2017-2018学年高中数学选修2-3全册学案含解析人教A版

2017^2018学人教A版高中数学

选修2-3全册课堂导学案汇编

目录

第一章计数原理i.i分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第一章计数原理1.2.1排列第一课时排列与排列数公式

第一章计数原理1.2.1排列第二课时排列习题课

第一章计数原理1.2.2组合第一课时组合与组合数公式

第一章计数原理1.2.2组合第二课时组合习题课

第一章计数原理1.3.1二项式定理

第一章计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列

第二章随机变量及其分布2.2.3独立重复试验与二项分布

第二章随机变量及其分布2.2二项分布及其应用2.2.1条件概率

第二章随机变量及其分布2.2二项分布及其应用2.2.2事件的相互独

立性

第二章随机变量及其分布2.3.1.离散型随机变量的均值

第二章随机变量及其分布2.3.2离散型随机变量的方差

第二章随机变量及其分布2.4正态分布

第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用

第三章统计案例3.2独立性检验的基本思想及其初步应用

1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

层析教材，新知无师自通

知识点二分类加法计数原理

一名游客从沈阳出发去长沙游玩，已知从沈阳到长沙每天有7个航班、6列火车.

问题1：该游客从沈阳到长沙的方案可分几类？

提示：两类，即乘飞机、坐火车.

问题2：这几类方案中各有几种方法？

提示：第1类方案（乘飞机）有7种方法，第2类方案（坐火车）有6种方法.

问题3：该游客从沈阳到长沙共有多少种不同的方法？

提示：共有7+6=13种不同的方法.

1.完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有皿种不同的方法，在第2类方案

中有"种不同的方法，那么完成这件事共有力=〃+〃种不同的方法.

2.完成一件事有〃类不同的方案，在第1类方案中有加种不同的方法，在第2类方案

中有如种不同的方法，……，在第〃类方案中有得，种不同的方法，则完成这件事共有典

+H偏种不同的方法.

1.分类加法计数原理中各类办法相互独立，各类办法中的各种方法也相互独立，用任

何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.

2.要清楚“完成一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中

具体所指的是什么.

3.分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类标准，然后在这个标准下进行分类.

知识点三分步乘法计数原理

一名游客从沈阳出发去长沙游玩，但需在北京停留，已知从沈阳到北京每天有7个航班,

从北京到长沙每天有6列火车.

问题1：该游客从沈阳到长沙需要经历几个步骤？

提示：两个，即先乘飞机到北京，再坐火车到长沙.

问题2：完成每一步各有几种方法？

提示：第1个步骤有7种方法，第2个步骤有6种方法.

问题3：该游客从沈阳到长沙共有多少种不同的方法？

提示：共有7X6=42种不同的方法.

1

1.完成一件事需要两个步骤，做第1步有加种不同的方法，做第2步有"种不同的方

法，那么完成这件事共有A-吆幺种不同的方法.

2.完成--件事需要。个步骤，做第1步有的种不同的方法，做第2步有他种不同的方

法，……，做第〃步有屈种不同的方法，则完成这件事共有A-mXmX…X两种不同的方

法.

1.分步乘法计数原理是完成一件事要分成若干步，各个步骤相互依存，完不成其中任

何的一步都不能完成这件事，只有当各个步骤都完成之后，才能完成该事件.

2.要清楚“完成一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中

具体所指的是什么.

3.分步时，首先要根据问题特点确定一个可行的分步标准，标准不同，分的步骤数也

会不同.

锁定考向，考题千变不离其宗

分类加法计数原理

某校高三共有三个班，各班人数如下表.

男生数女生数总数

高三⑴班302050

高三(2)班303060

高三(3)班352055

(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？

(2)从高三⑴班、(2)班男生中或从高三⑶班女生中选1名学生任学生会生活部部长，

有多少种不同的选法？

(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，共有三类不同的方案：

第1类，从高三⑴班中选出1名学生，有50种不同的选法；

第2类，从高三⑵班中选出1名学生，有60种不同的选法；

第3类，从高三⑶班中选出1名学生，有55种不同的选法.

根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50+60+55=

165种不同的选法.

从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共

有三类不同的方案：

(2)第1类，从高三⑴班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；

2

第2类，从高三⑵班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；

第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法.

根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学

生任学生会生活部部长，共有30+30+20=80种不同的选法.

利用分类加法计数原理计数时的解题流程

将完成这件事的方法分成若干效

求出每一类的方法数1

将每一类的方法数相加得出结果

若x,yGN*,且x+ZE6,试求有序自然数对(x,y)的个数.

