2025届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第一节任意角和蝗制及任意角的三角函数学案理含解析

PAGE第一节随意角和弧度制及随意角的三角函数[最新考纲][考情分析][核心素养]1.了解随意角的概念.2.了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解随意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.随意角三角函数的定义及应用是2024年高考考查的热点，题型将是选择题或填空题，分值为5分.1.数学运算2.数学建模‖学问梳理‖1．随意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线围着eq\x(1)端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类按旋转方向正角按eq\x(2)逆时针方向旋转而成的角负角按eq\x(3)顺时针方向旋转而成的角零角射线没有旋转按终边位置前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合象限角角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角其他角的终边落在坐标轴上(3)终边相同的角：全部与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝eq\x(4){β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制(1)定义：长度等于eq\x(5)半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝eq\x(6)eq\f(l,r)角度与弧度的换算1°＝eq\x(7)eq\f(π,180)rad≈0.01745rad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57°18′弧长公式l＝eq\x(8)|α|·r扇形面积公式S＝eq\x(9)eq\f(1,2)l·r＝eq\f(1,2)|α|·r23.随意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个随意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么eq\x(10)y叫做α的正弦，记作sinαeq\x(11)x叫做α的余弦，记作cosαeq\x(12)eq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα各象限符号Ⅰeq\x(13)正eq\x(14)正eq\x(15)正Ⅱeq\x(16)正eq\x(17)负eq\x(18)负Ⅲeq\x(19)负eq\x(20)负eq\x(21)正Ⅳeq\x(22)负eq\x(23)正eq\x(24)负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段eq\x(25)MP为正弦线，有向线段eq\x(26)OM为余弦线，有向线段eq\x(27)AT为正切线►常用结论(1)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则tanα>α>sinα.(2)角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采纳的度量制度必需一样，不行混用．‖基础自测‖一、疑误辨析1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．()(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．()(3)不相等的角终边肯定不相同．()(4)终边相同的角的同一三角函数值相等．()(5)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则tanα>sinα.()(6)若α为第一象限角，则sinα＋cosα>1.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√(6)√二、走进教材2．(必修4P12例2改编)已知角α的终边过点P(8m，3)，且cosα＝－eq\f(4,5)，则m的值为()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)答案：A3．(必修4P4例1改编)在－720°～0°范围内，全部与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为____________．答案：{－675°，－315°}三、易错自纠4．下列说法正确的是()A．三角形的内角必是第一、二象限角B．第一象限角必是锐角C．不相等的角终边肯定不相同D．若β＝α＋2kπ(k∈Z)，则α和β终边相同答案：D5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为()A．eq\f(π,3) B．eq\f(π,2)C．eq\r(3) D．2解析：选C设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为eq\r(3)r，所以eq\r(3)r＝αr，∴α＝eq\r(3).故选C．6．角α的终边在直线3x＋4y＝0上，则sinα＋cosα＝________．解析：设α终边上任一点为P(－4a，3a)，当a>0时，r＝5a，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)；当a<0时，r＝－5a，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5).故sinα＋cosα＝eq\f(1,5)或－eq\f(1,5).答案：±eq\f(1,5)eq\a\vs4\al(考点一\a\vs4\al(象限角与终边相同的角))|题组突破|1．若角α是其次象限角，则eq\f(α,2)是()A．第一象限角 B．其次象限角C．第一或第三象限角 D．其次或第四象限角解析：选C∵α是其次象限角，∴eq\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，eq\f(α,2)是第一象限角；当k为奇数时，eq\f(α,2)是第三象限角．∴eq\f(α,2)是第一或第三象限角．故选C．2．集合eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：选C当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(π,2)(n∈Z)，此时α的终边和eq\f(π,4)≤α≤eq\f(π,2)的终边一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq\f(π,2)(n∈Z)，此时α的终边和π＋eq\f(π,4)≤α≤π＋eq\f(π,2)的终边一样，结合选项知选C．3．与－2010°终边相同的最小正角是________．解析：因为－2010°＝(－6)×360°＋150°，所以150°与－2010°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有150°与－2010°终边相同，故与－2010°终边相同的最小正角是150°.答案：150°►名师点津1．推断象限角的2种方法图象法在平面直角坐标系中，作出已知角并依据象限角的定义干脆推断已知角是第几象限角转化法先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限推断已知角是第几象限角2.