3.1.2函数的表示法第一课时课件-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章函数的概念与性质3.1.2第1课时函数的表示法课程标准1.掌握函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点.在解析法中尤其要掌握用换元和代入法求函数的解析式.2.在实际问题中,能够选择恰当的表示法来表示函数.3.能利用函数图象求函数的值域,并确定函数值的变化趋势.复习导入基础落实重难探究目录索引成果验收复习导入1、函数的概念：非空数集的特殊对应关系2、函数的三要素：定义域、值域、对应关系3、“三性”：任意性、存在性、唯一性4、区间5、同一函数：定义域、对应关系都一致复习导入在现实中，将变量数x，对应到y的方法和途径是多种多样的，这就导致了函数的表示方法也是多种多样的。本节课我们就来研究一下函数常见的几种表示方法。复习导入过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)任何一个函数都可以用列表法表示.(

)(2)任何一个函数都可以用解析法表示.(

)(3)任何一个函数都可以用图象法表示.(

)(4)函数的图象一定是一条连续不断的曲线.(

)(5)函数f(x)=x+1,x∈R与g(x)=x+1,x∈N的图象相同.(

)×××××基础落实例1：某种笔记本的单价是5元,买x(x∈｛1,2,3,4,5｝)个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).解：追问：函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线，折线，离散的点等，那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？依据是函数的定义.要判断一个图形是否为某个函数的图像，其法则为：在定义域内过点任意一点（x，0）作垂直于x轴的直线，若此直线与图形有唯一交点，则图形为再次定义域内的函数图象，若无交点或多于1个交点，则不是函数图象.知识点

函数的表示方法名师点睛函数的三种表示方法的优缺点表示方法优点缺点列表法不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值只能表示自变量可以一一列出的函数图象法能形象直观地表示出函数的变化情况只能近似地求出自变量所对应的函数值,而且有时误差较大解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系,从“数”的方面揭示了函数关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值不够形象、直观、具体,而且并不是所有的函数都能用解析法表示出来重难探究探究点一函数的三种表示法的应用练习1：某商场新进了10台彩电,每台售价3000元,试求售出台数x与收款数y(单位:元)之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来.解

(1)列表法:x/台12345y/元3

0006

0009

00012

00015

000x/台678910y/元18

00021

00024

00027

00030

000(2)图象法:(3)解析法:y=3

000x,x∈{1,2,3,…,10}.规律方法理解函数表示法注意以下要点:(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法,无论是哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念.(2)列表法更直观形象,图象法从形的角度描述函数,解析法从数的角度描述函数.(3)函数的三种表示法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主.探究点二求函数的解析式

探究点二求函数的解析式例3：

(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x);(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式;(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).解

(1)(方法1)令x+1=t,则x=t-1.将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2,得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,∴f(x)=x2-5x+6.(方法2)∵f(x+1)=x2-3x+2=x2+2x+1-5x-5+6=(x+1)2-5(x+1)+6,∴f(x)=x2-5x+6.(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).∵f(0)=1,∴c=1,则f(x)=ax2+bx+1.∵f(x+1)-f(x)=2x对任意的x∈R都成立,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,即2ax+a+b=2x,(3)∵对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,∴将x替换为-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,联立方程组消去f(-x),可得f(x)=-3x-.规律方法求函数解析式的四种常用方法

直接法(代入法)已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接将g(x)代入即可待定系数法若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(或方程组),通过解方程(组)求出待定系数,进而求出函数解析式换元法(配凑法)已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”),即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x))中求出f(t),从而求出f(x)解方程组法(消元法)在已知式子中,含有关于两个不同变量的函数,而这两个变量有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,由两个式子建立方程组,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式,这种方法称为解方程组法或消元法练习2已知f(x)=2x+1，则f(f(x))=________.

练习3(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=2x-1,求f(x)的解析式;

解

∵f(x)为一次函数,∴可设f(x)=ax+b(a≠0).∵f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=2x-1.探究点三利用函数的图象求函数的值域【例3】

作出下列函数的图象,并求其值域:(1)y=1-x(x∈Z);解

因为x∈Z,所以函数图象为一条直线上的孤立点(如图①),由图象知,y∈Z.(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3).解

因为x∈[0,3),所以函数图象是抛物线的一段(如图②),由图象知,y∈[-5,3).规律方法函数图象的作法及注意点(1)作函数图象最基本的方法是描点法:主要有三个步骤——列表、描点、连线.作图象时一般先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式,最后列表画出图象.(2)函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意特殊点.如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数图象的顶点等,还要分清这些特殊点是实心点还是空心圈.如本题(1)中图象是由一些散点构成的,这里不能将其用平滑曲线连起来;本题(2)中描出两个端点及顶点,依据二次函数的图象特征作出函数图象,注意x=3不在定义域内,从而点(3,3)处用空心圈.变式训练3作出下列函数的图象,并写出其值域.(1)y=2x+1,x∈[0,2];解

当x=0时,y=1;当x=1时,y=3;当x=2时,y=5.函数图象过点(0,1),(1,3),(2,5).图象如图所示.由图可知,函数的值域为[1,5].由图可知,函数的值域为(0,1].本节要点归纳1.知识清单:(1)函数的表示法.(2)求函数解析式.(3)函数图象的应用.2.方法归纳:待定系数法、换元法、配凑法、数形结合法.3.常见误区:求函数解析式或画函数图象时易忽视函数定义域.成果验收123451.将长度为2的一根铁丝折成长为x的矩形,矩形的面积y关于x的函数关系式是y=x(1-x),则函数的定义域为(

)A.R

B.{x|x>0}C.{x|0<x<2} D.{x|0<x<1}D123452.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1),则该一次函数的解析式为(

)A.f(x)=-x B.f(x)=x-1C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x+1D123453.某天早上,小明骑车上学,出发时感到时间较紧,然后加速前进,后来发现时间还比较充裕,于是放慢了速度,与以上事件吻合得最好的图象是(

)C解析

因为选项A,D第一段都是匀速前进,不合题意,故排除选项A,D,首先加速前进,然后放慢速度,说明图象上升的速度先快后慢,故选C.123454.(1)已知函数f(x+1)=3x+2,求f(x);解

(方法1

换元法)令x+1=t,∴x=t-1,∴f(t)=3(t-1)+2=3t-1,∴f(x)=3x-1.(方法2

配凑法)f(x+1)=3x+2=3(x+1)-1,∴f