2024学年北京理工大学附中高二数学上学期期中练习试卷附答案解析

学年北京理工大学附中高二数学上学期期中练习试卷一、单选题（本大题共10小题）1．直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．2．正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（

）A． B．a C． D．3．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，（）A． B． C． D．4．已知直线，若，则（

）A．或 B． C．或 D．5．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是(

)A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则6．如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为（

）A． B． C． D．7．已知直线，，则“”是“直线与相交”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知直线：和点，，若l与线段相交，则实数a的取值范围是（

）A． B．或 C． D．或9．当曲线与直线有两个相异的交点时，实数的取值范围是A． B． C． D．10．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）．若点，，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题共5小题）11．两平行直线之间的距离是12．如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN的夹角的余弦值为13．已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为.14．已知直线过点且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当三角形面积取最小值时直线的斜率为．15．如图，在正方体中，P为的中点，，，则下列说法正确的（请把正确的序号写在横线上）①②当时，平面③当时，PQ与CD所成角的余弦值为④当时，平面三、解答题（本大题共4小题）16．已知的顶点，，.(1)求边上的高所在直线的方程；(2)求边上的中线所在直线的方程；(3)求的面积.17．已知四边形为正方形，为，的交点，现将三角形沿折起到位置，使得，得到三棱锥.(1)求证：平面平面；(2)棱上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由.18．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，为棱的中点．

(1)求证：平面；(2)若，再从条件①､条件②､条件③中选择若干个作为已知，使四棱锥唯一确定，并求：（i）直线与平面所成角的正弦值；（ii）点到平面的距离．条件①：二面角的大小为；条件②：条件③：．19．设二次函数的图象与两坐标轴的交点分别记为，，，曲线是经过这三点的圆．(1)求圆的方程；(2)过作直线与圆相交于，两点．（i）是否是定值？如果是，请求出这个定值；（ii）设，求的最大值．

参考答案1．【答案】B【详解】解：由直线得直线的斜率又直线的倾斜角为，且，所以，得故选：B.2．【答案】C【详解】如图，连接，它们交于点，正方形中，又平面，平面，所以，平面，所以平面，所以的长即为棱到面的距离，而，所以所求距离为．故选：C．3．【答案】B【详解】由题中所给平行六面体可知，，，故．故选：B4．【答案】B【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验.【详解】因为，，所以，所以，解得或，当时，，，直线重合，不满足要求，当时，，，直线平行，满足要求，故选B.5．【答案】D【详解】A，若，则或异面，故该选项错误；B，若，则或相交，故该选项错误；C，若，则α，β不一定垂直，故该选项错误；D，若，则利用面面垂直的性质可得，故该选项正确.故选：D.6．【答案】A【分析】该组合体可视作一个正方体和个球体的组合体，进而求出体积.【详解】由题意，该组合体是一个正方体和个球体的组合体，其体积为.故选：A.7．【答案】A【详解】由题意可得直线与相交，则当时，满足，即“”是“直线与相交”的充分条件；当直线与相交时，不一定有，比如也满足，所以“”是“直线与相交”的充分不必要条件.故选:A.8．【答案】D【详解】由直线：可知直线必过定点，且直线的斜率为，如下图所示：

由斜率公式可知，直线的斜率为，直线的斜率为，若与线段相交，只需要或，故实数a的取值范围是或.故选：D.9．【答案】D【详解】如图所示：∵曲线，直线，∴，，，圆心，直线过定点，直线过时，有两个交点，此时，，直线与下半圆相切时，，，∴.故答案选D．10．【答案】C【详解】设，则，即，可知表示正方形，其中，即点在正方形的边上运动，因为，由图可知：当取到最小值，即最大，点有如下两种可能：①点为点，则，可得；②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取，则；因为，所以的最大值为.故选：C.11．【答案】【分析】直接利用两条平行直线间的距离公式计算即可.【详解】两条平行直线：与：之间的距离为.故答案为：.12．【答案】【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，故和BN的夹角的余弦值为.故答案为：13．【答案】【详解】因为，所以点在圆上，设切线的斜率为，则，.则切线方程为.故答案为：14．【答案】/【详解】设Aa,0，，其中，设直线的方程为，因为直线过点，所以，由基本不等式可得，所以，，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为16，此时的面积取最小值8，直线的斜率为.故答案为：.15．【答案】①②③【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，所以，，所以，所以，①正确；当时，，所以，又平面，平面，从而平面，②正确；当时，，DC=1,0,0，所以与所成角的余弦值为，③正确；当时，，，，所以不垂直于，所以不垂直于平面，④错误．故答案为：①②③.16．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）因为，，，所以，所以，则边上的高所在直线的方程为，即；（2）由题意可知是的中点，所以，从而边上的中线所在直线的方程为，即；（3）由题意知，边所在直线的方程为，即，所以点A到直线的距离，又，所以的面积为.17．【答案】(1)证明见解析(2)存在，【详解】（1）因为四边形为正方形，所以，，所以折起后，，，由于折起前有，且折起后，所以折起后有，即，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）存在，理由如下：由（1）知，，，所以以为原点，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，则，，，假设存在满足题意的点，设，则，设平面的法向量为，则，即，令，得，，即，易知平面的一个法向量为，因为平面与平面夹角的余弦值为，所以，整理得解得或（舍），所以在棱上存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，且.18．【答案】(1)证明见解析(2)（i）；（ii）【详解】（1）

（1）连接，交于，连接，底面是正方形，故是的中点，又因为为棱的中点，所以，在中，而平面平面，所以平面．（2）选①②：因为四边形是正方形，所以，又因为，所以，因为二面角的大小为，平面平面，所以，在中，，所以，故，又因为平面，所以平面，选①③：因为四边形是正方形，所以，又因为，所以，因为二面角的大小为，平面平面，所以，因为平面，所以平面，又因为平面，所以，又因为平面，所以平面，因为平面，所以，又因为为中点，所以，所以，所以，即，因为平面，所以平面，选②③：因为四边形是正方形，所以，因为平面，所以平面，又因为平面，所以，又因为平面，所以平面，因为平面，所以，又因为为中点，所以，在中，，故，因为平面，所以平面，选①②③同上．以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则，故，令为面的一个法向量，则令，则，（i）因为，所以直线与平面所成角的正弦值为，（ii）由（i）知点到平面的距离．

19．【答案】(1)(2)（i）是定值，定值为2；（ii）【详解】（1）设二次函数与x轴分别交于，与y轴交于点，令，则，即，令，则，则，设圆C的方程为，将点M、N、G的坐标代入可得，解得，则，化为标准式为.（