函数的单调性与导数教案设计

1.3.1函数的单调性与导数教案设计藤州中学黎石燕一、教材分析1、教材的地位和作用“函数单调性与导数”是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修1－1第三章《导数及其应用》的内容。本节的教学内容属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础。由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数而言），充分展示了导数解决问题的优越性。根据新课标要求和教材的分析，并结合学生的认知特点，确定如下几个方面为本课的教学目标：2、教学目标知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想。情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。教学难点：探索函数的单调性与导的关系。3、教学方法：引导式、启发式【教学过程】一．回顾与思考1、函数单调性的定义是什么？2、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x2的单调性，如何进行？（分别用定义法、图像法完成）3、如果遇到函数：y=x3-3x和等函数时怎么判断单调性呢？还有其他方法吗？从已学过的知识（判断二次函数的单调性）入手，提出新的问题（判断三次函数的单调性），引起认知冲突，激发学习的兴趣。【设计意图】：通过复习回顾，巩固旧知，学生疑惑，逐步浮现本节课的探讨任务。二．新知探究函数的单调性与导数之间的关系【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?【设计意图】：为学生提供一个联想的“源”，巧妙设问，把学习任务转移给学生；让学生完成对函数单调性与导数关系的第一次认识，明确研究课题。【思考】如图（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？【引导】随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？【探究】通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数．相应地，．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高随时间的增加而减少，即是减函数．相应地，【设计意图】:问题是思维的源泉，让学生在独立思考中产生强烈的问题意识，从而激发学生的求知欲，实现课堂的有效导入。（二）情景设计让学生们回忆高台跳水的过程,以学生熟悉的“高台水”的例子，引导学生围绕本节课的重点展开探究。【思考】导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？【引导】可先分析函数的单调性与导数的符号之间的关系.【探究】观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．（1）函数的定义域为，并且在定义域上是，其导数；（2）函数的定义域为，在上单调，在上单调；而，当时，其导数；当时，其导数；当时，其导数。（3）函数的定义域为，在定义域上为；而，若，则其导数，当时，其导数；（4）函数的定义域为，在上单调，在上单调而，因为，显然.【总结】以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间内，如果函数在这个区间内单调递增，那么；如果函数在这个区间内单调递减，那么.【设计意图】:此处主要是从学生的已有认知出发，即从学生熟悉的几个简单常见函数的图象出发，直观感知函数的单调性与导数的正负值之间的关系，验证前面已有的感知．【思考】函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系？【探究】如图，导数表示函数在点处的切线的斜率．在处，，切线是“”式的，这时，函数在附近单调；在处，，切线是“”式的，这时，函数在附近单调．知识归纳函数的单调性与导数的关系:在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内；如果，那么函数在这个区间内特别的，如果，那么函数在这个区间内是．【教师强调】:应正确理解“某个区间”的含义，它必须是在定义域内的某个区间。考虑到本节课容量较大，这里没有提到函数在个别点处导数为零不影响单调性的情况（如y=在x=0处），这一问题将在第二课时探究。【设计意图】:引导学生对一般情况进行归纳、总结，得出结论。培养学生积极主动的学习态度及表达能力，体验知识的形成过程，体会数形结合思想的渗透。三．典例分析例1．已知导函数的下列信息：当时，；当，或时，；当，或时，试画出函数图像的大致形状．解：当时，，可知在此区间内单调递增；当，或时，；可知在此区间内单调递减；当，或时，，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数图像的大致形状如上图所示．本题是一道开放性的题目，学生的答案也许图象可能向“内”弯曲，可能向“外”弯曲，也可能是条直线.举典例进行说明：左图是折线图，右图是平滑的曲线（在黑板画）然后提出问题:两种做法是否都行呢？解决办法：让学生回顾前面所学习，导数为零的点的附近图象应该几乎没有升降变化，而“折点”附近图象升降变化很大，让学生再次动手操作，得到正确图如上图.【设计意图】让学生通过此题加深理解导函数是如何影响原函数的。这是今后利用导函数研究函数的必备技能。这里让学生切实理解，为今后学习扫清障碍！例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）；（2）（3）；（4）由学生归纳教师补充：求解函数单调区间的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解不等式，得到函数的单调递增区间；（4）解不等式，得到函数的单调递减区间；．设计意图:求单调区间是导数的一个重要应用，也是本节重点.通过例2（1），引导学生得出用导数法求单调区间的解题步骤，并给学生示范；通过例2（2），（3）让学生在练习，并展示学生结果，进一步规范解题步骤；通过例2（4），回答本节刚开始提出的问题，解决学生的疑惑.体会用导数解决函数单调性时的有效性、优越性.四【课堂训练】(根据时间灵活选作)1、判断下面函数的单调性，并求出单调区间（1）y=3x3－3x2(2)y=3ex－3x(3)y=xlnx2、函数y=xcosx－sinx在下列哪个区间内是增函数()3.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如右图，则导函数f′(x)的图象可能是()【设计意图】通过课堂练习来及时巩固所学，形成技能。五．