数学素材：第二章函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨思考与交流1．答：在某个问题中，若存在两个变量，其中一个变量发生变化时,就会引起另一个变量的变化，我们把两个变量之间的这种相互依赖、相互对应的关系，称为函数关系．2．答：一般地，在某一变化中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．例如：路程问题s＝60t中，有两个变量s和t，当t变化时，s随之发生变化，并且对于t在其取值范围内的每一个值，s都有唯一确定的值与之对应．我们就称t是自变量，s是t的函数．3．解：例如：在图(2)(3）（5）中，对于集合A中的每个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射．其中，图(3)中，对于集合B的每一个元素在集合A中也是都有唯一的元素与之对应，这种从集合A到集合B的映射叫做A到B的一一映射．在图（1）中，集合A中的元素0和5在集合B中没有元素与之对应，因此,它不是从A到B的映射．在图（4)中，集合A中的元素30°在B中有两个元素eq\f（\r(3），2）和eq\f（\r（2），2）与之对应，因此,它不是从A到B的映射．4．答：函数有三种表示法——解析法、列表法、图象法．图象法的优点:图象法形象直观,通过函数的图象，可以直接、形象地把函数关系表示出来，能够直观地研究函数的一些性质,例如函数有没有最大值（或最小值)？最大(小)值是多少？函数值是随自变量增大而增大,还是随自变量的增大而减小等等，函数图象是研究函数性质的有力工具．数形结合的意义:数形结合是为了发挥形的生动和直观，发挥数的思路规范、简明的优点,把数量关系的精确刻画与几何图形的形象直观有机地结合起来,从而充分展现出问题的条件与条件、条件与结论之间的内在联系,使问题化难为易，化繁为简．5．答：判定一个函数是增函数还是减函数，一般地按照以下四个步骤进行：第一步：取值，即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2,则Δx＝x2－x1＞0。第二步：作差变形，即作差Δy＝f(x2）－f（x1),并通过因式分解、配方、有理化等方式，向有利于判断差的符号的方向变形．第三步:定号，确定Δy的符号，当符号不确定时，应当进行分类讨论．第四步：判断，根据定义作出结论．一般地,对于给定区间上的函数f(x）．(1）如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时,都有f（x1）＜f（x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．（2）如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2时,都有f（x1）＞f（x2)，那么就说f(x)在这个区间上为减函数．6．解:一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，平均变化率eq\f（Δy,Δx）＝eq\f(y2－y1,x2－x1）＝k（x1≠x2），图象略．7．答:判断一个函数是奇函数还是偶函数，常分为以下两个步骤进行:第一步:首先求出函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称．第二步：对于定义域内的任意一个x,判断f（－x)与±f(x）的关系，当f（－x）＝f(x)时,f(x）是偶函数；当f（－x)＝－f（x）时，f(x）是奇函数．8．答：学习函数零点的意义是使函数与方程产生联系，函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程f（x)＝0的根．函数与方程密切相关，对于函数y＝f（x)，当y＝0时，就转化为方程f（x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f（x）＝0，函数与方程这种相互转化的关系十分重要．9．解:二次函数的图象和性质见下表：函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0）图象a＞0a＜0性质(1）当a＞0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸（1）当a＜0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸（2)对称轴是x＝－eq\f(b，2a)，顶点坐标是eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（b，2a)，\f(4ac－b2，4a)）)（3）在区间(－∞，－eq\f(b,2a))上是减函数，在区间eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(b，2a)，＋∞）)上是增函数（3）在区间eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1（－∞，－\f(b,2a）））上是增函数，在区间eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(b，2a)，＋∞）)上是减函数(4)抛物线有最低点，当x＝－eq\f(b，2a)时，y有最小值,ymin＝eq\f（4ac－b2，4a)（4）抛物线有最高点，当x＝－eq\f(b，2a)时，y有最大值，ymax＝eq\f（4ac－b2,4a）配方法在本章的应用主要是求抛物线的顶点坐标和对称轴．