安徽省淮北市第二中学2024-2025学年九年级上学期期中检测数学试卷

淮北市第二中学2024-2025学年九年级上学期期中检测数学（满分150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的A，B，C，D四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.地图上淮北到合肥的距离为2.4厘米．比例尺是，那么淮北到合肥的实际距离是（）A.2400米 B.24000米 C.240000米 D.2400000米2.若抛物线与的形状相同，则的值为（

）A.2 B.3或 C.1 D.2或3.如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（）A. B. C. D.4.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系．下列反映电流与电阻之间函数关系的图象大致是（）A. B. C. D.5.如图，，直线a，b与、、分别相交于A、B、C和点D、E、F．若，，则的长是（）A. B. C.6 D.106.下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值，则方程的一个根的近似值可能是（）x11.11.21.31.4y10.49A.1.09 B.1.19 C.1.29 D.1.397.如图，是面积为等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，则图中阴影部分的面积为（

）A. B. C. D.8.如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（）A.3 B.-3 C. D.9.如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（）A. B. C. D.10.已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.如果∽，且三边长分别为3、4、5，的最短边长为6，那么的周长等于________．12.在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是___________.13.在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为1的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于O，则AO：OB＝_____．14.如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上，设，．（1）；（用含的式子表示）（2）这个矩形的最大面积是三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.已知==≠0,求的值.16.已知二次函数．（1）画出这个函数的图象；（2）根据图象，求出当时，的取值范围？四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，已知，，，，，求证：．18.“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为的等腰三角形．如图，中，，．（1）利用尺规作的平分线，交边于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；（2）证明：．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下：水平距离0341015202227竖直高度03244.168987.043.24（1）根据上表，请确定抛物线的表达式；（2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度．20.已知：菱形中，为中点，交于，且．（1）求证：；（2）若，求的长．六、（本题满分12分）21.如图，一次函数．的图象与反比例函数的图象交于点．（1）求反比例函数和一次函数表达式；（2）利用图象，直接写出不等式的解集；（3）已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．七、（本题满分12分）22.定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．【特例感知】（1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为．【深入探究】（2）经过点和的抛物线与y轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标．【拓展运用】（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．，求点的坐标．八、（本题满分14分）23.如图，直角中，，在上，连接，作分别交于，交于．（1）如图（1），若，求证：；（2）如图（2），若，取的中点，连接交于，求证：①；②．

淮北市第二中学2024-2025学年九年级上学期期中检测数学（满分150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的A，B，C，D四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.地图上淮北到合肥的距离为2.4厘米．比例尺是，那么淮北到合肥的实际距离是（）A.2400米 B.24000米 C.240000米 D.2400000米【答案】C【解析】【分析】本题考查了比例尺．根据比例尺图上距离实际距离进行计算．【详解】解：根据题意，淮北到合肥的实际距离厘米，厘米米，淮北到合肥的实际距离是240000米，故选：C．2.若抛物线与的形状相同，则的值为（

