数学课件 4.4定积分的变量置换法

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一、案例

二、知识要点

三、应用4.4定积分的变量置换法一、案例

二、知识要点（一）定积分的变量置换法

而

定积分的变量置换法主要是用于被积函数含有根式的积分，通过积分变量代换使被积函数有理化，从而把要求的积分简化．注意在换积分的变量的同时也要换积分区间。常见的积分变量代换主要有如下两种方法：

1．幂代换法

2．三角代换法

1.幂代换法

被积函数含有形如的根式，【例题4.4.1】

求解：设于是【例题4.4.2】

求解：设于是2.三角代换法

（1）被积函数含有形如

的根式，【例题4.4.3】计算解：

【练习4.4.1】

计算解：设于是（2）被积函数含有形如

的根式，【例题4.4.4】

求解：设于是（3）被积函数含有形如

的根式，【例题4.5.5】

求解：设于是【例题6】

设函数f(x)在区间[-a,a]上连续．证明（1）若f(x)为奇函数时，有

（2）若f(x)为偶函数时，有

证由定积分的性质，有对于积分

于是所以（1）若f(x)为奇函数时，f(-x)=-f(x)，所以（2）若f(x)为偶函数时，f(-x)=f(x)，所以

此例题的结论以后可以作为公式来使用，但要注意：积分区间必须以坐标原点对称．解：积分区间[-2,2]是以坐标原点对称，且被积函数

在[-2,2]是奇函数，所以三、应用[计算下列积分]解：积分区间[-1,1]是以坐标原点对称，且

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