61分类加法计数原理与分步乘法计数原理精讲

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、分类加法计数原理1、定义：完成一件事情有类不同的方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第类方案中有种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法。【注意】完成这件事的类方案是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要在用其他的方法。2、解题思路：（1）分类：将完成这件事的方法分成若干类；（2）计数：求出每一类的方法数；（3）结论：将每一类的方法数相加得出结果。3、应用分类加法计数原理的注意事项：（1）根据题目特点恰当选择一个分类标准；（2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复；（3）分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏。二、分步乘法计数原理1、定义：完成一件事需要个步骤，做第1步有中不同的方法，做第2步有中不同的方法，…，做第步有种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法。【注意】完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事就不能完成。2、解题思路：（1）分步：将完成这件事的过程分成若干步；（2）计数：求出每一步中的方法数；（3）结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果。三、两种计数原理的区别与联系分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点都是完成一件事的不同方法的种数问题不同点1完成一件事有类不同方案，关键词是“分类”完成一件事需要个步骤，关键词是“分步”不同点2每类方案都能独立完成这件事情，且每种方法得到的最后结果，只需一种方法就可以完成这件事任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事不同点3各类方案之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复四、两种计数原理综合应用1、用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在最开始计算之前进行仔细分析—需要分类还是需要分步；2、分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数；3、分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数。五、解决计数问题常用的方法1、枚举法：将各种情况通过树形图法、列表法意义列举出来，适用于计数种数较少的情况；2、间接法：若计数时分类较多或无法直接计数时，可先求出没有限制条件的种数，再减去不满足条件的种数；3、字典排序法：（1）字典排序法就是把所有字母分前后次序，先排前面的字母，前面的字母排完后再依次排后面的字母，最后的字母排完，则排列结束。（2）利用字典排序法并结合分步乘法计数原理可以解决与排列顺序有关的计数问题，利用字典排序法还可以把这些排雷不重不漏地一一列举出来。4、模型法：通过构造图形，利用形象、直观的图形帮助分析和解决问题。题型一分类加法计数原理的应用【例1】（2022秋·辽宁葫芦岛·高二校联考期中）某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（）A．40种B．20种C．15种D．11种【答案】D【解析】根据分类加法计数原理，不同的选法共有种．故选：D【变式11】（2022秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（）A．7种B．9种C．14种D．70种【答案】C【解析】分为三类：从国画中选，有2种不同的选法；从油画中选，有5种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有5+2+7=14(种)不同的选法;故选：C【变式12】（2023·全国·高二专题练习）我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2130是“六合数”），则其中首位为2的“六合数”共有（）．A．18个B．15个C．12个D．9个【答案】B【解析】由题知后三位数字之和为4，当一个位置为4时有004，040，400，共3个；当两个位置和为4时有013，031，103，301，130，310，022，202，220，共9个；当三个位置和为4时112，121，211，共3个，所以一共有15个.故选：B【变式13】（2022·高二课时练习）如图，将钢琴上的个键依次记为，，…，．设，若且，则称，，为大三和弦；若且，则称，，为小三和弦．用这个键可以构成的大三和弦与小三和弦的个数之和为（）A．5B．8C．10D．15【答案】C【解析】根据题意可知，大三和弦满，，所以有5种情况，即，，；，，；，，；，，；，，．小三和弦满足，，所以有5种情况，即，，；，，；，，；，，；，，．