2017-2018学年人教B版高中数学必修5全册学案含答案

2017-2018学年高中数学人教B版

必修5全册同步学案

目录

第一章i.i.i正弦定理（一）

第一章LL1正弦定理（二）

第一章1.1.2余弦定理（一）

第一章1.1.2余弦定理（二）

第一章1.2应用举例（一）

第一章1.2应用举例（二）

第一章习题课正弦定理和余弦定理

第一章章末复习提升

第二章2.1.1数列

第二章2.1.2数列的递推公式（选学）

第二章2.2.1等差数列（一）

第二章2.2.1等差数列（二）

第二章2.2.2等差数列的前n项和（一）

第二章2.3.1等比数列（一）

第二章2.3.1等比数列（二）

第二章2.3.2等比数列的前n项和（一）

第二章2.3.2等比数列的前n项和（二）

第二章习题课数列求和

第二章章末复习提升

第三章3.1.1不等关系与不等式

第三章3.1.2不等式的性质

第三章3.2均值不等式（一）

第三章3.2均值不等式（二）

第三章3.3一元二次不等式及其解法

第三章3.4不等式的实际应用

第三章3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域

第三章3.5.2简单线性规划

第三章习题课线性规划问题的几个重要题型

第三章章末复习提升

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第一章解三角形

1.1正弦定理和余弦定理

1.1.1正弦定理(一)

［学习目标］1.通过对任意三角形边角关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能

运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.

尹预习导学j挑战自我，点点落实

［知识链接］

下列说法中，正确的有.

(1)在直角三角形中，若C为直角，则sinA=?

(2)在△ABC中，若a>b,则A>B.

(3)在△ABC中，C=n-A-B.

(4)利用AAS、SSA都可以证明三角形全等.

(5)在△ABC中，若sinB=^~,则

答案⑴⑵⑶

解析根据三角函数的定义，(1)正确；在三角形中，大边对大角，大角对大边，(2)正确；

三角形的内角和为兀，(3)正确；AAS可以证明三角形全等，SSA不能证明，(4)不正确；若

A37r

sin8=奇，则B=a或彳，(5)不正确，故(1)(2)(3)正确.

［预习导引］

1.在中的有关定理

在RtZkABC中,C=90°,则有：

(1)A+B=9O2，0°<A<90°,0°<B<90°；

(2)/+从=，(勾股定理)；

ahc

~入inAsinBsinC-

2.正弦定理

在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即总=备=看，这个比值

SillbillDSillC，

1

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是其外接圆的直径2R.

3.解三角形

一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的暹.已知三角形的几个元素求

其他元素的过程叫做解三角形.

F课堂讲义金重点难点，个个击破__________________________________________________________

要点一正弦定理的推导与证明

例I在锐角△ABC中，证叫卷=磊=^・

CDCD

证明如图，在锐角△A5C中，过点。作CZ)J_AB于点£>,有丁=sin4,—=sinB.

••CD=bsihA=〃sinB.n-

sinAsinB

同理，sin8=sinC,sinA=sin8=sinC成立•

规律方法从正弦定理可以推出它的常用变形有:

bbcac

A-sinB'sinB~s\nC'sinA-sinC

asinAasinAbsinB

)/?一sinB'c-sinC'。一sinC

(3)tzsinB=bsinA,asinC=csinA,Z?sinC=csinB.

(4)a:b:c=sinA：sin8：sinC.

跟踪演练1在钝角△ABC中，如何证明看=磊=竦恐仍然成立？

证明如图，过点C作CO_LA8,交AB的延长线于点，则S

CD\

~^~=sinA,即C£)=/?sinA；/a\

CDAcB'

—=sin(180°-B)=sinB,

即CD=asinB.

因此加inA=asinB,即总=岛,

同理可证，品=薪•因此就?=岛=；*

要点二已知两角及一边解三角形

2

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例2已知△A3C根据下列条件，解三角形：

(l)a=20,A=30°,C=45°；

(2)a=8,8=60。，C=75°.

