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2024-2025学年上海市虹口区华东师大一附中高三(上)期中数学试卷一、填空题(共有12题,第1-6题每小题4分,第7-12题每小题4分,满分54分).1.(4分)已知集合,2,3,4,,,则.2.(4分)直线的倾斜角为.3.(4分)已知,则.4.(4分)双曲线的渐近线方程是.5.(4分)已知的角、、对应边长分别为、、,,,,则.6.(4分)已知二项式的展开式中的系数为15,则.7.(5分)已知实数,满足,则的最小值为.8.(5分)幂函数中,的取值集合是的子集,当幂函数的值域与定义域相同时,集合.9.(5分)数列中,,,若,则.10.(5分)如图是一种“四脚帐篷”的示意图,其中半圆和半圆的直径均为2.8米,平面和平面均垂直于平面,用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷,假设所得截面均为正方形,则该帐篷围成几何体的体积为立方米.(精确到0.1立方米)11.(5分)已知,,,,函数和的图像如图所示,其中是这两个函数共同的零点,是其中一个函数的零点,则.12.(5分)若三个正整数,,的位数之和为8,且组成,,的8个数码能排列为2,0,2,5,0,6,0,7,则称,,为“幸运数组”,例如,6,是一个幸运数组.则满足的幸运数组,,的个数为.二、选择题(本大题共4题,满分18分).13、14题每题4分,15、16题每题5分.13.(4分)给出下列两个命题::设直线不在平面上,若直线与平面不平行,则平面上不存在与平行的直线;:设,,均为直线,其中,在平面上,则“”是“且”的充分不必要条件.则A.是真命题,是假命题 B.是真命题,是真命题 C.是假命题,是真命题 D.是假命题,是假命题14.(4分)慢走是一种简单又优良的锻炼方式,它不仅可以帮助减肥,还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等小温从小到大记录了近6周的慢走里程(单位:公里),12,,,20,27,其中这6周的慢走里程的中位数为16,若要使这6周的周慢走里程的标准差最小,则A.14 B.15 C.16 D.1715.(5分)在等比数列中,,则能使不等式成立的最大正整数是A.5 B.6 C.7 D.816.(5分)定义:若抛物线的顶点,抛物线与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形,则这种抛物线就称为:“美丽抛物线”.如图,直线经过点,一组抛物线的顶点,,,,为正整数),依次是直线上的点,这组抛物线与轴正半轴的交点依次是:,,,,,,,,为正整数).若,当为时,这组抛物线中存在美丽抛物线.A.或 B.或 C.或 D.三、解答题(本大题78分)17.(14分)已知,.(1)若,求函数,的值域;(2)已知,且函数的最小正周期为,若函数在,上恰有3个零点,求实数的取值范围.18.(14分)已知四棱锥中,,,,,是上一点,.(1)若是中点,证明:平面;(2)若平面,求二面角的大小.19.(14分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示:一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人302510结算时间(分钟人)11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占.(1)确定,的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;(2)若将这100位顾客分成两类,第一类是购物量不超过8件的人群,第二类为购物量超过8件的人群,现采用分层抽样的方法抽取20位顾客,进行问卷调查,求第二类人群中应抽取的人数;(3)若将频率视为概率,求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.20.(18分)如图所示,由椭圆和椭圆组合而成的曲线,由图形特点,这里称曲线为“猫眼曲线”.特别地,若两个椭圆的离心率相等,则称其为“优美猫眼曲线”.(1)已知猫眼曲线满足,,成等比数列,试判断该曲线是否为“优美猫眼曲线”;(2)在曲线中,若,,,斜率为的直线不经过坐标原点,且与椭圆相交所得弦的中点为,与椭圆相交所得弦的中点为,证明:直线,的斜率之比为定值;(3)在(2)的条件下,若直线的斜率,且与椭圆相切,与椭圆相交于,两点,为椭圆上异于,的任意一点,求△面积的最大值.21.(18分)已知,.(1)若是区间上的严格减函数,是区间上的严格增函数,求的值;(2)若函数在区间,上的最大值不大于1,求的取值范围;(3)记,证明:当时,函数有且仅有三个零点.