例如：将抛物线y＝3x2－6x＋5怎样平移，所得到的抛物线是y＝3x2的图象．解：∵y＝3x2－6x＋5＝3（x－1）2＋2，∴抛物线y＝3x2－6x＋5的顶点坐标为(1,2）．∵抛物线y＝3x2的顶点是(0,0),∴应将y＝3x2－6x＋5的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，即得y＝3x2的图象．10．答：待定系数法能够开门见山，直奔主题，使我们明确解题目标，使问题迅速获得解决．例如：已知一次函数的图象经过(－4，15）,(6，－5）两点,求该一次函数的解析式．分析：先设一次函数的解析式为y＝kx＋b,因为它的图象经过（－4，15），(6，－5)两点，从而得到关于k、b的方程组，解方程组可求出待定系数k和b，再代回原设即可．解：设此一次函数的解析式为y＝kx＋b.①将eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，，y＝15）)和eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝6，，y＝－5）)代入①，得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(15＝－4k＋b，,－5＝6k＋b,））解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(k＝－2，，b＝7。））∴该一次函数的解析式为y＝－2x＋7.11．答：例如：国内投递信函（外埠)，邮资按下列规则计算：(1)信函质量不超过100g时,每20g付邮资80分，即信函质量不超过20g付邮资80分，信函质量超过20g，但不超过40g付邮资160分,依次类推；(2）信函质量大于100g时，每100g付邮资200分，即信函质量超过100g，但不超过200g付邮资(A＋200）分(A为质量等于100g的信函的邮资)，信函质量超过200g，但不超过300g付邮资(A＋400)分,依次类推：设一封xg（0＜x≤200)的信函应付的邮资为y（单位：分)，试写出以x为自变量的函数y的解析式．解：这个函数的定义域是0＜x≤200，函数解析式为巩固与提高1．解：(1）不是．因为集合A中的元素c在集合B中没有对应元素．（2）是．(3）不是．因为集合A中的元素a在集合B中的对应元素不唯一，且A中的元素b在集合B中没有对应元素．（4)是．评注:判断对应关系是否是映射关系，必须注意：（1)A中无剩余的元素；（2）其对应关系可以是一对一，也可以是多对一，但绝对不可一对多．2．解：图（1)(2)中的每个x的值都有唯一的y的值与之对应,因此，图（1)(2）中y是x的函数．图（3)(4)不符合函数的定义，因此y不是x的函数．评注：检查一个图象是不是函数的图象，可以拿一条与x轴垂直的直线来检验，在移动时，交点个数不超过一个，则该图象便是某个函数的图象．3．解：从左至右，设第一条线段所在的直线的方程为y＝kx＋b。将点（－3，0），(0，2）的坐标代入，得eq\b\lc\｛\rc\(\A\vs4\Al\co1（0＝－3k＋b，,2＝0＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\（\A\vs4\Al\co1(k＝\f（2,3)，,b＝2,)）∴y＝eq\f（2,3）x＋2.同理可求得其余各条线段所在的直线的方程分别为y＝－x＋2，y＝2x－4，y＝－2x＋8.∵函数f(x)的图象由四条线段组成，∴f（x)＝eq\b\lc\{\rc\（\A\vs4\Al\co1(\f(2，3）x＋2－3≤x<0,,－x＋20≤x<2，,2x－42≤x〈3，,－2x＋83≤x≤4。))(1）f(1)＝－1＋2＝1；(2)f(0）＝0＋2＝2；(3)f(－2）＝eq\f（2,3)×（－2)＋2＝eq\f(2，3)；(4）f(0。5)＝－0。5＋2＝1.5；(5)f(－0.5)＝eq\f(2，3）×(－0.5）＋2＝eq\f（5，3)；(6)f（3.2)＝－2×3.2＋8＝1.6；（7)由题目给出的图形可知,f(x)的定义域为［－3，4］;(8）由题目给出的图形可知，f（0）＝2，f(3）＝2，这两个函数值相等且最大,∴f(x）的值域为[0，2]．4．解：（1）f(2）＝3×22－5×2＋2＝4,f(a)＝3a2－5a＋2.(2）g(－3)＝－2×（－3）3＋5×(－3)2－3×（－3)＋2＝110，g（b)＝－2b3＋5b2－3b＋2.（3)h（8）＝eq\f(|4－8｜,82）＝eq\f(1，16)，h（a）＝eq\f（｜4－A|,A2)。(4）r(3）＝eq\f（1，3)＋eq\r（3,3＋5）＝eq\f（7，3)，r（－6）＝eq\f(1,－6）＋eq\r(3，－6＋5）＝－eq\f(7，6)。5．解：（1)由x2＋y＝0知，每个x都可确定唯一的y的值,因此y＝－x2表示以x为自变量的函数；(2)由y2－x＝0得y＝±eq\r(x),即每个x都有两个y值相对应，因此y2＝x不能表示以x为自变量的函数；(3）由x＝5知,x只能取一个数5,y有无数个数与之对应，因此x＝5不能表示以x为自变量的函数；（4）由y＝3知，无论x取何实数，都有唯一的一个y的值3与之对应，因此，y＝3可以表示成以x为自变量的函数．6．