解(1)・・工=30。，C=45°；・・・8=180。一(4+0=105。,

-ra',asinB20sin105°，八.，八c、

由正弦定理仔b=§皿A=-si.30。­=40sm(45+60)

=10(#+&)；

«sin_C=20sin45°=

csinAsin30°‘叫’'

.,.8=105°,b=[Q(#+@,c=20Vl

(2)A=180°—(8+O=180°—(60°+75°)=45°,

由正弦定理一

sinBsinA

asinB8Xsin600r-

得sin45。=W6,

b—sinA

由正弦定理点=薪，

啦+加

“sinC_8Xsin75。0」=4(小+D.

sinA-sin45°

2

：.A=45°,b=4#,c=4(正+1).

规律方法已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：

(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求

出第三个角.

(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求

另外两边.

跟踪演练2在△ABC中，a=5,B=45。，C=105°,求边c.

解由三角彩内角和定理知A+B+C=180。，

所以A=180°-(8+C)=180°—(45°+105°)=30°.

由正弦定理一y=士，

sinAsinC

/曰sinCsin105°sin(60°+45°)

付c=a'~^A=5,sin300=5'—而而一

sin60°cos450+cos60°sin45°5rr

=5.----------------3(r---------------=2(V6+tV2).

要点三已知两边及一边的对角解三角形

例3在△ABC中，分别根据下列条件解三角形:

3

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6=4,A=30。；

(2)a=小，b=l,8=120°.

bsinAV3sin30°

解(1)根据正弦定理，sinB=a=1=2，

•・»>〃，：.B>A=30°,・・・8=60。或120°.

当3=60。时，。=180。一(4+8)=180。一(30。+60。)=90。，

.Z?sinCV3

,・c=sin8=sin60o=2;

当3=120。时，。=180。—64+3)=180。一(30。+120。)=30。=4,：.c=a=\.

小、用应.%“sin3V§sin120。3

(2)根据正弦定理，smA=-务=-----j-------=于Lt

因为sin.所以A不存在，即无解.

规律方法已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法：

(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.

(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大南对大边的法则能判断另

一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一.

⑶如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可

求两个角，要分类讨论.

跟踪演练3已知△A8C,根据下列条件，解三角形：

⑴a=2,c=加，C=p

(2)a=2,c=m,A=7.

“sinC啦

解⑴：/.sinA=

sinA-sinC'2.

71

Vc>afOA.・•,A=[.

csinB加'©nn

招，h—=小+1.

sinC7t

sin3

csinA

(2)VsinA-sinC'a~2'

又•:a<c,:.C=号或竽

当C=1时，8=居，人=^/=小+1・

,,一27rli八it,6fsinBr-

当c=?时，B=瓦，&=­T=V3-1.

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声当堂检测i当堂训练，体验成功___________________________________________________________

1.在△ABC中，若sinA>sinB,则角A与角3的大小关系为（）

A.A>BB.A<B

C.A^BD.A,8的大小关系不能确定

答案A

解析由sin4>sinB=2Rsin4>2Rsin8（R为△ABC外接圆的半径）Oa>boA>B.

2.在△ABC中，一定成立的等式是（）

A.asinA=bsinBB.acosA=bcosB

C.6fsinB=hsinAD.acosB=hsinA

答案c

解析由正弦定理'=以，得"sinB=3sinA,故选C.

sinr\.sinLJ

3.在△ABC中，已知A=150。，a=3,则其外接圆的半径R的值为（）

A.3B.小

C.2D.不确定

答案A

解析在△ABC中，由正弦定理得in/=5亩150。=6=2凡:•R=3.

4.在△ABC中，sinA=sinC,则△43。是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.锐角三角形D.钝角三角形

答案B

解析由sinA=sinC知a=c,

△ABC为等腰三角形.

5.在△ABC中，已知a=#,sinC=2sinA,则c=.

答案2小

解析由正弦定理，得。=等萼=2a=2小.

<sin

r课堂小结-----------------------------------1

、cibc.

1.正弦定理的表示形式：'7/{=sin8=sinC=2&或〃=%sinA,b=Asin3,c=AsinC（fc>0）.

