数学素材：教材梳理绝对值不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精庖丁巧解牛知识·巧学一、绝对值三角不等式1。定理1如果a，b是实数,则|a+b|≤｜a|+｜b|,当且仅当ab≥0时，等号成立.定理1的等号成立的情况具体来说，当a=0或b=0时，或a〉0、b〉0时，或a<0，b〈0时，等号都是成立的，即有｜a+b｜=｜a｜+｜b｜。除此之外，就是|a+b|<｜a｜+|b｜了。如果把定理1中的实数a，b分别替换为向量a,b，则定理1的形式仍旧成立.即有|a+b｜≤|a|+｜b|成立,当且仅当向量a,b不共线时，有｜a+b|<|a|+｜b｜成立。联想发散根据定理1，我们可以得到许多正确的结论。其中比较常用的结论有：(1）如果a，b是实数,那么｜a｜—｜b|≤|a±b｜≤｜a｜+｜b|。（2)|a1+a2+a3+…+an｜≤｜a1|+｜a2｜+｜a3|+…+|an|(n∈N*）.2.绝对值三角不等式所谓绝对值三角不等式就是指把定理1中的实数a,b分别替换为向量a,b,且向量a，b不共线时，所成立的不等式｜a+b|〈|a|+|b｜.绝对值三角不等式即向量不等式|a+b|<|a｜+｜b｜的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边(如下图所示）.记忆要诀由于绝对值三角不等式其形式与定理1是完全类似的，所以只要记住定理1，那么这个绝对值三角不等式也就记住了。3.定理2如果a,b，c是实数，那么｜a—c｜≤|a-b｜+|b—c|，当且仅当(a—b)(b—c)≥0时,等号成立.对于定理2，同学们不但要记住它的形式，还应注意它的特点,尤其要注意它的不等号左边没有字母b，只有右边才有。学法一得要注意|a—c｜可以变形为|（a-b)+(b—c)｜，熟悉这种变形，那么在具体解题时就可以通过变形来巧妙地利用定理2了.二、绝对值不等式的解法要熟记简单绝对值不等式的解法,它是解较复杂的绝对值不等式的基础，即要记住：一般地,如果a〉0，则有：|x｜〈a—a<x〈a,因此,不等式|x｜〈a的解集是(-a，a)；|x｜〉ax<—a或x〉a，因此,不等式|x｜>a的解集是（—∞，—a）∪（a，+∞）。1。|ax+b|≤c和｜ax+b|≥c型不等式的解法。求解这类绝对值不等式,只要将ax+b看成一个整体，然后套用|x｜<a或｜x|〉a的不等式的解法即可。2。|x-a｜+|x-b|≤c和|x-a｜+|x-b｜≥c型不等式的解法.求解这类绝对值不等式，主要的方法有如下三种：（1）利用绝对值的几何意义；（2）分区间讨论法；(3）构造函数利用函数的图象求解。求解这类绝对值不等式时，可根据题目的不同而适时选用不同的方法求解.误区警示解绝对值不等式切勿盲目地套用某一类解法，一定要注意不等式的形式，要针对不同的形式对号入座采取相应的方法来求解。典题·热题知识点一:与定理1、2相关的绝对值不等式的判断与证明例1若｜x—a|〈m，|y—a｜〈n，则下列不等式一定成立的是（)A.｜x-y|〈2mB.｜x-y｜<2nC。|x—y|<n-mD.｜x—y｜<n+m思路分析：注意观察比较｜x-y｜与｜x—a|，|y—a|之间的关系，不难发现通过适当变形就可运用定理1及已知条件来巧妙求解此题了,具体解题过程为:|x—y｜=｜x-a—(y-a）|≤｜x-a｜+｜y—a|〈m+n,故选D。答案：D巧解提示对某些式子进行适当的变形,以便创造条件利用某些定理、公式来解题，这是一种常用的技巧，如此题求解过程中的｜x-y|=|x—a—（y-a）|就是变形，而变形的基础是必须要熟悉公式.例2已知a、b、c、d都是实数,且a2+b2=m2，c2+d2=n2(m〉0，n>0)，求证：|ac+bd|≤.思路分析:证明此题时,可将ac、bd分别看成整体，那么就可以套用定理1来证明了。证明:∵a、b、c、d∈R，∴|ac+bd|≤｜ac|+|bd｜≤=，∴｜ac+bd|≤。误区警示如果利用ab≤来证明此题，就容易出现似是而非的证法，而利用较严格的公式｜ab｜≤来证明就不易出错了。因此同学们要注意公式的适时选用.知识点二：绝对值不等式的解法例3解关于x的不等式|2x-1|<2m—1（m∈R）。思路分析:要注意对2m—1的正负情况进行讨论。解：若2m-1≤0，即m≤，则|2x-1｜<2m—1恒不成立，此时，原不等式无解；若2m—1〉0,即m〉，则—（2m-1）〈2x—1<2m-1,所以1-m<x<m.由上可得：当m≤时，原不等式的解集为，当m>时，原不等式的解集为：{x｜1-m〈x<m}.方法归纳对于不等号右侧是含有参数的式子的这类绝对值不等式，在求解时一定要通过对参数式子的正、负、零三种情况的讨论来求解.