参考答案一、填空题(共有12题,第1-6题每小题4分,第7-12题每小题4分,满分54分).1.(4分)已知集合,2,3,4,,,则,.解:集合,2,3,4,,或,故,.故答案为:,.2.(4分)直线的倾斜角为.解:直线的斜率为,设其倾斜角为,,则.故答案为:.3.(4分)已知,则5.解:,则,故,所以.故答案为:5.4.(4分)双曲线的渐近线方程是.解:根据双曲线的几何特征可得双曲线的渐近线方程为:.故答案为:.5.(4分)已知的角、、对应边长分别为、、,,,,则.解:的角、、对应边长分别为、、,,,,由余弦定理可得,,又,.故答案为:.6.(4分)已知二项式的展开式中的系数为15,则.解:二项式的展开式的通项公式为,又展开式中的系数为15,即,则,则,则.故答案为:.7.(5分)已知实数,满足,则的最小值为8.解:由,结合基本不等式,可得,即,当且仅当,即时,等号成立,故的最小值为8.故答案为:8.8.(5分)幂函数中,的取值集合是的子集,当幂函数的值域与定义域相同时,集合,,1,.解:当时,定义域、值域都为,,,符合题意,当时,的定义域为,,,值域为,不符合题意,当,定义域、值域都为,,符合题意,当或3时,定义域、值域均为,符合题意,当时,定义域为,值域为,,不符合题意,综上所述,,,1,.故答案为:,,1,.9.(5分)数列中,,,若,则9.解:,,则,,解得.故答案为:9.10.(5分)如图是一种“四脚帐篷”的示意图,其中半圆和半圆的直径均为2.8米,平面和平面均垂直于平面,用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷,假设所得截面均为正方形,则该帐篷围成几何体的体积为3.7立方米.(精确到0.1立方米)解:设截面正方形的边长为,半圆的半径为,正方形的中心到截面正方形的距离为,则,解得(其中米,,根据“祖暅原理”,构造一个正四棱柱,底边为,高为,并挖去一个正四棱锥,如图所示:用平行于底面的任意一个平面(高度为,去截左图和右图的两个几何体,所得截面的面积均为相等,所以该帐篷围成几何体的体积为:(立方米).故答案为:3.7.11.(5分)已知,,,,函数和的图像如图所示,其中是这两个函数共同的零点,是其中一个函数的零点,则.解:由是函数的零点,可得,即,,取(正半轴的第一个零点)可得,又是函数的零点,由得,,取(正半轴的第四个零点)得,所以.故答案为:.12.(5分)若三个正整数,,的位数之和为8,且组成,,的8个数码能排列为2,0,2,5,0,6,0,7,则称,,为“幸运数组”,例如,6,是一个幸运数组.则满足的幸运数组,,的个数为591.解:因为,所以有两类不同类型:(1)是两位数,,都是三位数,先不考虑,的大小,由于,,的首位均不能排0,所以三个0可在5个位置种选择有种排法,两个2有种排法,其余三个数5,6,7有种排法,则共有种排法,又因为不可能,可知与的排法一样多,则有300个满足条件的幸运数组;(2),是两位数,是四位数,先不考虑,的大小,由于,,的首位均不能排0,所以三个0可在5个位置种选择有种排法,两个2有种排法,其余三个数5,6,7有种排法,则共有种排法,如果,则只有,的四个位置上的数字为0,5,6,7,共有种排法,此外因为不可能,可知与的排法一样多,即有个满足条件的幸运数组,综上,所求幸运数组有个.故答案为:591.二、选择题(本大题共4题,满分18分).13、14题每题4分,15、16题每题5分.13.(4分)给出下列两个命题::设直线不在平面上,若直线与平面不平行,则平面上不存在与平行的直线;:设,,均为直线,其中,在平面上,则“”是“且”的充分不必要条件.则A.是真命题,是假命题 B.是真命题,是真命题 C.是假命题,是真命题 D.是假命题,是假命题解::设直线不在平面上,若直线与平面不平行,则平面上不存在与平行的直线,为真命题;:设,,均为直线,其中,在平面上,则能推出且,根据线面垂直的判定定理可得,由且不能推出,则“”是“且”的充分不必要条件,故为真命题,则是真命题,是真命题.故选:.14.(4分)慢走是一种简单又优良的锻炼方式,它不仅可以帮助减肥,还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等小温从小到大记录了近6周的慢走里程(单位:公里),12,,,20,27,其中这6周的慢走里程的中位数为16,若要使这6周的周慢走里程的标准差最小,则A.14 B.15 C.16 D.17解:这6周的慢走里程的中位数为16,则,解得,故这6个月慢走里程的平均数为:,要使这6周的周慢走里程的标准差最小,需要最小,,该二次函数开口向上,对称轴,当时,这6周的周慢走里程的标准差最小.