2.正弦定理的应用范围

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角.

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(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两南.

3.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三

角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决.

1.1.1正弦定理(二)

［学习目标］1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题2能根据条件，

判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形

问题.

才预习导学最挑战自我，点点落实

［知识链接］

以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是.

⑴在△人回中，逑¥=誓=呼，则4=9。。.

(2)在△ABC中，若sin2A=sin28,则

(3)在△ABC中，若sinA>sinB,则A>B；反之，若A>8,则sinA>sinB.

,.,ab+c

(4)在aABC中，i

sinAsinB+sinC

答案(2)

解析对于(1),由正弦定理可知，sinB=cosB,sinC=cosC,.,.B=C=45°,故A=90。，

故(1)正确.

对于(2),由sin2A=sinIB可得A=B或2A+2B=e

或/+匕2=。2,故(2)错误.

对于(3),在△ABC中，sin>4>sinB^a>b^A>B,故(3)正确.

对于⑷，因为急=磊=京，

所以庶故⑷正麻

［预习导引］

1.正弦定理的常见变形

(l)sinAIsinB*sinC=a»b'c.

a_____b_____c________〃+Z?+c______

⑵sin斗―sinsinC—sinA+sinB+sinC~~

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(3)a=2RsinA,Z?=2=sinB,c=2=sinC.

(4)sinA=会,sinB=品,sinC=品.

2.三角变换公式

⑴sin(a+份=sinacos6+cosasin6.

(2)sin(a-6)=sinacos£-cosasin

(3)sin2a=2sinacosa.

尹课堂讲义A重点难点，个个击破__________________________________________________________

要点一利用正弦定理判断三角形的形状

例1在△ABC中，若sinA=2sin8cosC,且sin2A=sin2B+sin2c,试判断△ABC的形状.

解方法一在AABC中，根据正弦定理：焉=熹=舟=2R(R为△ABC外接圆的半

bin/ioinDbinL

径).

Vsin2A=sin2^+sin2C,

(益尸=(4尸+(益尸，即a?=层+c，2

・・・A=90。，：.B+C=90°.

由sinA=2sinBcosC,得sin90°=2sinBcos(90°—B),

/.sin2B=^.

是锐角，；.sinB=乎，；.B=45。,C=45。.

?.ZSABC是等腰直角三角形.

方法二在△ABC中，根据正弦定理，得sinA=玲，sinB=痣，sinC=:^(R为△ABC外

ZAZZ\ZA

接圆的半径).

Vsin2A=sin2B+sin2C,

=/+c?,△ABC是直角三角形且A=90。.

VA=180o-(B+O，sinA=2sinBcosC,

sin(B+C)=2sinBcosC.

sinBcosC—cosBsinC=0,

即sin(B—0=O".B-C=O,即B=C.

...△ABC是等腰直角三角形.

规律方法依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：

(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，

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从而判断三角形的形状；

(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出

内南的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A+3+C=兀这个结论.在两种解

法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.

跟踪演练1在△A8C中，己知/tanB=b2tanA,试判断△ABC的形状.

解在△ABC中，由正弦定理得斯=磊，

.asinA.Jsin，

•,^=sinB,,•后=sin2r

、..2八,2A.crtanA.tan4si」』

又•“tanB="tanA，••7=挪，••狒=硒，

sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.

TT

；.2A=2B或2A+2B=TC,即A=8或A+B=,

...△ABC为等腰三角形或直角三角形.

要点二利用正弦定理求最值或范围

例2在锐角△A8C中，角A,B,C分别对应边a,b,c,且a=2bsinA,求cosA+sinC

的取值范围.

解设R为aABC外接圆的半径.

a=2b?>mA,2/?sinA=4/?sinBsinA,

Ijr

/.sinB=2.丁3为锐角，；・B=不

令y=cosA+sinC=cosA+sin[n—(8+A)]

=cosA+sin/+A)

=cosA+sin7cosA+cosTsinA

3

-A+坐sinA=V§sin（A+§.

