数学课件 4.6定积分的几何应用

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一、案例

二、知识要点

三、应用4.6定积分的应用一个工程师正用CAD（computer-assisteddesigen计算机辅助设计）设计一游泳池，游泳池的表面是由曲线以及x=8围成的图形，如图所示，求此游泳池的表面面积．一、案例[游泳池的表面面积]

二、知识要点（一）定积分的微元法

回顾3.7定积分的定义中的实例1，用定积分求曲边梯形的面积，经过如下四个步骤：第一是分割，即把整体进行分割；第二是近似代替，在局部范围内，“以直边代曲边”即求出整体量在局部范围内的近似值；

第三求和，将各窄曲边梯形面积的近似值加起来；第四取极限，从而得到整体量．

事实上，这种方法在实际应用中很广泛，为了今后应用方便，我们在解决实际问题中将这四个步骤简化成两个步骤：

用以上定积分表示具体问题的简化步骤来解决实际问题的方法称为微元法．（二）平面图形的面积解:

首先，画草图如图所示．其次，由草图知，应选x作积分变量；为确定区间，解方程组：

得交点(1,1)，于是可得积分区间为[1,2]，最后，用公式可得所求面积为解:

首先，画草图如图所示．其次，由草图知，应选y作积分变量；为确定区间：解方程组得交点(2,2),(8,-4)，于是得积分区间为[-4,2]．所以所求图形面积为解:

首先，画草图如图所示．解方程组得交点(2,4),(3,3)，取积分变量为x积分区间为[0,2],[2,3]．所以所求图形面积为该题也可以取y为积分变量，此时积分区间为[0,3]，[3,4]，所求图形的面积为

说明用定积分求几何图形的面积，既可选取x为积分变量，也可选取y为积分变量．但积分变量的选取，决定了图形用不用分块，即表示面积的定积分是用一个表达式还是用几个表达式．一般情况下，选取积分变量的原则是，尽量使图形不分块（用一个定积分表示）和少分块（必须分块时）．

归纳出解题步骤：（1）画草图；（2）由图选取积分变量，求出积分区间;（3）写出面积公式：①选x为积分变量，确定x的范围[a,b]，②选y为积分变量，确定y的范围[c,d]，练习4.6.1[窗户面积]

三、应用某一窗户的顶部设计为弓形，上方曲线为一抛物线，下方为直线，如图所示，求此弓形的面积．

建立直角坐标系如图所示．解设此抛物线方程为，因它过点，所以即抛物线方程为此图形的面积实际上为由曲线与直线

所围成图形的面积，面积为所以窗户的面积为0.683m2．

练习4.6.2[游泳池的表面面积]

一个工程师正用CAD（computer-assisteddesigen计算机辅助设计）设计一游泳池，游泳池的表面是由曲线以及x=8围成的图形，如图所示，求此游

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