12-空间向量基本定理（原卷版）-2022-2023学年高二数学培优题典（人教A版2019选择性）

✬1.2空间向量基本定理知识题型类型空间向量的基本定理空间向量基底的判断重点利用基底表示空间向量重点空间向量在几何中的应用重点、考点一．空间向量基本定理1.如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得.我们把叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量．2.若，则．二．空间向量的正交分解1.单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示．2.向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．三．空间向量的应用1.求异面直线的夹角：．2.证明平行：；3.证明垂直：.考点一空间向量基底的判断考点一空间向量基底的判断例1在空间四点O，A，B，C中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（

）例1A．O，A，B，C四点不共线B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点不共面D．O，A，B，C四点中任意三点不共线变1已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（

）变1A．，，共线B．O，A，B，C中至少有三点共线C．与共线D．O，A，B，C四点共面例2若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（

）例2A．B．C．D．例3设，，是不共面的三个单位向量，则下列向量组不能作为空间的基底的一组是（

）例3A．B．C．D．变2已知是空间一个基底，，，一定可以与向量，构成空间另一个基底的是（

）变2A．B．C．D．变3已知是空间的一个基底，若，则下列可以为空间一个基底的是（

）变3A．B．C．D．变4已知是空间的一个基底，下列四组向量中，能作为空间一个基底的是（）变4①；②；③；④．A．①②B．②④C．③④D．①③例4已知空间的一个基底为，空间向量，，，若，则______.例4变5已知为空间的一个基底，若，，，，且，则分别为______.变5例5若是一个单位正交基底，且向量，，则______．例5变6设{，，}是是空间向量的一个单位正交基底，，，则______．变6考点二利用基底表示向量考点二利用基底表示向量例1如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，则（

）例1A．B．C．D．例2在四面体中，是的中点，是的中点，设，则（）例2A．B．C．D．变1如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（）变1A．B．C．D．变2在三棱锥中，，，，点在棱上，且，为中点，则等于（）变2A．B．C．D．变3在四棱柱中，，，则变3A．B．C．D．例3在四面体中，点是的重心，设，，，则（）例3A．B．C．D．变4如图，在四面体OABC中，G是的重心，D是OG的中点，则（）变4A．B．C．D．例4如图，平行六面体中，为的中点．若，则（）例4A．B．C．D．变5在四棱锥中，底面为平行四边形，若，，，则（）变5A．B．C．D．考点三空间向量在几何中的应用考点三空间向量在几何中的应用类型一求线段长度类型一求线段长度例1已知平行六面体，，，求.例1例2如图，在空间四边形ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，DA＝3，DB＝DC＝2，点E在边DA上，且DE＝2EA，F为BC例2（1）用向量，，表示向量；（2）求．变1如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，，是的中点，在线段上且．变1（1）用向量，，表示向量；（2）求向量的模长．变2如图，点、分别是棱长为的正四面体的边和的中点，点、是线段的三等分点．变2（1）用向量、、表示和；（2）求、．类型二求异面直线的夹角类型二求异面直线的夹角例如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．例（1）设，，，用向量表示，并求出的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值．变1在平行六面体中，，，，，，，，分别为，的中点．变1（1）构成空间的一个基底，用它们表示，，设，，．（2）求与的夹角．变2在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点.求异面直线MN与BC1所成角的余弦值.变2类型三证明平行和垂直类型三证明平行和垂直例1如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为，，的中点．求证：．例1变1在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点.求证：MN∥RS.变1例2如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BD的中点，点G在CD上，且CG＝CD.例2（1）求证：EF⊥B1C；（2）求EF与C1G所成角的余弦值.例3如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证：平面．例3变2如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心．求证：平面PAC.变2变3在所有棱长均为2的三棱柱ABCA1B1C1中，∠B1BC=60°，求证:变3（1）AB1⊥BC；（2）A1C⊥平面AB1C1.1.设向量不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（

）A．B．C．D．2.（多选）设是空间的一个基底，若，，．给出下列向量组可以作为空间的基底的是（

）A．B．C．D．3.已知是空间的一个基底，若，则______.4.如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于A．B．C．D．5.在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是A．B．C．D．6.在三棱锥中，点，分别是，的中点，则A．B．C．D．7.如图，在三棱柱中，，分别是，的中点，，则A．B．C．D．8.如图，在正方体中，O是AC与BD的交