）A.2 B.3或 C.1 D.2或【答案】D【解析】【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握当两抛物线的形状相同时，二次函数解析的二次项系数的绝对值相同成为解题的关键．根据“当两抛物线的形状相同时，二次函数解析的二次项系数的绝对值相同”列绝对值方程求解即可．【详解】解：∵抛物线与的形状相同，∴，即的值为2或．故答案为：D．3.如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角是确定其他条件的关键，注意掌握相似三角形的几种判定方法．【详解】解：，，A．添加，可用两角法判定，故本选项错误；B．添加，可用两角法判定，故本选项错误；C．添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项错误；D．添加，不能判定，故本选项正确；故选：D．4.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系．下列反映电流与电阻之间函数关系的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据电流与电阻之间函数关系可知图象为双曲线，并且在第一象限，即可得到答案．【详解】∵反比例函数的图象是双曲线，且，，∴图象是第一象限双曲线的一支．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，并结合实际意义去判断图象，数形结合思想是关键．5.如图，，直线a，b与、、分别相交于A、B、C和点D、E、F．若，，则的长是（）A. B. C.6 D.10【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．【详解】解：∵，∴，即，解得：．故选：C．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．6.下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值，则方程的一个根的近似值可能是（）x11.11.21.31.4y10.49A.1.09 B.1.19 C.1.29 D.1.39【答案】B【解析】【分析】本题考查图象法求一元二次方程的近似根，通过表中数据确定与x轴的交点横坐标的范围，从而得到一元二次方程的根．观察表中数据得到二次函数与x轴的一个交点在和之间，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程的一个根的近似值．【详解】当时，，当时，，二次函数与x轴的一个交点在和之间，方程一个根在1.1到1.2之间，故选：B．7.如图，是面积为的等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，则图中阴影部分的面积为（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．先证明，得到，根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．【详解】解：矩形所截，∴，∵∴∴，又∵被截成三等份，∴∴，，∵，∴，，则．故选：C．8.如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（）A.3 B.-3 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．【详解】解：∵点M、N均是反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象上，∴，∵矩形OABC的顶点B在反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象上，∴S矩形OABC=k2，∴S四边形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3，∴k2-k1=3，∴k1-k2=-3，故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．9.如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设，，利用勾股定理求得，，再证明得到，再利用角平分线的性质和三角形的面积得到即可求解．【详解】解：∵，设，，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴，∵平分，∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等，∴，即，故选：A．10.已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由反比例函数图象得出b>0，再分当a>0，a<0时分别判定二次函数图象符合的选项，在符合的选项中，再判定一次函数图象符合的即可得出答案．【详解】解：∵反比例函数图象在第一和第三象限内，∴b>0，若a<0，则->0，所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A、B、C、D选项全不符合；当a>0，则-<0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有C、D两选项可能符合题意，由C、D两选图象知，c<0，又∵a>0，则-a<0，当c<0,a>0时，一次函数y=cx-a图象经过第二、第三、第四象限，故只有D选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查函数图象与系数的关系，熟练掌握反比例函数图象、一次函数图象、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.如果∽，且的三边长分别为3、4、5，的最短边长为6，那么的周长等于________．【答案】24【解析】【分析】先设的周长等于c，再根据相似三角形周长的比等于相似比即可求出c的值．【详解】解；设的周长等于l，∵∽，的三边长分别为3、4、5，的最短边长为6，∴，解得．故答案为：24．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比．12.在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是___________.【答案】0【解析】【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．将点和代入，求得和，再相加即可．【详解】解：∵函数的图象经过点和，∴有，∴，故答案为：0．13.在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为1的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于O，则AO：OB＝_____．【答案】##【解析】【分析】由，得出，可求出，则AE=，再证明△AOE∽△BOC，然后利用相似比可得到AO：OB的值．【详解】解：如图，∵，∴，∴，∴，∴∵∴∴故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．14.如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上，设，．（1）；（用含的式子表示）（2）这个矩形的最大面积是【答案】（1）（2）2400【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的性质：对应边的比等于对应高的比，同时考查了二次函数最值的求法．（1）证，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，即可求解；（2）矩形的面积，根据（1）中y与x的函数关系式，即可得到S与x之间的函数关系，根据函数的性质即可求解；【小问1详解】解：∵矩形，∴，，，∴．∴，即，∴；故答案：．【小问2详解】解：设矩形的面积为S，则，即，当时，S有最大值为2400，∴这个矩形的最大面积是．故答案为：2400．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.已知==≠0,求的值.【答案】【解析】【分析】首先设进而代入求出即可．【详解】解：∵∴∴【点睛】考查分式的求值，熟练掌握换元法是解题的关键.16.已知二次函数．（1）画出这个函数的图象；（2）根据图象，求出当时，的取值范围？【答案】（1）见解析（2）或【解析】【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数与不等式之间的关系：（1）先列表，再描点画出对应的函数图象即可；（2）找到二次函数图象在x轴下方时自变量的取值范围即可得到答案．【小问1详解】解：列表如下：…0123……020…函数图象如下所示：【小问2详解】解：由函数图象可知，当二次函数图象在x轴下方时，或，∴当时，或四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，已知，，，，，求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据两组对应边成比例，且夹角相等的两三角形相似，进行证明．【详解】证明：，，，，，，，．18.“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为的等腰三角形．如图，在中，，．（1）利用尺规作的平分线，交边于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；（2）证明：．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了黄金分割，等腰三角形、相似三角形的判定和性质，以及尺规作图等知识；熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．（1）作的角平分线，交于点；（2）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义可知，再证，根据相似三角形的性质即可得证．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；；【小问2详解】证明：∵在中，，，∴，平分，∴，，，，，∵，，∴，∴，即，∴．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下：水平距离0341015202227竖直高度03.244.168987.043.24（1）根据上表，请确定抛物线的表达式；（2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度．【答案】（1）抛物线的表达式（2）水火箭距离地面的竖直高度米【解析】【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据题意可设抛物线的表达式，结合体图标可知抛物线的顶点坐标为，代入求解即可；由题意知，代入抛物线的表达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度．【小问1详解】解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式，由表格得抛物线的顶点坐标为，则，解得，则抛物线的表达式，【小问2详解】解：由题意知，则，那么，水火箭距离地面的竖直高度米．20.已知：菱形中，为中点，交于，且．（1）求证：；（2）若，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质：（1）根据菱形的性质可得，再由，可得，从而得到，即可；（2）设，则，证明，即可．【小问1详解】证明：∵四边形是菱形，∴，∴∠ADB=∠CBD，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵E为中点，∴，∴，∴，∴；【小问2详解】解：设，则，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．六、（本题满分12分）21.如图，一次函数．的图象与反比例函数的图象交于点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）利用图象，直接写出不等式的解集；（3）已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．【答案】（1），（2）或（3）或或【解析】【分析】（1）把A的坐标代入，可求出k，把代入所求反比例函数解析式，可求n，然后把A、B的坐标代入求解即可；（2）结合一次函数和反比例函数的图像，写出一次函数图像在反比例函数图像下方所对应的自变量范围即可；（3）设点C的坐标为，，分、为对角线，、为对角线，、为对角线三种情况，根据对角顶点的横、纵坐标之和分别相等列方程组，即可求解．【小问1详解】解∶∵经过，∴，解得，∴，把代入，得，解得，∴B−4,−1把，B−4,−1代入，得，解得，∴；【小问2详解】解：观察图像得：当或时，一次函数的图像在反比例函数图像的下方，∴不等式的解集为或；【小问3详解】解：设点C的坐标为，，①以、为对角线，则，解得，∴，∴；②以、为对角线，则，解得，∴，∴；③以、为对角线则，解得，∴，∴；综上，当C的坐标为或或时，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】本题考查求一次函数解析式，反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，平行四边形存在性问题等，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．七、（本题满分12分）22.定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．【特例感知】（1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为．【深入探究】（2）经过点和抛物线与y轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标．【拓展运用】（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．，求点的坐标．【答案】（1）和；（2）；（3）或；【解析】【分