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文档简介

函数的连续性一、函数的连续性的概念二、函数的间断点四、初等函数的连续性五、闭区间上连续函数的性质三、连续函数的性质一、函数的连续性1.连续的定义f(x)在x0连续的几何特征曲线

y=f(x)在

x0点不断裂。2.单侧连续的定义单侧连续的几何特征：…。定理1连续性是函数的局部性质。例1证证毕例2解f(x)右连续但不左连续

,3.连续函数与连续区间

若f(x)在区间I的内部每一点处都连续，并且当I含左（右）端点时f(x)在该端点处右（左）连续，则称f(x)是区间I上的连续函数，或者说函数f(x)在区间I上连续，并且称I为f(x)的连续区间。

I上连续函数的图形在I上是一条连续而不间断的曲线.几何特征注意：函数在区间

I上处处连续与在区间

I上连续是有区别的.二、函数的间断点由此寻找函数的间断点。间断点的分类：例3解注意可通过修改函数在可去间断点处的定义,使其变为连续点.例5解如例5中,例5解例7解注意不要以为函数的间断点只能是个别的几个点.狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断，且都是第二类间断点。★在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★判断下列各间断点类型:例6例7解三、连续函数的性质定理2（函数在一点处连续性的四则运算法则）推论（区间上连续函数的四则运算法则）注单侧连续函数也有与定理1相应的四则运算法则。例8意义极限符号可与连续函数符号交换先后顺序，即极限运算可以穿过连续函数符号。定理3)].(lim[)()]([lim,)(,)(limtfaftfaufatttttjjj®®®===

则有连续在而的某个变化过程，有若对例9或由或由定理4注四、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★★y=x

(

)在定义区间上连续.定理5

基本初等函数在定义区间上连续.定理6

一切初等函数都在其定义区间上连续.1.

初等函数在其定义域内不一定连续.注意

例如,利用初等函数的连续性求极限的方法（代入法）：

若初等函数

f(x)

在x0

及邻近（或左邻近，或右邻近）有定义，则例10最大值和最小值定理在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.五、闭区间上连续函数的性质定义:。上的一个在是，上的在是则称使得上有定义。若在区间设最大(小)值点值小最大IxfxIxfxfIxxfxfxfxfIxIxf)()()()(,))()(()()(,)(

00000Î"³£Î$有界性定理在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.零点定理在闭区间上连续的函数如果在端点处异号，则一定在该区间内部有零点.MBCAmab介值定理在闭区间上连续的函数，如果在端点处取值不同，则在该区间内部一定可以取到介于端点处函数值之间的任何值.推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.例11证证毕例12证由零点定理,yf(b)b

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