解：按x的取值进行分类：

x=l时，尸1,2,3,4,5,共构成5个有序自然数对；

x=2时，y=l,2,3,4,共构成4个有序自然数对；

x=5时，y=l,共构成1个有序自然数对.

根据分类加法计数原理，共有A=5+4+3+2+1=15个有序自然数对.

分步乘法计数原理

从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下歹条件的数有多少个？

(1)三位数；

(2)三位偶数.

(1)三位数有三个数位：

百位十位个位

故可分三个步骤完成：

第1步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法；

第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；

第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法.

根据分步乘法计数原理，共有4X3X2=24个满足要求的三位数.

(2)分三个步骤完成：

第1步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；

第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；

3

第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法.

根据分步乘法计数原理.，共有2X3X2=12个满足要求的三位偶数.

利用分步乘法计数原理计数时的解题流程

坛另T将完成这件事的过程分成若干步)

H■数)—K求出每一步中的方法数

结仓＞_｛将每一步中的方法数相乘得最终赢?I

一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同.

(1)从两个口袋里各取1封信，有多少种不同的取法？

(2)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？

解：(1)各取1封信，不论从哪个口袋里取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步

骤完成，由分步乘法计数原理知，共有5X4=20种不同的取法.

(2)若从每封信投入邮筒的可能性考虑，第1封信投入邮筒有4种可能，第2封信仍有

4种可能……第9封信还有4种可能，所以共有4,种不同的投法.

题型三

王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本

不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读.

(1)若他从这些参考书中带1本去图书馆，则有多少种不同的带法？

(2)若带外语、数学、物理参考书各1本，则有多少种不同的带法？

(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，则有多少种不同的带法？

(1)完成的事情是带一本书，无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都已完成，

从而确定应用分类加法计数原理，结果为5+4+3=12(种).

(2)完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后,

才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，结果为5X4X3=60(种).

(3)选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理，有5X4=20种选法；同样，

选外语书、物理书各1本，有5X3=15种选法；选数学书、物理书各1本，有4X3=12

种选法.即有三类情况，应用分类加法计数原理，结果为20+15+12=47(种).

在用两个计数原理处理问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分

类"或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重”“不漏”的原则，在“分步”时

要正确设计“分步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性.

4

有一项活动，需在3名老师、8名男同学和5名女同学中选部分人员参加.

(1)若只需一人参加，有多少种不同的选法？

(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？

(3)若需一名老师、一名同学参加，有多少种不同的选法？

解：(1)有三类：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；

5名女同学中选一人，有5种方法.

由分类加法计数原理知，有3+8+5=16种选法.

(2)分三步：第1步选老师，有3种方法；第2步选男同学，有8种方法；第3步选女

同学，有5种方法.

由分步乘法计数原理知，共有3X8X5=120种选法.

(3)可分两类，每一类又分两步.

第1类，选一名老师再选一名男同学，有3X8=24种选法；

第2类，选一名老师再选一名女同学，共有3X5=15种选法.

由分类加法计数原理知，共有24+15=39种选法.

修补短板，拉分题一分不丢

向厚©@系列,

7^/偏蔻港/

1.计数时出现的“遗漏”

有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面或3面旗纵向排列在某一旗杆上，表示不

同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？

每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3X3=9种不同的信号；

每次升3面旗可组成3X3X3=27种不同的信号.根据分类加法计数原理，共可组成3+9

+27=39种不同的信号.

1.求解时，易忽略信号可分为每次升1面、每次升2面、每次升3面这三类.

2.解决此类问题一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止

重复和遗漏，分步时要注意步与步之间的连续性.

某外语小组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，

5

从中选出会英语和日语的各一人组成一个二人活动小组，有多少种不同的选法？

解：共分三类：第1类，当既会英语又会日语的人被当作会英语的人时，选出只会日语

的一人即可，有2种选法；第2类，既会英语又会日语的人被当作会日语的人时，选出只会

英语的一人即可，有6种选法；第3类，既会英语又会日语的人都不参加该二人组时，则需

从只会日语和只会英语的人中各选一人，有2X6=12种方法，故共有2+6+12=20种选法.

Ml阿周自主演练，百炼方成钢

1.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一

套，则不同的配法种数为（）

A.7B.12

C.64D.81

解析：选B要完成长裤与上衣配成一套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任

选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法.故

共有4X3=12种不同的配法.

