大学数学课件 1、1初等函数

模块一函数、极限与连续

1.1初等函数

1.2数列的极限

1.3函数的极限

1.4无穷小与无穷大量模块一函数、极限与连续

1.5极限的运算

1.6函数的连续性（一）

1.7函数的连续性（二）

1.8第一模块习题授课说明授课班级11级机械类日期2011年9月日授课题目1.1初等函数授课内容1.函数的定义2.分段函数、显函数、隐函数、反函数的定义3.函数的性质4.初等函数教学形式多媒体讲授目的要求熟练掌握函数的定义、定义域、对应法则，了解分段函数、显函数、隐函数、反函数的概念，熟练掌握函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性。重点难点函数定义域的求法，判断函数的四大特性复合函数的复合过程作业布置课后作业书1.1初等函数

一、案例

二、知识要点

三、应用

一、案例案例1[距离与时间的关系]在自由落体运动中，物体下落的时间t与距离s之间存在下列依赖关系：，其中g是重力加速度。假定物体着地的时刻为t=T，则对每一个t∈[0,T]，由上式可知，s都有一个确定的数值与其对应。

我们知道，一天的气温随着时间的变化而变化。如何准确地表示气温与时间之间的变化关系呢？案例2[气温与时间的关系]

案例3[圆面积公式]圆的面积A与半径r的函数关系为二、知识要点（1.1.1）函数概念

函数常用的表示法有三种：解析法、列表法和图形法．设x和y

是两个变量，D是一个给定的非空数集。如果对于每一个数x∈D

，按照一定的法则，变量y总有确定的数值与之对应，则称y

是x

的函数，记作y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量。

1、函数的定义2、邻域所谓点a的δ邻域，是指以a为中心的开区间(a-δ,a+δ)．也就是说，设a，δ为两个实数，δ＞0，则称满足不等式的实数的全体为点a的δ邻域．点a为该邻域的中心，δ为该邻域的半径．例如：5的0.2邻域区间形式：（5-0.2，5+0.2）绝对值不等式形式：,或5-0.2<x<5+0.2,数轴表示：

55+0.25-0.2去心邻域若把邻域(a-δ,a+δ)中的中心点a去掉，称为点a的去心δ邻域，可表示为(a-δ，a)∪(a,a+δ)，或．为了方便，有时把开区间(a-δ,a)称为点的左邻域，把开区间(a,a+δ)称为点的右邻域．例如：5的0.2去心邻域：区间形式：（5-0.2，5）∪（5，5+0.2）绝对值不等式形式：,

或5-0.2<x<5∪

5<x<5+0.2,数轴表示：

55+0.25-0.23、分段函数对于自变量的不同取值范围，有不完全相同的对应法则的函数，称为分段函数。例如：，都是分段函数．注意：

①分段函数是一个函数，而不是几个函数；

②分段函数的定义域是各段定义域的并集．4、显函数和隐函数若函数中的因变量用自变量的表达式直接表示出来，这样的函数称为显函数。例如：，一般地，若两个变量x,y的函数关系用方程F(x,y)=0的形式来表示，即x,y的函数关系隐藏在方程里，这样的函数叫做隐函数。例如：，注意：有的隐函数，可以从方程中解出来化为显函数，这个过程称为隐函数的显化。例如：=>但有的隐函数化为显函数比较困难，甚至是不可能的．例如由方程确定的隐函数就不能化为显函数。5、反函数设函数y=f(x)，x∈D，y

∈Z.若对于任何一个y

∈Z，D中都存在唯一的x，使得f(x)=y，这时，x是以Z为定义域的y的函数，称它为y=f(x)的反函数，记作在函数中，y

是自变量，x是因变量。按照习惯，对调x

，y

，将其改写为注意：①函数y=f(x)，x∈D与互为反函数，它们的定义域与值域互换。②在同一直角坐标系下，互为反函数的两个函数y=f(x)，x∈D与的图形关于直线y=x对称。例题1【定理1】反函数存在定理

单调函数必有反函数，且单调增加(减少)的函数的反函数也是单调增加(减少)的．求函数的反函数可以按以下步骤进行：⑴、从方程y=f(x)中解出唯一的x，并写成；⑵、将中的字母对调，得到函数，这就是所求的函数的反函数。（1.1.2）函数性质

设有函数,若对任意两点时，总有：(1)则称函数f(x)在(a,b)上是单调增加的，区间(a,b)称为单调增加区间；(2)则称函数f(x)在(a,b)上是单调减少的，区间(a,b)称为单调减少区间．单调增加的函数和单调减少的函数统称为单调函数，单调增加区间和单调减少区间统称为单调区间。

1、单调性设函数，如果存在M>0，使得对任意x∈D,均有成立，则称函数f(x)在D内是有界的；如果这样的M不存在，则称函数f(x)在D内是无界的．例如：y=sinx是有界函数，其中对任意的均有；而是无界函数，因在上仅有下界。2、有界性

设函数y=f(x)的定义域关于原点对称，如果对于定义域内的每一x都有(1)、f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为奇函数；(2)、f(-x)=f(x),则称函数f(x)为偶函数．奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称．如果函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数，称为非奇非偶函数．例如，是奇函数；是偶函数。

3、奇偶性设函数，如果存在常数，对任意，恒成立，则称函数为周期函数；使上式成立的最小正数T，称为函数的最小正周期，简称周期．例如，的周期；的周期；正弦型曲线函数的周期为．

4、周期性基本初等函数为以下六类函数：y=C，C

是常数(1.1.3)、基本初等函数(1)常函数(3)指数函数(4)对数函数(a是常数且)(a是常数且)(2)幂函数，是常数正弦函数余弦函数正切函数余切函数(5)三角函数，，，，，，，，，，反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数(6)反三角函数由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的复合所构成并且可以用一个解析式子表示的函数，称为初等函数。(1.1.4)、初等函数如等都是初等函数，，三、应用

练习1[波形函数]在电子科学中，有大量波形函数，如下图为周期为T的一锯齿形波的图象．此函数在一个周期上可用解析法表示为

练习2[股票曲线]

股票在某天的价格随时间的变化关系常用图形表示，如下图所示为某一股票在某天的走势图。从股票曲线，我们可以看出这只股票在当天的价格和成交量波动情况。

练习3[物理实验]

设某一物理现象的数学关系为，用实验测得ti时刻的值，见下表所示…………

练习4[个人所得税]

我国于2007年12月29日发布了《关于修改〈中华人民共和国个人所得税法〉的决定》（第五次修正）将个税免征额将从1600元／月上调至2000元／月，个人所得税税率表（工资、薪金所得适用）——级数全月应纳税所得额税率（％）

1不超过500元的52超过500元至2000元的部分103超过2000元至5000元的部分154超过5000元至20000元的部分205超过20000元至40000元的部分256超过40000元至60000元的部分307超过60000元至80000元的部分358超过80000元至100000元的部分409超过100000元的部分45若某单位所有人的月收入都不超多4200元，请建立月收入与纳税金额之间的函数关系。解：设月收入为x元，纳税金额为y元，依题意，月收入与纳税金额之间的函数关系式为：某工厂生产计算机的日生产能力为0到100台，工厂维持生产的日固定费用为4万元，生产一台计算机的直接费用(含材料费和劳务费)是4250元．试建立该厂日生产台计算机的总费用函数，并指出其定义域．练习5

[生产费用]解设该厂日生产x台计算机的总费用为y（单位：元），则y为日固定费用和生产x台计算机所需总费用之和，即

由于该厂每天最多能生产100台计算机，所以