2

由锐角△ABC知,

.1.,,7173

・・]<sin（zA十g）〈亍，

.•・^W§sin（A+令君，即坐勺弓

S3

，cosA+sinC的取值范围是（方、5）.

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规律方法在三角形中解决三角函数的取值范围或最值问题的方法：

(1)利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些量.

(2)将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或

最值问题.

跟踪演练2在△ABC中，若C=2B,求押取值范围.

解因为A+B+C=7t,C=2B,

JT1

所以A=7t—35>0,所以0<3<§,所以5<COS3<1.

esinCsin2B八门

因为各=而下=而瓦=2cosB,

所以1<2COSB<2,故

要点三正弦定理与三角变换的综合应用

例3已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a+c=2b,且2cos28一

8cos8+5=0,求角B的大小，并判断△4BC的形状.

解V2cos28—8cos8+5=0,

.,.2(2COS2B-1)-8COS8+5=0.

4COS2B_8COS2+3=0,

ep(2cosB-l)(2cos/?-3)=0.

3

-

2

*.*0<B<n,/.8=1.Y〃+c=20.

/.sinA+sin专cosA-cos^sinA=小.

化简得,sinA十坐cosA=小,

7T

...sin(A+5)=1.

o2

；.A=；,C=],即A=8=C.

.'.△ABC是等边三角形.

规律方法借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，在转化为角的关系后，常常利

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用三角变换公式进行化简，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明.

跟踪演练3已知方程，一ScosA)x+〃cosB=0的两根之积等于两根之和，且a、b为4ABC

的两边，A、8为两内角，试判断这个三角形的形状.

|xi+x2=6cosA,

解设方程的两根为乃、X2，由根与系数的关系得|.'.hcosA=acosB.

lxiM=acosB,

由正弦定理得2RsinBcosA=2RsinAcosB(R为△ABC外接圆的半径)，

.'.sinAcosB-cosAsinB=0,sin(A~B)=0.

B为△ABC的内角，

0<A<n,0<B<n,—TZ<A~~B<n,

：.A~B=0,即4=8.

故AABC为等腰三角形.

歹当堂检测J当堂训练，体验成功___________________________________________________________

1.在AABC中，AC=y[6,BC=2,B=60°,则角C的值为()

A.45°B.30°C.75°D.90°

答案C

解析由正弦定理，得熹=离,；-sinA=挈.

；8C=2<AC=,，

；.A为锐角.

...A=45°".C=75°.

2.在aABC中，若段瓦=焉=表，则△48<：是(

)

A.直角三角形B.等边三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

答案B

sinAsinBsinC

解析由正弦定理知:

cosA-cosB~cosC'

tan4=tanB=tanC,-'.A=B=C.

3--=

'在△ABC中，si^4sinBsinC-------------

答案0

解析由于si：A=si；B=si：C所以sfA-sifsi：C=A-s2B)+si：C)==

4.在△ABC中，a=2小，b=6,A=30。，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形.

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解“=2小，b=6,a<b,A=30°<90°.

又因为加inA=6sin30。=3,a>bsmA,

所以本题有两解，由正弦定理得：

.„-sinA6sin30°,,„…….八”

sinB—~——-2，故8=60或120.

当8=60。时，C=90°,c^y/a2+b2=4y/3；

当B=120。时，C=30°,c^a=2yf3.

所以8=60°,C=90°,c=4小或8=120°,C=30°,c=2小.

p课堂小结-----------------------------------1

1.已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况可能无解，

也可能一解或两解.首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三

角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知的两边的大小情况来确定该角

有一个值或者两个值.

2.判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角

时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式.

1.1.2余弦定理(一)

［学习目标］1.理解余弦定理的证明2初步运用余弦定理及其变形形式解三角形.

守预习导学)挑战自我，点点落实__________________________________________________________

［知识链接］

1.以下问题可以使用正弦定理求解的是.

(1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.

(2)已知两角和一边，求其他角和边.

(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角.

(4)己知一个三角形的三条边，解三角形.