2.已知集合,Q{—2,1,3},.A』{—4,5,6,7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐

标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（）

A.18B.17

C.16D.10

解析：选B分两类：第1类，〃中的元素作横坐标，”中的元素作纵坐标，则有3X3

=9个在第一、二象限内的点；第2类,/V中的元素作横坐标，”中的元素作纵坐标，则有4X2

=8个在第一、二象限内的点.由分类加法计数原理，共有9+8=17个点在第一、二象限

内.

3.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,3组成复数a+沅，其中虚数

有个.

解析：第1步取b的数，有6种方法；第2步取a的数，也有6种方法.根据分步乘法

计数原理，共有6X6=36个虚数.

答案：36

4.一学习小组有4名男生、3名女生，任选一名学生当数学课代表，共有种

不同选法；若选男、女生各一名当组长，共有种不同选法.

解析：任选一名当数学课代表可分两类，一类是从男生中选，有4种选法；另一类是从

女生中选，有3种选法.根据分类加法计数原理，共有4+3=7种不同选法.

若选男、女生各一名当组长，需分两步：第1步，从男生中选一名，有4种选法；第2

步，从女生中选一名，有3种选法.根据分步乘法计数原理，共有4X3=12种不同选法.

6

答案：712

5.有不同的红球8个，不同的白球7个.

（1）从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？

（2）从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？

解：（1）由分类加法计数原理得，

从中任取一个球共有8+7=15种取法.

（2）由分步乘法计数原理得，

从中任取两个不同颜色的球共有8X7=56种取法.

一、选择题

1.若xG{l,2,3},ye{5,7,9},则的不同值个数是（）

A.2B.6

C.9D.8

解析：选C求积需分两步取值：第1步，x的取值有3种；第2步，y的取值有

3种，故有3X3=9个不同的值.

2.己知两条异面直线a,6上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平

面个数为（）

A.40B.16

C.13D.10

解析：选C分两类：第1类，直线a与直线6上8个点可以确定8个不同的平面；第

2类，直线6与直线a上5个点可以确定5个不同的平面.故可以确定8+5=13个不同的

平面.

3.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土

地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有（）

A.24种B.18种

C.12种D.6种

解析：选B法一（直接法）：若黄瓜种在第一块土地上，则有3X2X1=6种不同的种

植方法.同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3X2X1=6种不同的种植方法.故共

有6X3=18种不同的种植方法.

法二（间接法）：从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4X3X2=24种方法，其中不

种黄瓜有3X2X1=6种方法，故共有24—6=18种不同的种植方法.

4.设集合力={-1,0,1},集合8={0,1,2,3},定义［*6={（x,y）\x^Ar\B,y^AU

6},则樨6中元素个数是（）

A.7B.10

7

C.25D.52

解析：选B4n6={0,1},4U8={-1,0,1,2,3},x有2种取法，y有5种取法.由

分步乘法计数原理得2X5=10.

5.用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能

相邻出现，这样的四位数有（）

A.36个B.18个

C.9个D.6个

解析：选B分三步完成，1,2,3这三个数中必有某一个数字被重复使用2次.

第1步，确定哪一个数字被重复使用2次，有3种方法；

第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上有3种方法；

第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法.

故有3X3X2=18个不同的四位数.

二、填空题

6.加工某个零件分三道工序.第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有

4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有种.

解析：从第一、第二、第三道工序中各选一人的方法数依次为5,6,4,由分步乘法计数

原理知，选法总数为3,=5X6X4=120.

答案：120

7.如图，从/f。有种不同的走法.

A

解析：分为两类，不过8点有2种走法，过8点有2X2=4种走法，共有4+2=6种走

法.

答案：6

8.如图所示，由电键组46组成的串联电路中，合上两个电键使电灯

发光的方法有种.

AB

解析：只有在合上/组两个电键中的任意一个之后，再合上8组三个电

键中的任意一个，才能使电灯发光.根据分步乘法计数原理共有2X3=6

种不同的方法接通电源，使电灯发光.

答案：6

三、解答题

9.若直线方程Ax+By^Q中的4,6可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数

字，则方程所表示的不同直线共有多少条?

8

解：分两类完成：

第1类，当/或8中有一个为0时，表示的直线为x=0或尸0,共2条.

第2类，当46不为0时，直线人+%=0被确定需分两步完成：

第1步，确定/的值，有4种不同的方法；

第2步，确定8的值，有3种不同的方法.