解：(1)由3－2x≥0，得2x≤3，即x≤eq\f(3,2），所以y＝eq\r(3－2x)＋3的定义域为eq\b\lc\（\rc\］（\A\vs4\Al\co1（－∞，\f(3,2）))；（2)由y＝x（x－1)是二次函数知,定义域为R；(3）由题意知，eq\f(3,x－1)＞0，即x＞1，定义域为(1，＋∞)；(4）由题意得eq\b\lc\{\rc\（\A\vs4\Al\co1（x＋5≥0,，x－3≠0，））解得x≥－5，且x≠3，∴y＝eq\f(\r（x＋5),x－3)的定义域为［－5，3）∪(3,＋∞)．7．解：(1）如图（1）．（2)y＝eq\r(x2)＝｜x｜＝eq\b\lc\{\rc\(\A\vs4\Al\co1(xx≥0，,－xx<0，)）如图（2)．(3)y＝|x｜＋3＝eq\b\lc\｛\rc\（\A\vs4\Al\co1(x＋3x≥0，,－x＋3x<0，）)如图（3)．（4）y＝|x＋3｜＝eq\b\lc\｛\rc\（\A\vs4\Al\co1(x＋3x≥－3，，－x－3x〈－3，))如图(4)．8．解：函数的图象如图．f(－3）＝2,f(2）＝－2，f(－1)＝0，f（1）＝0,f(100)＝－2.9．解：设这个一次函数为y＝kx＋b（k≠0)．将A(－3，－1），B（1,1）的坐标代入,得eq\b\lc\{\rc\(\A\vs4\Al\co1(－1＝－3k＋b,,1＝k＋b，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\A\vs4\Al\co1（k＝\f（1,2)，,b＝\f（1,2),））∴y＝eq\f（1,2)x＋eq\f（1,2）。10．解:∵a＝9＞0,∴y＝9x2－6x＋6的开口方向向上，在顶点处取得最小值，ymin＝eq\f（4ac－b2，4a)＝eq\f(4×9×6－－62,4×9)＝5.11．解：∵a＝－4＜0,∴y＝－4x2＋28x＋1的开口方向向下，在顶点处取得最大值，ymax＝eq\f(4ac－b2，4a）＝eq\f（4×－4×1－282,4×－4）＝50.12．解：∵a＝－1＜0,∴y＝－x2＋2x＋3开口方向向下,对称轴为x＝－eq\f(b，2a)＝－eq\f(2，2×－1)＝1，即x＝1为对称轴方程．∴当x∈(－∞，1］时，函数单调递增；当x∈［1，＋∞）时，函数单调递减．13．解:令y＝x2＋2x－3＝0，得x1＝1，x2＝－3，∴零点为－3，1.由y＝x2＋2x－3＝（x＋1）2－4，得顶点坐标为（－1，－4）．14．解:∵二次函数y＝x2＋kx－(k－8)与x轴至多有一个交点，∴关于x的一元二次方程x2＋kx－（k－8)＝0至多有一个实根，则Δ＝k2＋4（k－8)≤0，即－8≤k≤4.∴k的取值范围为［－8，4]．15．解：设所求函数为f（x)＝ax2＋bx＋c（a≠0)，其中a、b、c待定，根据已知条件,得方程组eq\b\lc\｛\rc\（\A\vs4\Al\co1(4a＋2b＋c＝0，,25a－5b＋c＝0，,0＋0＋c＝1，））解此方程组得eq\b\lc\{\rc\（\A\vs4\Al\co1(a＝－\f（1，10)，,b＝－\f(3,10)，，c＝1。）)因此，所求的函数为f（x）＝－eq\f(1，10)x2－eq\f(3,10)x＋1.16．(1)奇函数．（2）既不是奇函数，也不是偶函数．(3)偶函数．（4）奇函数．17．解:设x∈（－∞，0),则－x∈(0，＋∞)．∵x∈[0，＋∞)时,f（x)＝x（1＋eq\r（3，x）），∴f（－x）＝（－x)（1＋eq\r（3，－x))＝－x(1－eq\r（3，x)）．∵f（x)为奇函数，∴f(x)＝－f（－x）＝x(1－eq\r（3，x）），即x∈(－∞，0）时，f(x)＝x(1－eq\r（3，x））．18．证明：(1)函数的定义域为A＝（－∞，－1）∪（－1，1)∪（1，＋∞)．∵x∈A时，－x∈A，f（－x)＝eq\f(1＋－x2,1－－x2)＝eq\f（1＋x2,1－x2）＝f(x)，∴f(x）是偶函数．（2)feq\b\lc\（\rc\）（\A\vs4\Al\co1(\f（1,x））)＝eq\f（1＋\b\lc\（\rc\）(\A\vs4\Al\co1（\f(1,x)））2，1－\b\lc\(\rc\)(\A\vs4\Al\co1（\f(1,x）))2）＝eq\f(x2＋1,x2－1)＝－eq\f（1＋x2，1－x2）＝－f(x)．19．解：从集合A到集合B的映射有8种,如图．20．解:(1）设x1、x2是[－3，＋∞）上的任意两个不相等的实数，且x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f（x2）－f（x1）＝xeq\o\Al（2，2）＋6x2－xeq\o\Al（2,1)－6x1＝（x2－x1）(x1＋x2＋6）＝Δx（x1＋x2＋6)，∵Δx＞0,x1≥－3，x2＞－3，∴x1＋x2＞－6，∴x1＋x2＋6＞0,∴Δy＞0。∴y＝x2＋6x在[－3，＋∞)上是增函数．(2)设x1，x2是(0,＋∞)上的任意两个不相等的实数，且x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f（x2）－f（x1)＝eq\f（1，x\o\Al(2,2)）－eq\f(1，x\o\Al(2，1)）＝eq\f(－Δxx1＋x2,x\o\Al(2，1）x\o\Al（2，2))，∵Δx＞0，x1＞0，x2＞0，x1＋x2＞0，xeq\o\Al（2,1)xeq\o\Al(2,2）＞0,∴Δy＜0，∴y＝eq\f(1,x2)在（0,＋∞)上是减函数．21．