答案(1)(2)

2.如图所示,在直角坐标系中，若4(0,0),B(c,0),C(bcosA,加inA).利用两点间距离公

式表示出IB。，化简后会得出怎样的结论？

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解a2=|BC『=(加osA-c)2+Ssin4-0)2

=Z>2(sin2A+cos2A)—2/?ccosA+c2

—b2+c2—2bccosA.

得出a2,=b2+c2—2/>ccosA.

［预习导引］

l.余弦定理

三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即

a2=V+c2-2bccosA,

/=c2+/—2cacosB，

<?=42+//-24Z?cosC.

2.余弦定理的变形

b2+c2-a2

cosA=2be'

c2+a2-b2

8sB=3,

cCf+ly—C2

cosC~~2ab,

守课堂讲义A重点难点，个个击破__________________________________________________________

要点一已知两边及一角解三角形

例1已知△A8C,根据下列条件解三角形：

(1)6=3,c=3小，8=30。；

(2)“=小，b=y［2,B=45°.

解(1)方法一由余弦定理2.CCOS8,

得32=a2+(3小片一2aX3小Xcos300,

.,.a2-9a+18=0,得a=3或6.

当a=3时，由于6=3,：.A=B=30°,：.C^nO°.

.R6x1

当a=6时，由正弦定理得5亩4=公黄=丁=1.

AA=90°,."=60°.

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方法二由正弦定理得sinC="2=々要=乎，

由b<c,"=60°或120°,

当C=60。时，A=90。，由勾股定理“=听工？=正而历=6,

当C=120。时，A=30。，△ABC为等腰三角形.

.\a=b=3.

(2)由余弦定理知h2=a2+c2—2accosB.

.*.2=3+c2—2*^3-c.

即cf+1=0,解得c=驾盅或。=好旦

V6+V2,

当c=［中&时，由余弦定理，得c0sA=b2+c2-a22+(2)—3[

2bc~「加+啦2。

2X也义

2

V0°<A<180°,：.A=60°,：.C=15°.

3中时，由余弦定理，得,。.*二出禁

1

2-

2义会义、--2.、-

V00<A<180°,，A=120°,C=15°.

故c=丫2Y，4=60°，C=75°或c=Y，A=120°,C=15°.

规律方法已知两边及一角解三角形有以下两种情况：

(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；

另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解.

(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正

弦定理求解或者直接利用余弦定理求角.

跟踪演练1在△ABC中，已知〃=5,b=3,角C的余弦值是方程5f+7x-6=0的根，求

第三边长c.

解5f+7x-6=0可化为(5x-3)(x+2)=0.

3

,•X1=5,但=—2(舍去).

,3

••cosC=『

根据余弦定理，

3

c2=ci2+b2—labcosC=52+32—2X5X3X~=16.

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，c=4,即第三边长为4.

要点二已知三边或三边关系解三角形

例2⑴已知△ABC的三边长为〃=2小，b=2®c=*+®求△4BC的各角度数.

(2)已知三角形ABC的三边长为a=3,b=4,c=病，求△ABC的最大内角.

/J+c~2—/(26)2+(加+&)2­(2小1

解(1)由余弦定理得：cosA—."=60°.

2hc2X2>/2X(^6+^2)~T

_J+d—b"_-_^2

COSB=2ac=2X2小X(#+也)=2'

.,.8=45°,.,.C=180°-A—B=75°.

(2)Vc>a,c>仇.•.角C最大.由余弦定理,

得c2=a2+b2—2abcosC,

即37=9+16-24cosC,

..cosC——2<

V0°<C<180°,

C=120°.

.二△ABC的最大内角为120°.

规律方法(1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用

正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解.

(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三边解三角形.

跟踪演练2在△ABC中，已知BC=7,AC=8,AB=9,试求AC边上的中线长.

解由余弦定理和条件，得

一—+AC2-8C29z+82—722

asA=—2ABAC-=2X9X8=3)

设中线长为x,由余弦定理，得

X2=(^-)2+AB2—2-^-/lBcosA

2

=42+92-2x4x9X5=49,：.x=l

所以所求AC边上的中线长为7.