由分步乘法计数原理知，共可确定4X3=12条直线.

由分类加法计数原理知，方程所表示的不同直线共有2+12=14条.

10.设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画.

(1)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？

(2)从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？

解：(D分三步完成：第一步选国画有5种；第二步选油画有2种；第三步选水彩画有

7种.根据分步乘法计数原理得，共有5X2X7=70种不同的选法.

(2)分三类：第一类,选国画和油画共有5X2=10种；第二类，选国画和水彩画共有5X7

=35种：第三类，选油画和水彩画共有2X7=14种.根据分类加法计数原理共有10+35

+14=59种不同的选法.

【能诙提硼题I

11.如图所示，要给“三”“维”“设”“计”四个区域分别涂

上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域

必须涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法？

解：“三”“维”“设”“计”四个区域依次涂色，分四步完成：

第1步，涂“三”区域，有3种选择；

第2步，涂“维”区域，有2种选择；

第3步，涂“设”区域，由于它与“三”“维”区域颜色不同，有1种选择;

第4步，涂“计”区域，由于它与“维”“设”区域颜色不同，有1种选择.

所以根据分步乘法计数原理，共有3X2XIX1=6种不同的涂色方法.

9

第一课时排列与排列数公式

层析教材，新知无师自通

知识点,排列的定义

1.在学校奖学金发放仪式上，校长和两位获得特等奖学金的男女同学合影留念.师生

三人站成一排，校长站在中间.

问题1:男生在左边和女生在左边是相同的排法吗？

提示：不是.

问题2：有几种排法？

提示：2种，男一师一女，女一师一男.

2.从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动,

另1名同学参加下午的活动.

问题1：让你安排这项活动需分几步？它们是什么？

提示：分两步：第1步，确定上午的同学；第2步，确定下午的同学.

问题2：有几种排法？

提示：上午有3种，下午有2种，

因此共有3X2=6种排法.

问题3：甲乙和乙甲是相同的排法吗？

提示：不是.甲乙是甲上午、乙下午；乙甲是乙上午、甲下午.

排列的定义

从"个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列,叫做从"个不同元

素中取出个元素的一个排列.

排列定义的理解

(1)排列的定义包括两个方面：一是从〃个不同的元素中取出元素；二是按一定顺序排

列.

(2)两个排列相同的条件：①元素相同；②元素的排列顺序相同.

排列数及排列数公式

10

两个同学从写有数字1,2,3或4的卡片中选取卡片进行组数字游戏.

问题1：从这4个数字中选出2个能构成多少个无重复数字的两位数？

提示：4X3=12个无重复数字的两位数.

问题2：从这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？

提示：4X3X2=24个无重复数字的三位数.

问题3：从"个不同的元素中取出勿EW”）个元素排成一列，共有多少种不同的排法?

提示：〃（〃一1）（〃一2）…m+1）种不同的排法.

从〃个不同元素中取出个元素的所有排列的个数,叫做从n

排列数定义及表示

个不同元素中取出0个元素的排列数，用符号A：表示

A：=〃（〃一1）（〃一2）…（〃一切+1）

nI

排列数公式阶乘式A：=——:―厂

n-m!

（〃，/£N*,加

特殊情况Kn=nl,A,,=1^0!=1

排列与排列数的区别

“排列”是指从〃个不同的元素中任取力个元素，按照一定的顺序排成一列，不

是数.

“排列数”是指从n个不同的元素中取出加个元素的所有排列的个数，是一个

数.符号A：只表示排列数，而不表示具体的排列.

锁定考向，考题千变不离其宗

排列的有关概念

下列问题是排列问题吗？

（1）从1,2,3,4四个数字中，任选两个数字做加法，其结果有多少种不同的可能？

（2）从1,2,3,4四个数字中，任选两个数字做除法有多少种不同的可能？

（3）会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人

入座，又有多少种方法？

（1）不是；（2）是；（3）第一问不是，第二问是.理由是：由于加法运算满足交换律，

11

所以选出的两个元素做加法求结果时，与两个元素的位置无关，但列除法算式时，两个元素

谁作除数谁作被除数不一样，此时与位置有关.“入座”问题同“排队”，与顺序有关，故

选3个座位安排3位客人入座是排列问题.

判断是不是排列问题，要抓住排列的本质特征

(1)取出的元素无重复.

(2)取出的元素必须按顺序排列.元素有序还是无序是判断是否是排列问题的关键.

判断下列问题是否为排列问题.