解：这个函数具有下列性质:①定义域为R；②值域为［0,＋∞）；③在［－1，0]和[1，＋∞）上是增函数，在（－∞,－1]和［0,1］上是减函数；④是偶函数．如图．22．解:由于f(0)＝－3＜0，f(2)＝5＞0，可取区间［0,2］作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下:端点(中点)坐标计算中点的函数值取区间［0，2]x1＝1f（x1）＝－2＜0[1，2］x2＝1.5f（x2)＝0.375＞0[1,1。5］x3＝1。25f（x3）＝－1.047＜0［1。25，1。5］x4＝1。375f（x4）＝－0.4＜0［1.375,1。5］x5＝1.4375f（x5)＝－0.03＜0[1。4375,1.5]x6＝1.46875f(x6）＝0.168＞0[1。4375,1.46875]x7＝1。453125f(x7)＝0。068＞0[1。4375,1.453125］x8＝1.4453125f(x8)＝0.019＞0［1。4375，1。4453125］x9＝1.44140625f(x9)＝－0。005＜0[1。44140625，1。4453125]x10＝1。443359375f(x10)＝0.007＞0［1。44140625,1。443359375］由上表计算可知，区间［1。44140625,1。443359375］的区间长度小于0。002,所以1.442可作为所求函数的一个正零点的近似值．23．解法1：x3＋2x2－5x－6＝(x＋a)·(x＋b）（x＋c)＝x3＋(a＋b＋c）x2＋(ab＋ac＋bc)x＋abc。由对应项系数相等可得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＋b＋c＝2，，ab＋ac＋bc＝－5,,abc＝－6,））解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝3,,b＝1，，c＝－2;))或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝3，，b＝－2，，c＝1；)）或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝1，,b＝3，,c＝－2；))或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝1，,b＝－2,，c＝3；))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝1，,c＝3；）)或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝－2，，b＝3，，c＝1。）)解法2：x3＋2x2－5x－6＝x3＋x2＋x2－5x－6＝x2（x＋1）＋（x－6）（x＋1）＝（x＋1）(x2＋x－6)＝(x＋1）（x＋3)（x－2)．∵x3＋2x2－5x－6＝(x＋a）（x＋b）（x＋c），∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，，b＝1，,c＝－2;)）或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3,,b＝－2，，c＝1；))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，，b＝3，,c＝－2;）)或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝1,,b＝－2，,c＝3；））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝－2，，b＝1，，c＝3；））或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝－2，，b＝3，，c＝1.）)24．解：设弧长为l，则l＋2r＝20,∴l＝20－2r.∴S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f（1，2）（20－2r）r＝－r2＋10r。∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(20－2r〉0，,r〉0，))∴0＜r＜10.∴S＝f(r)＝－r2＋10r，r∈(0,10）．∵S＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25，∴Smax＝25（cm2）．自测与评估1．（1）B(2)A（3）B(4）C(5）A解析:（1)∵f(－x）＝－f（x），∴f(－1）＝－f（1）＝－(－2)＝2。∵2＞1,∴f（－1）＞f（3），∴选B。（2）y＝x2－2x＋5＝(x－1）2＋4≥4.∴值域为[4，＋∞），∴选A.(3)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－\f(b,2a)＝1,，a－b＋1＝7。))解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－4。）)∴选B。(4）由题意知,对称轴是x＝－1，即－eq\f(m,2×5)＝－1.解得m＝10，∴选C.(5)∵二次函数y＝x2＋mx＋（m＋3）有两个不同的零点,∴方程x2＋mx＋（m＋3)＝0有两个不同的实根．∴Δ＝m2－4（m＋3)＞0，解得m＜－2或m＞6，∴选