要点三三角形形状的判断

Ab-J-c

例3在△ABC中，已知cos25=r",判断△A3C的形状.

解方法一在aABC中，由已知cosA2?b=-hc，得

1+cosAb+c

22c

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cosA=—.

c

—(ih

根据余弦定理，得力F•

b1+c1—a1=2b1,即(?+*=,2.

...△ABC是直角三角形.

方法二在△4BC中，设其外接圆半径为凡由正弦定理，b=2RsinB,c=2RsinC,

,Ab+c.b

由cos7-知L，cosA=~.

22cc

.sinB..「.

..cosA=sind即0nsin8D=smCeosA.

"：B=n-(A+C),

sin(A+C)=sinCeosA,

sinAcosC=0.

VA,C都是aABC的内角，

.,.A#0,AWTL.,.COSC=0,C=^.

△ABC是直角三角形.

规律方法(1)方法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，方法二是借助于正弦定

理，将已知等式转化为角的三角函数关系式.这两种方法是判断三角形形状的常用手段.

(2)一般她，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇

到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑

两个定理都有可能用.

跟踪演练3在△48C中，若(a-ccosB)sin8=S-ocos4)sinA,判断△ABC的形状.

d+^一/

解方法一由正弦定理及余弦定理知，原等式可化为3一选一)b=(b-

+c2-/

C----荻---)a,整理得：(/+/—02)/=(〃2+/—02)〃2,.・・〃2+b2-c2=0或42=。2,

故三角形为等腰三角形或直角三角形.

方法二由正弦定理，原等式可化为(sinA-sinCeosB)sin8=(sin8—sinCeosA)sinA,

/.sinBcos5=sinAcosA,/.sin2B=sin2A,

jr

，2B=2A或2B+2A=7t,；.A=B或A+B=],

故4ABC为等腰三角形或直角三角形.

声当堂检测当堂训练，体验成功

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1.一个三角形的两边长分别为5和3,它们夹角的余弦值是一看,则三角形的另一边长为（）

A.52B.2713C.16D.4

答案B

解析设另一边长为x,则$=52+32—2X5X3X(—1)=52,

2.在aABC中，a=7,b=44,c=y[V3,则△ABC的最小角为（）

.71_7171c兀

A-3B6C4DT2

答案B

解析..Z>6>c,；.C为最小角,

/+b，—c?_7?+(4小)2—(VT3)2_币.7T

由余弦定理cosJ2ab_2X7X4小一2…。一不

3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（)

答案D

解析设顶角为C,'.,/=5c,.,.”=b=2c,

42+/—4cUde?一7

由余弦定理得：cosC=-=

一2ai>~2X2cX2c8-

4.在△ABC中，己知A=60。，最大边长和最小边长恰好是方程/一7犬+11=0的两根，则

第三边的长为

答案4

解析设最大边为X1,最小边为乃，

则为+e=7,X|X2=11，

.•.第三边长=寸为2+必2-ZTIMCOSA

=yl(xi+x2)2-2x|X2(l+cosA)=4.

5.在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：4：5,判断三角形的形状.

解因为a：6：c=sinA：sinB：sinC=2：4：5,

222

“、,rAB,(2k)+(4k)-(5k)

所以可令a=2Z,b=4k,c=5k(k>0).c版大，cosC=---乂>心—~<0,

cZ入Z.KA4K

所以C为钝角，从而aABC为钝角三角形.

「课堂小结------------------------------------1

1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：

（1）已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形.

（2）若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形.

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2.当所给的条件是边角混合关系时，判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定

理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系.若统一为角之间的关系，再利用三角恒

等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化

简，找到边之间的关系.

3.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作

是余弦定理的特例.

(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.

(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角.

(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.

1.1.2余弦定理(二)

［学习目标］1.熟练掌握余弦定理及其变形形式2会用余弦定理解三角形.3.能利用正、余弦

定理解决三角形的有关问题.

守预习导学J挑战自我，点点落实__________________________________________________________

［知识链接］

1.以下问题不能用余弦定理求解的是.