确定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；(2)再写出kα或eq\f(α,k)的范围；(3)然后依据k的可能取值探讨确定kα或eq\f(α,k)的终边所在的位置．eq\a\vs4\al(考点二\a\vs4\al(扇形的弧长及面积公式的应用))|题组突破|4．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A．2 B．sin2C．eq\f(2,sin1) D．2sin1解析：选C如图，由题意，得∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交eq\o(AB,\s\up10(︵))于D，则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝eq\f(1,2)AB＝1，在Rt△AOC中，AO＝eq\f(AC,sin∠AOC)＝eq\f(1,sin1)，即r＝eq\f(1,sin1)，从而eq\o(AB,\s\up10(︵))的长为l＝α·r＝eq\f(2,sin1).5．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形圆心角的弧度数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C设扇形的半径为r，圆心角为α，依据扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr，得6＝eq\f(1,2)×6×r，∴r＝2.又扇形弧长公式l＝r·α，∴α＝eq\f(l,r)＝3.故选C．6．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为()A．2 B．4C．6 D．8解析：选C设扇形的半径为r(r>0)，弧长为l，则由扇形面积公式可得，2＝eq\f(1,2)|α|r2＝eq\f(1,2)×4×r2，解得r＝1，所以l＝|α|r＝4，所以所求扇形的周长为2r＋l＝6.►名师点津有关弧长及扇形面积问题的留意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要留意角的单位必需是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．eq\a\vs4\al(考点\a\vs4\al(三角函数的定义——多维探究))三角函数的定义是考查热点，常见的命题角度有：(1)利用三角函数的定义求值；(2)推断三角函数值的符号；(3)利用三角函数线比较大小或解不等式．●命题角度一利用三角函数的定义求值【例1】(1)(2025届南昌二中模拟)已知角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sinα等于()A．sin2 B．－sin2C．cos2 D．－cos2(2)(2025届许昌调研)设α是其次象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cosα＝eq\f(1,5)x，则tanα＝________．[解析](1)因为r＝eq\r(（2sin2）2＋（－2cos2）2)＝2，由随意角的三角函数的定义，得sinα＝eq\f(y,r)＝－cos2.(2)因为α是其次象限角，所以cosα＝eq\f(1,5)x<0，即x<0.又cosα＝eq\f(1,5)x＝eq\f(x,\r(x2＋16))，解得x＝－3，所以tanα＝eq\f(4,x)＝－eq\f(4,3).[答案](1)D(2)－eq\f(4,3)►名师点津定义法求三角函数值的三种状况(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可依据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，依据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．●命题角度二推断三角函数值的符号【例2】(1)sin2·cos3·tan4的值()A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在(2)若sinαtanα<0，且eq\f(cosα,tanα)<0，则角α是()A．第一象限角 B．其次象限角C．第三象限角 D．第四象限角[解析](1)因为eq\f(π,2)<2<3<π<4<eq\f(3π,2)，所以sin2>0，cos3<0，tan4>0.所以sin2·cos3·tan4<0，故选A．(2)由sinαtanα<0，可知sinα，tanα异号，则α为其次象限角或第三象限角．由eq\f(cosα,tanα)<0，可知cosα，tanα异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角.[答案](1)A(2)C►名师点津三角函数值的符号及角的位置的推断已知一角的三角函数值(sinα，cosα，tanα)中随意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．留意终边在坐标轴上的特别状况．●命题角度三利用三角函数线比较大小或解不等式【例3】sin1，cos1，tan1的大小关系是()A．sin1<cos1<tan1B．tan1<sin1<cos1C．cos1<tan1<sin1D．cos1<sin1<tan1[解析]如图，单位圆中∠MOP＝1rad>eq\f(π,4)rad，因为OM<eq\f(\r(2),2)<MP<AT，所以cos1<sin1<tan1.故选D．[答案]D►名师点津利用单位圆解三角不等式(组)或比较大小的一般步骤(1)用边界值定出角的终边位置．(2)依据不等式(组)定出角的范围．(3)求交集，找单位圆中公共的部分．(4)写出角的表达式．|跟踪训练|1．已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为eq\r(2)，若α＝eq\f(π,4)，则点P的坐标为()A．(1，eq\r(2)) B．(eq\r(2)，1)C．(eq\r(2)，eq\r(2)) D．(1，1)解析：选D设点P的坐标为(x，y)，则由三角函数的定义得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,4)＝\f(y,\r(2))，,cos\f(π,4)＝\f(x,\r(2))，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)cos\f(π,4)＝1，,y＝\r(2)sin\f(π,4)＝1.))故点P的坐标为(1，1)．2．满意cosα≤－eq\f(1,2)的角α的集合为_____________________．解析：作直线x＝－eq\f(1,2)交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满意条件的角α的集合为α2kπ＋eq\f(2,3)π≤α≤2kπ＋eq\f(4,3)π，k∈Z.答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2,3)π≤α≤2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z))))eq\a\vs4\al(考点\a\vs4\al(以三角函数定义为背景的创新题))【例】如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(eq\r(2)，－eq\r(2))，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为()[解析]因为P0(eq\r(2)，－eq\r(2))，所以∠P0O