例4解不等式3≤｜x—2｜<4.思路分析：此题的不等式属于绝对值的连不等式，求解时可将其化为绝对值的不等式组再求解。解:原不等式等价于由(1）得x—2≤-3或x-2≥3,∴x≤-1,或x≥5。由（2）得—4〈x-2〈4，∴—2<x〈6.如上图所示，原不等式的解集为{x|—2〈x≤-1或5≤x<6｝.误区警示有些同学求解这类问题时，为了图省事，往往不爱通过画图来寻找解集，总爱耍点小聪明，这是造成求解出错的主要原因.例5解不等式｜x+7｜-|x-2｜≤3.思路分析：解含有绝对值的不等式，总的思路是同解变形为不含绝对值的不等式，但要根据求解不等式的结构,选用恰当的方法。此题中有两个绝对值符号，故可用绝对值的几何意义来求解,或用分区间讨论法求解,还可构造函数利用函数图象求解。图1解：[方法一]|x+7｜-|x—2｜可以看成数轴上的动点(坐标为x）到-7对应的点的距离与到2对应的点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x=-1（如图1所示）.从图易知不等式｜x+7|-|x-2|≤3的解为x≤-1，即x∈（-∞,-1］。[方法二］令x+7=0,x-2=0得x=—7,x=2。①当x<-7时,不等式变为—x—7+x-2≤3，∴—9≤3成立,∴x<-7.图2②当—7≤x≤2时，不等式变为x+7+x—2≤3，即2x≤-2，∴x≤—1,∴-7≤x≤-1.③当x〉2时，不等式变为x+7—x+2≤3,即9≤3不成立，∴x∈.∴原不等式的解集为(—∞,-1］.［方法三］将原不等式转化为|x+7｜—|x-2|-3≤0,构造函数y=|x+7|-｜x-2｜-3，即y=.作出函数的图象(如图2），从图可知，当x≤—1时,有y≤0,即|x+7|—｜x-2｜—3≤0，所以，原不等式的解集为(—∞,—1］。巧妙变式针对此题，我们可以进行各种不同的题目变式.如：可以将两个绝对值里面的运算符号改变、可以将两个绝对值之间的运算符号改变、可以将“≤”改变为“≥"，还可以将不等号右边的数改成字母等等。变式后题目的求解还是用上述的几种解法.问题·探究误区陷阱探究问题1对此题“写出不等式|2x-1｜〈3的解集并化简”，某同学的错解如下：不等式｜2x—1｜〈3的解集是｛x｜｜2x—1｜〈3}=｛x｜2x—1〈3｝∪｛x|2x—1〉—3}=｛x|x<2｝∪{x|x>—1｝={x｜-1<x<2｝.探究过程：这位同学解得的结果是正确的，但解法不对。解法中有两处错误，但却歪打正着得出了正确的结果。首先是把绝对值不等式的解法搞错了.这位同学写的求解过程中的两个集合{x｜2x—1〈3}与{x｜2x-1>-3}的中间不应当用并的符号“∪”，而应改为“∩”.这两个集合是应该取交集的.另外，按照这位同学错写的两集合“并”来运算时又解错了。{x|x<2｝∪{x|x>-1}的结果应为{x｜-∞〈x〈+∞｝,而不是{x|—1<x<2｝。探究结论:如果按照这位同学的思路求解，可以修改为：不等式｜2x-1｜<3的解集是：｛x｜|2x—1|<3｝={x｜2x—1<3｝∩{x|2x—1>—3｝=｛x｜x<2｝∩｛x｜x〉—1｝={x｜-1〈x〈2}。不过，更简单的解法应是:不等式｜2x-1|〈3的解集是:{x||2x-1|<3｝=｛x｜—3〈2x-1<3}={x｜-1<x〈2}。思维发散探究问题2已知a、b、c是实数，函数f（x）=ax2+bx+c，g(x）=ax+b，当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1，试探究当x∈［—1，1］时,|g(x)|≤2。探究过程:这是一个通过关联二次函数、一次函数考查不等式的变换能力的问题，因此在证明中要注意合理应用绝对值不等式的性质定理，由于g(x)是一次函数,可将｜g（x)|≤2转化为g（—1）与g（1）与2的关系加以证明，也可挖掘g（x)与f(x）的隐含关系，构造函数模型，寻求整体突破.探究结论:［方法一］当a>0时g（x)=ax+b在[—1，1]上是增函数，∴g(—1)≤g(x）≤g（1），∵|f(x）|≤1（—1≤x≤1),∴｜c｜=｜f（0）｜≤1，∴g（1）=a+b=f(1)—c≤|f(1）|+|c|≤2，g（-1）=—a+b=—f（-1)+c≥—（｜f（—1）｜+｜c|)≥-2，∴|g(x）|≤2。当a<0时，g(x)=ax+b在[-1，1］上是减函数，∴g(1)≤g（x）≤g（-1),∵|f(x）|≤1(-1≤x≤1)，∴｜c|=|f(0)｜≤1,∴g(—1）=-a+b=-f（—1）+c≤|f(—1）｜+｜c｜≤2,g（1）=a+b=f（1）-c≥-(|f（—1）｜+｜c|)≥-2，∴|g（x）|≤2.当a=0时,g（x