(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票价格(假设来回的票价相同)；

(2)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；

(3)某班40名学生在假期相互通信.

解：(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以

不是排列问题.

(2)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排

列问题.

(3)/给8写信与8给1写信是不同的，所以存在顺序问题，属于排列问题.

题型二

写出下列问题的所有排列：

(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？

(2)由1,2,3,4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出.

(1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共有12个不同的两位数.

(2)画出树形图，如图所示.

AAA

342423

/\III\

434232

3

424121

由上面的树形图知，所有的四位数为

1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3

12

124,3142,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321,共24

个没有重复数字的四位数.

在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元素按一

定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前

面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这

样能不重不漏，然后按树形图写出排列.

某药品研究所研制了5种消炎药a,a,a,a,西4种退热药人6,现从中

取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但检两种药或同时用或同时不用，热，

打两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法.

解：如图

同时用同时不用

（4种）

。3用。3不用

(2X3种)(1X4种)

由树形图可写出所有不同试验方法如下：axa2b\,a\a-ibi,a^bs,a®",a3a必，a3a也,

asa^bs,a3a561,a3a5灰,a^bs,a\a&b\,a\a、bi,&氏从,&检共14种.

排列数公式的应用

计算下列各题：

(l)Al；⑵(3)若3A；=2A3+6AM求K

(1)A6=6!=6X5X4X3X2X1=720.

9X8X7X6X5+9X8X7X6

二10X9X8X7><6><5—10X9X8X7X6

9X8X7X6X5+1

=10X9X8X7X6X~5-1

__3_

=20,

9!9!

..A9+A94!+5!6X9!3

‘"一・A?O-A!O10!10!4X10!20,

4!5!

(3)由3A：=2A；卜1+6A：,得3x(x—1)(x—2)=2(x+l)x+6x(x—1),因为x23且x£N*,

所以3/-17^+10=0.

13

2

解得x=5或x=§（舍去）.所以x=5.

1.计算排列数或解含有排列数的方程或不等式时，要注意先提取公因式化简，然后计

算.这样做往往会减少运算量.

2.连续正整数（因式）的乘积可以写成某个排列数A：,其中最大的数是排列元素的总个

数〃，而因式的个数是取出的元素个数加

计算：（除⑵月步

A7A/；—1

店,、A；7X6X5X4X3X2X1

解：⑴足=-7X6X5X4—二机

1n-I

（2）原式=•（〃一加）!

〃一n-m

1

/n)!,

n-

1.

修补短板，拉分题一分不丢

向厚©@系列,

7^/偏蔻港/

2.忽视排列数公式A；的隐含条件致误

解不等式：AK6AT2.

由的〈6AT,

zn8!“8!

得—X产一7

化简得f—19x+84<0,

解之得7〈水12,①

82x,

又

又一2>0,

・・・2<xW8.②

由①②及才《“得才=8.

L本题若忽视公式A：中的条件“后〃”，易得到“7〈水12,且xWN*,即x=8,9,10,11”

14

的错误结论.

2.本题若忽视公式簿中的条件“加，〃CN*"，则易得到“2〈E8”的错误结论.

3.在解答排列数的方程或不等式时，要注意排列数A；,m,〃CN*且应W〃这些限制条件,

要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围.

求满足就且隈'+2<6人（的n的值.

解：两不等式可化为

'nn~n-nn~,①

Vp—1>0,①式可化为〃(〃-2)>3,

即n—2/7-3>0,

〃>3或水一1（舍去）.

“8!8!

由②得,一！<6'—-—

—n

二（8一〃）（7—ri）<6,

即“2—15〃+50<0,；.5〈水10.

由排列数的意义可知：后3,且〃+2W8,

...3W〃W6.综上，5〈〃W6,又〃GN*,

.'.77=6.

I0J阿屈,嗨自主演练，百炼方成钢

1.89X90X91X…X100可表示为（）

A.AiooB.Aioo

C.AiooD.Aioo

解析：选cA；oo=lOOX99X-X（100-12+l）=100X99X-X89.

2.4B,C三名同学照相留念，三人站成一排，所有排列的方法种数为（）

A.3B.4

C.6D.12

解析：选C列举如下：A—B—C,A—C—B,B—A—C,B—0—A,C—A—B,C—B—A.

3.满足不等式§>12的n的最小值为.

nI刀―,

解析：由排列数公式得二------1十>12,即5—5）（〃-6）>12,解得〃>9或"<2.又〃>7,

n—!n\

15

所以n>9,

又〃GN*,所以〃的最小值为10.