故大三和弦与小三和弦个数之和为，故选:C．题型二分步乘法计数原理的应用【例2】（2022秋·河南驻马店·高二确山县第一高级中学校考期末）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，如果规定每位同学必须报名，则不同的报名方法共有（）A．10种B．20种C．25种D．32种【答案】D【解析】如果规定每位同学必须报名，且每位同学限报其中的一个小组，每个同学都有2种选择，根据分步乘法计数原理，知不同的报名方法共有（种），故选：D．【变式21】（2022秋·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德．已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（）A．13种B．22种C．30种D．60种【答案】D【解析】根据分步乘法计数原理，共有（种）不同的选取方法，故选：D．【变式22】（2022春·福建·高二福建师大附中校考期中）四名师范生从A，B，C三所学校中任选一所进行教学实习，其中A学校必有师范生去，则不同的选法方案有（）A．37种B．65种C．96种D．108种【答案】B【解析】若不考虑限制条件，每人都有3种选择，则共有种方法，若没有人去A学校，每人都有2种选择，则共有种方法，故不同的选法方案有种.故选:B.【变式23】（2022·高二单元测试）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，如图，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数（图中白圈为阳数，黑点为阴数）.现利用阴数和阳数构成一个四位数，规则如下：（从左往右数）第一位数是阳数，第二位数是阴数，第三位数和第四位数一阴一阳和为7，则这样的四位数的个数有（）A．120B．90C．48D．12【答案】A【解析】根据题意，阳数为1，3，5，7，9，阴数为2，4，6，8，第一位数的选择有5种，第二位数的选择有4种，第三位数和第四位数的组合可以为，，，，，共6种选择，根据分步乘法计数原理，这样的四位数共有（个）.故选:A.题型三两种计数原理综合应用【例3】（2022春·湖北十堰·高二十堰东风高级中学校考阶段练习）某校高二年级举行健康杯篮球赛，共20个班级，其中1、3、4班组成联盟队，2、5、6班组成联盟队，一共有16支篮球队伍，先分成4个小组进行循环赛，决出8强（每队与本组其他队赛一场），即每个组取前两名（按获胜场次排名，如果获胜场次相同的就按净胜分排名）；然后晋级的8支队伍按照确定的程序进行淘汰赛，淘汰赛第一轮先决出4强，晋级的4支队伍要决出冠亚军和第三、四名，同时后面的4支队伍要决出第五至八名，则总共要进行篮球赛的场次为（）A．32B．34C．36D．38【答案】C【解析】在循环赛阶段，4个小组，每个小组由4支球队组成，每个球队都要进行三场比赛，故每组要进行场，4组要进行场；在淘汰赛阶段，第一轮：8支球队，2支一场，则共进行；第二轮：8支球队，2支一场，共进行场，此时决出分别争夺冠亚军、第三四名、第五六名、第七八名的球队，再进行4场，决出冠军、亚军、第三名、第四名、第五名、第六名、第七名、第八名.综上，可得共进行场.故选：C.【变式31】（2022·河南安阳·校联考模拟预测）为推动就业与培养有机联动､人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目.现安排甲､乙两所高校与三家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则不同的对接方案共有（）A．15种B．16种C．17种D．18种【答案】B【解析】甲高校与用人单位对接的方案种数为，同理，乙高校与用人单位对接的方案种数为，故不同的对接方案共有种．故选：B．【变式32】（2022春·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考阶段练习）重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式.九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）：“中间格”火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味.现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格.现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（）A．36B．18C．9D．6【答案】C【解析】由题可知，中间格只有一种放法；十字格有四个位置，3种适合放入，所以有一种放两个位置，共有3种放法；四角格有四个位置，2种适合放入，可分为一种放三个位置，另一种放一个位置，有两种放法，或每种都放两个位置，有一种放法，故四角格共有3种放法；所以不同放法共有种.故选：C.【变式33】（2022春·山东菏泽·高二统考期中）如图，从甲村到乙村有3条路可走，从乙村到丙村有2条路可走，从甲村不经过乙村到丙村有2条路可走，则从甲村到丙村的走法种数为（）A．3B．6C．7D．8【答案】D【解析】由图可知，从甲村直接到到丙村的走法有种，从甲村到乙村再到丙村的走法有种，所以从甲村到丙村的走法共有种.故选:D.