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18.7-8.9矩阵的秩与线性方程组的解2主要内容：1.矩阵的秩2.一般线性方程组的解3.矩阵的秩及其求法

一般线性方程组3

矩阵的秩是矩阵的重要特性之一，它在线性方程组解的讨论中起着关键的作用.定义：矩阵A的阶梯形矩阵所含非零行的行数称为矩阵A的秩，记为r（A）．根据这个定义，可以得出求矩阵A的秩的一般步骤：(1)用矩阵的初等行变换把A化为阶梯形矩阵；(2)数一下阶梯形矩阵中有多少个非零行一、矩阵的秩456所以r（A）=3．789所以r（B）=3．10

一般的线性方程组，它的未知数个数与方程的个数可以相等也可以不相等．对于n个未知数n个方程的线性方程组，当它的系数行列式不为零时，可以有以下三种求解方法：⑴克莱姆法则；⑵逆矩阵；⑶矩阵法．其中矩阵法还能用来求解未知数个数与方程个数不相等的线性方程组．本节将运用矩阵法来讨论一般的线性方程组的解．先考察先面的两个例子．例3

讨论线性方程组

二、一般线性方程组的解111213①14最后一个矩阵对应于方程组：因此有

由于当x3和x4分别任意取定一个值时，都可得到方程组的一组解，因此该方程组有无穷多组解．151617最后一个矩阵对应于方程组：其中第三个方程0=3是不可能成立的．因而方程组无解．②18

从以上两个例子最后得到的两个矩阵①和②来看，它们的左上角都是一个单位矩阵，以下各行中除去最后一列可能有非零元素（如矩阵②）外，其余元素均为零．一个含有n个未知数的m个方程的线性方程组它的增广矩阵③192021这时，对应的方程组为22其中x3与x4的值可以任取，令x3=c1，x4=c2，则方程组的解为其中c1与

c2为任意常数．23

在线性方程组③中，若b1=b2=…=bm=0，则方程组③称为齐次线性方程组．在齐次线性方程组三、齐次线性方程组24中，显然它的增广矩阵的秩与系数矩阵的秩是相等的．因此根据定理1可知，齐次线性方程组总是有解的．根据定理2，可以得到以下定理：定理3

设齐次线性方程组⑥的系数矩阵A的秩R（A）=r．⑴若r=n，则方程组⑥只有零解；⑵若r<n，则方程组⑥有无穷多组非零解．对于n个未知数，n个方程的齐次线性方程组，还可由定理3推得以下的定理：25定理4齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式|A|=0．26解计算系数行列式：所以方程组只有唯一的一组零解，即x=y=z=027解计算系数行列式：

所以方程组有无穷多组解．为此写出它的增广矩阵，并作行初等变换如下：28293031这时，对应的方程组为设z=c，则方程组的解为32

线性方程组的类型按方程个数与未知量个数来分，有相同与不相同两种，按常数项是否全为零来分，又有齐次和非齐次两种，因而线性方程组共有四种形式．无论哪种形式的线性方程组，它是否有解，有多少解，都可以根据其系数矩阵的秩、增广矩阵的秩、未知量的个数这三个量的关系来判别．其结果如下：作业

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