答案：10

4.一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目,

且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有一种.

解析：从原来4个节目形成的5个空中选2个空排列，共有解=20种添加方法.

答案：20

5.写出从a,b,c,d这4个字母中，每次取出2个字母的所有排列.

解：画出树形图如图所示：

因此，共计有12个不同的排列，它们是a6,ac,ad,ba,be,bd,ca,cb,cd,da,

db,de.

一、选择题

1.已知下列问题：

①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组：

②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；

③从a,b,c,d四个字母中取出2个字母；

④从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数.

其中是排列问题的有（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

解析：选B①是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关：②不是排列问题，

因为两名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关;

④是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列.

2.计算：牛城等于（）

A.12B.24

C.30D.36

解析：选DA?=7X6XAs,A\=6XA!,所以原式==36.

3.己知AM=2A3,则log25的值为（）

A.1B.2

C.4D.不确定

16

解析：选B因为隐=2A：+i,所以2"，(2/7-1)•(2〃-2)=2(〃+1)•n•(/J-1)•(〃

—2),由题意知〃》3,整理方程，解得〃=5,所以log〃25=2.

4.若〃GN*,水20,则(20—〃)•(21—/?),(22—/?)...(29-/7),(30-/?)等于()

A.AM-»B.Aai-n

C.AkD.Aii-„

解析：选D从(20—〃)至U(30—c)共有11个数，其中最大的数为30一〃.

5.要从a,b,c,d,e5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则

不同的选法种数是()

A.20B.16

C.10D.6

解析：选B不考虑限制条件有晨种选法，若a当副组长，有A；种选法，故a不当副组

长，有屋一A：=16种不同的选法.

二、填空题

6.从a,b,c,d,e五个元素中每次取出三个元素，可组成个以6为

首的不同的排列，它们分别是.

解析：画出树形图如下：

可知共12个，它们分别是方ac,bad,bae,bea,bed,bee,bda,bdc,bde,bea,bee,

bed.

答案：12bac,bad,bae,bca,bed,bee,bda,bdc,bde,bea,bee,bed

7.集合—{x|x=A；,如GN*},则集合P中共有个元素.

解析：因为mGN*,且辰4,所以产中的元素为A：=4,A；=12,Ai=A；=24,即集合产

中有3个元素.

答案：3

8.从集合［0,1,2,5,7,9,11}中任取3个元素分别作为直线方程/*+如+。=0中的系数

A,B,C,所得直线经过坐标原点的有条.

解析：易知过原点的直线方程的常数项为0,则C=0,再从集合中任取两个非零元素作

为系数4B,有鼠种，而且其中没有相同的直线，所以符合条件的直线有底=30条.

答案：30

三、解答题

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9.解不等式:Aki<140Al

解：根据原方程，xGN*,且应满足

J2x+124,

解得心3.

根据排列数公式，原不等式可化为

(2x+l)•2x•(2x—1)•(2^—2X140%•(x—1)•(x—2).

,「x23,I.两边同除以4x(x—1),得(2x+l)•(2x—l)<35(x—2),即

4/-35^+69<0,

3

解得3<K5-

・・・x£N*,

x=4或x=5.

10.求证：(1)A：=A”A7>

⑵A・A：=(A+1)!-k\.

nI

证明：(l)A>Ar：=-------:~-(n-ni)!=n\=A7,...等式成立.

n—m!

(2)左边=4•A：=4•"!=(A+l—1)•k\—(A+l)!~k\=右边，，等式成立.

11.写出下列问题的所有排列.

(1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排;

(2)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长.

解：(D四名同学站成一排，共有A；=24个不同的排列，它们是：

甲乙丙丁，甲丙乙丁,甲丁乙丙，甲乙丁丙,甲丙丁乙，甲丁丙乙;

乙甲丙丁，乙甲丁丙,乙丙甲丁，乙丙丁甲,乙丁甲丙，乙丁丙甲;

丙甲乙丁，丙甲丁乙,丙乙甲丁，丙乙丁甲,丙丁甲乙，丙丁乙甲;

丁甲乙丙，丁甲丙乙,丁乙甲丙，丁乙丙甲,丁丙甲乙，丁丙乙甲.

(2)从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有屋=20种选法，形成的排列是:

12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54.

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第二课时排列(习题课)

101回画温故知新，为深化学习做好准备

1.两个计数原理有何区别？

略

2.排列与排列数有何不同？

略