(1)已知两边和其中一边的对角，解三角形.

(2)已知两角和一边，求其他角和边.

(3)已知•个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角.

(4)已知一个三角形的三条边，解三角形.

答案(2)

2.利用余弦定理判断三角形的形状，正确的是.

(1)在△ABC中，若“2=b2+c2,则AABC为直角三角形.

(2)在△ABC中，若/〈层+,2,则△ABC为锐角三角形.

(3)在△A8C中，若/>/>2+02,则△ABC为钝角三角形.

答案(1)(3)

［预习导引］

1.正弦定理及其变形

⑴端7=磊=高="伊为A4BC外接圆半径).

⑵a=2/?sinA,b=2RsinB,c=2RsinC.

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2.余弦定理及其推论

(1)/=62+J—2+ccosA,b1=c'+J—2cacosB,c2=/+/—2"cosC.

Ir+c^—a1c2+«2-Z>2a2-\-b2-c2

(2)cosA=—,cosfi=-2^->cosC=F^.

(3)在△ABC中，c2=d+廿oc为直角;02>在+为钝角;dc/+'oc为锐角.

3.三角变换公式

(l)cos(a+4)=cosacos十一sinasin£.

(2)cos(a—p)=cosacosB+sinasin0.

(3)cos2a=cos。-sina—2cosa—1—1—2sin~a.

营课堂讲义£重点难点，个个击破__________________________________________________________

要点一正、余弦定理的综合应用

例1如图所示，在四边形A8CD中，ADLCD,AO=10,A8=14,ZBDA=60°,ZBCD

=135°,求BC的长.

解在△ABO中，40=10,AB=14,ZBDA=60°,设B/)=x,

由余弦定理，得AB?=AD?+BO?—2ADBDcosZBDA,

：.142=102+X2-2X10-xcos60°,

即f—lOx-96=0,解得为=16,X2=-6(舍去)，

80=16.

VAD±CD,ZBDA=60°,：.ZCDB=30°.

在/XBC"中，由正弦定理：sinNC£>8=sin/BCD'

・16sin30。历

••"—sin135。—8Y2.

规律方法余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的.在有关三角形的

题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程（组）求解.同时，要有

意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息.

跟踪演练1在△4BC中，内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知/一02=24且

sinAcosC=3cosAsinC,求b.

解方法一在△ABC中，VsinAcosC=3cosAsinC,

则由正弦定理及余弦定理有：

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er+h^-c2Z72+c2—a2

a'-2ab—=3(—2bc~)c,

化简并整理得：

2(/一,2)=/.

又由已知a2-c2=2Z?,；.4》=/.解得b=4或匕=0(舍).

方法二由余弦定理得：a-c2^b2-2bccosA.

又a2—J=2b,〃W0.所以6=2ccosA+2.①

又sinAcosC=3cosAsinC,

sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinC,

sin(A+Q=4cosAsinC,

即sin8=4cosAsinC,

由正弦定理得sin8=%inC,故6=4ccosA.②

由①②解得b=4.

要点二利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式

例2在△ABC中，有：

(l)a=bcosC+ccosB；

(2)Z?=ccosA+acosC；

(3)c=〃cosB~\~bcosA；

这三个关系式也称为射影定理，请给出证明.

证明方法一(1)设△A8C外接圆半径为七

由正弦定理得」=2RsinB,c=2/?sinC,

bcosC+ccosB=2RsinBcosC+27?sinCcosB

=2K(sinBcosC+cosBsinC)

=2/?sin(B+Q=2/?sinA=a.

5Pa=hcosC+ccosB

同理可证(2)6=ccosA+4cosC；

(3)c=〃cosB+bcosA.

方法二(1)由余弦定理得

a2-hc2—b2a2+/?2—c2

cosS='2ac'cosC=lab'

6F2+/?2—C26F2+c2-Z?2

ftcosC-vccosB=h-+c-

a2+Z?2-c2a2+c2-Z?22a2

=n2ain2a2""a"=Q.

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