题型四代数中的计数问题【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是（）A．18B．16C．14D．10【答案】C【解析】分两类情况讨论：第一类，从中取的元素作为横坐标，从中取的元素作为纵坐标，则第一、二象限内的点共有（个）；第二类，从中取的元素作为纵坐标，从中取的元素作为横坐标，则第一、二象限内的点共有（个），由分类加法计数原理，所以所求个数为．故选：C【变式41】（湖北省十七所重点中学2023届高三下学期2月第一次联考数学试题）设集合，则集合S的元素个数为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对每个，在中的从属关系有以下101种：（1），（2），（3），…（101）．由分步乘法计数原理，集合S中共个元素．故选：D【变式42】（2023·全国·高二专题练习）如果正整数a的各位数字之和等于6，那么称a为“好数”(如：6，24，2013等均为“好数”)，将所有“好数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2013，则n＝（）A．50B．51C．52D．53【答案】B【解析】本题可以把数归为“四位数”(含0006等)，因此比2013小的“好数”为0×××，1×××，2004，共三类数，第一类可分为：00××，01××，…，0600，共7类，共有7＋6＋…＋2＋1＝28个数；第二类可分为：10××，11××，…，1500，共6类，共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个数，第二类可分为：2004，共1个故2013为第28+21+1+1=51个数，故n＝51.故选：B.【变式43】（2023·全国·高二专题练习）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为（）A．64B．56C．53D．51【答案】C【解析】由于1只能作为真数，则以1为真数，从其余各数中任取一数为底数，对数值均为0，从除1外的其余各数中任取两数分别作为对数的底数和真数，共能组成个对数式，其中，，，，，重复了4次，所以得到不同对数值的个数为.故选：C题型五数字排列计数问题【例5】（2022春·湖南长沙·高二长沙县实验中学统考期末）从数字1，2，3，4中取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为（）A．7B．9C．10D．13【答案】C【解析】其中各位数字之和等于6的三位数可分为以下情形：①由1，1，4三个数字组成的三位数：114，141，411共3个；②由1，2，3三个数字组成的三位数：123，132，213，231，312，321共6个；③由2，2，2三个数字可以组成1个三位数，即222．共有个，故选：C．【变式51】（2022春·广东广州·高二统考期末）用1，2，3，4组成没有重复数字的两位数，这样的两位数个数为（）A．6B．12C．16D．24【答案】B【解析】先排个位，有4种排法，再排十位，有3种排法，因此共有种排法，故选：B.【变式52】（2022春·江苏镇江·高二校考期中）用数字0，1，2，3，4组成允许有重复数字的三位数，这样的三位数个数为（）A．125种B．100种C．64种D．60种【答案】B【解析】首先排百位数字，只能是1，2，3，4中的一个，故有4种排法，因为允许有重复数字，故十位与个位均有5种排法，故一共有种；故选：B【变式53】（2022秋·广西钦州·高二浦北中学统考期末）用0，1，2，3，，9这十个数字.（1）可组成多少个三位数？（2）可组成多少个无重复数字的三位数？（3）可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？【答案】（1）900；（2）648；（3）379.【解析】（1）要确定一个三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，百位不能为0，有9种选法；第二步，确定十位数，有10种选法；第三步，确定个位数，有10种选法.根据分步乘法计数原理，共有种.（2）要确定一个无重复数字的三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，有9种选法；第二步，确定十位数，有9种选法；第三步，确定个位数，有8种选法.根据分步乘法计数原理，共有个无重复数字的三位数.（3）由已知，小于500且没有重复数字的自然数分为以下三类，第一类，满足条件的一位自然数：有10个，第二类，满足条件的两位自然数：有个，第三类，满足条件的三位自然数：第一步，确定百位数，百位数字可取1，2，3，4，有4种选法；第二步，确定十位数，有9种选法；第三步，确定个位数，有8种选法.根据分步乘法计数原理，有个.由分类加法计数原理知共有，共有379个小于500且无重复数字的自然数.题型六涂色计数问题【例6】如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意，按安徽与陕西涂的颜色相同和不同分成两类：若安徽与陕西涂同色，先涂陕西有种方法，再涂湖北有种方法，涂安徽有1种方法，涂江西有种方法，最后涂湖南有3种方法，由分步计数乘法原理得不同的涂色方案种，若安徽与陕西不同色，先涂陕西有种方法，再涂湖北有种方法，涂安徽有3种方法，涂江西、湖南也各有种方法，由分步计数乘法原理得不同的涂色方案种方法，所以，由分类加法计数原理得不同的涂色方案