，但他在测量树影时，发现因树靠近一墙壁，影子不能全落在地面上，如图所示，他测得墙壁上的影（CD）高为1.2米，测得地面上的影（BD）长为2.7米，则树高4.2米．【解答】解：如图所示，延长AC交BD的延长线于点E，∵∠E＝∠E，∠CDE＝∠ABD＝90°，∴△CDE∽△ABE，∴，即，∴AB＝1.2×∵同一时刻太阳光，∴，解得，DE＝1.08，∴AB＝1.2×＝4.2．答：树高为4.2米，方法二：设地面上的影长2.7米时的树高为x米，根据题意得，＝，∴x＝3，∴树高为3+1.2＝4.2（m），故答案为：4.2．21．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC＝3：2，点A（3，0），B（0，6）分别在x轴，y轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，且与边BC交于点E，则点E的坐标为（2，7）．【解答】解：过点D作DF⊥x轴于点F，则∠AOB＝∠DFA＝90°，∴∠OAB+∠ABO＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC，∴∠OAB+∠DAF＝90°，∴∠ABO＝∠DAF，∴△AOB∽△DFA，∴OA：DF＝OB：AF＝AB：AD，∵AB：BC＝3：2，点A（3，0），B（0，6），∴AB：AD＝3：2，OA＝3，OB＝6，∴DF＝2，AF＝4，∴OF＝OA+AF＝7，∴点D的坐标为：（7，2），∴反比例函数的解析式为：y＝①，点C的坐标为：（4，8），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝x+6②，联立①②得：或（舍去），∴点E的坐标为：（2，7）．故答案为：（2，7）．三、解答题（本大题共7个小题，共57分，请写出文字说明、证明过程或演算步骤）22．（7分）解方程：（1）x2+4x＝5；（2）x（x+2）＝3x+6．【解答】解：（1）x2+4x﹣5＝0，（x+5）（x﹣1）＝0，x+5＝0或x﹣1＝0，所以x1＝﹣5，x2＝1；（2）x（x+2）﹣3（x+2）＝0，（x+2）（x﹣3）＝0，x+2＝0或x﹣3＝0，所以x1＝﹣2，x2＝3．23．（7分）已知：如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC边的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）求DF的长．【解答】（1）证明：∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠FEC＝90°，又∵∠AEB+∠EAB＝90°，∴∠FEC＝∠EAB，又∵∠ABE＝∠ECF＝90°，∴△ABE∽△ECF；（2）解：∵△ABE∽△ECF，∴＝，又∵E为BC边的中点，∴BE＝EC＝，∴＝＝，又∵BE＝＝2，∴CF＝1，∴DF＝DC﹣CF＝4﹣1＝3．24．（8分）有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀．（1）随机抽取一张卡片，求抽到数字为偶数的概率；（2）随机抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求出两次数字和为5的概率．【解答】解：（1）∵四张正面分别标有数字1，2，3，4，其中数字为偶数的有2和4两个数，∴随机抽取一张卡片，求抽到数字为偶数的概率是＝；（2）根据题意画图如下：共有16种的可能的情况数，其中两次数字和为5的有4种，则两次数字和为5的概率实数＝．25．（8分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元，根据以往的销售经验，若每箱降价1元，每天可多售出2箱．如果要使每天销售饮料获利14000元，并且让顾客得到尽可能多的实惠，那么每箱应降价多少元？【解答】解：设每箱降价x元，则每箱的利润为（120﹣x）元，每天可售出（100+2x）箱，依题意，得：（120﹣x）（100+2x）＝14000，整理，得：x2﹣70x+1000＝0，解得：x1＝20，x2＝50，又∵要让顾客得到尽可能多的实惠，∴x＝50．答：每箱应降价50元．26．（9分）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，6），B（3，n）两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出ax+b﹣＜0的x的取值范围（3）求△AOB的面积．【解答】解：（1）点A（1，6）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝6×1＝6，∴反比例函数的表达式为y＝，∵点B（3，n）也在反比例函数的图象上，∴n＝2，即B（3，2）把点A（1，6），点B（3，2）代入一次函数y＝kx+b中，得，解得，∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+8；（2）∵A的坐标为（1，6），B的坐标为（3，2），∴kx+b﹣＜0的x的取值范围为0＜x＜1或x＞3；（3）设直线AB与x轴的交点为D，令﹣2x+8＝0，得x＝4，即D（4，0）．∵A（1，6），B（3，2），∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝×4×6﹣×4×2＝8，答：△AOB的面积是8．27．（9分）（1）如图1，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝4，CD＝CE，AE＝2，∠CAE＝45°，连接BE．①求证：△ACD≌△BCE；②求AD的长．（2）如图2，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°，AC＝3，AE＝8，求AD的长．【解答】解：（1）证明：①∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，又∵AC＝BC，DC＝EC，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；②∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∵AC＝BC＝4，∴AB＝4，∵∠BAC＝∠CAE＝45°，∴∠BAE＝90°，在Rt△BAE中，AB＝4，AE＝2，∴BE＝6，∴AD＝6；（2）如图2，连接BE，在Rt△ACB中，∠ABC＝∠CED＝30°，tan30°＝＝，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠BCE＝∠ACD，∴△ACD∽△BCE，∴，∵∠BAC＝60°，∠CAE＝30°，∴∠BAE＝90°，在Rt△ABC中，AC＝3，∠ABC＝30°，∴AB＝6，∵AE＝8，∴BE＝10，∴AD＝．28．（9分）如图1，点P为∠MON的