故选:.15.(5分)在等比数列中,,则能使不等式成立的最大正整数是A.5 B.6 C.7 D.8解:在等比数列中,,,时,,由,得,,,,,,,,综上得,,,,则,所以能使不等式成立的最大正整数是7.故选:.16.(5分)定义:若抛物线的顶点,抛物线与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形,则这种抛物线就称为:“美丽抛物线”.如图,直线经过点,一组抛物线的顶点,,,,为正整数),依次是直线上的点,这组抛物线与轴正半轴的交点依次是:,,,,,,,,为正整数).若,当为时,这组抛物线中存在美丽抛物线.A.或 B.或 C.或 D.解:直线经过点,则;直线.由抛物线的对称性知:抛物线的顶点与轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形;该等腰三角形的高等于斜边的一半.,该等腰直角三角形的斜边长小于2,斜边上的高小于1(即抛物线的顶点纵坐标小于;当时,,当时,,当时,,美丽抛物线的顶点只有.①若为顶点,由,则;②若为顶点,由,则,综上所述,的值为或时,存在美丽抛物线.故选:.三、解答题(本大题78分)17.(14分)已知,.(1)若,求函数,的值域;(2)已知,且函数的最小正周期为,若函数在,上恰有3个零点,求实数的取值范围.解:(1)若,,当时,,,,,故,;(2)因为的最小正周期为,所以,故,,当,时,,,因为在,上恰有3个零点,所以,解得,即,.18.(14分)已知四棱锥中,,,,,是上一点,.(1)若是中点,证明:平面;(2)若平面,求二面角的大小.解:(1)证明:取的中点为,连接,,则,,而,,得,,则四边形为平行四边形,由此可得:,而平面,又平面,所以平面.(2)因为,知,即有,,则四边形为平行四边形,得,所以平面,而,平面,可得,,而,由此,以为原点,以直线、、分别为、、轴,建立如图的空间直角坐标系,则,0,,,,,,0,,即.设平面的法向量为,由,可得,取,得,又因为平面的一个法向量为,,解得,从图中可以看出二面角是锐二面角,所以二面角的大小为.19.(14分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示:一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人302510结算时间(分钟人)11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占.(1)确定,的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;(2)若将这100位顾客分成两类,第一类是购物量不超过8件的人群,第二类为购物量超过8件的人群,现采用分层抽样的方法抽取20位顾客,进行问卷调查,求第二类人群中应抽取的人数;(3)若将频率视为概率,求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.解:(1)由题知,可得,,解得,,该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为:(分钟);(2)设第一类和第二类人群中抽取的人数分别为,,则,所以,,即第二类人群中应抽取的人数为11.(3)记为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,,,分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”,将频率视为概率,得,,,因为,且,,是互斥事件,所以,故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.20.(18分)如图所示,由椭圆和椭圆组合而成的曲线,由图形特点,这里称曲线为“猫眼曲线”.特别地,若两个椭圆的离心率相等,则称其为“优美猫眼曲线”.(1)已知猫眼曲线满足,,成等比数列,试判断该曲线是否为“优美猫眼曲线”;(2)在曲线中,若,,,斜率为的直线不经过坐标原点,且与椭圆相交所得弦的中点为,与椭圆相交所得弦的中点为,证明:直线,的斜率之比为定值;(3)在(2)的条件下,若直线的斜率,且与椭圆相切,与椭圆相交于,两点,为椭圆上异于,的任意一点,求△面积的最大值.解:(1)因为,,成等比数列,所以,此时椭圆的离心率,所以椭圆的离心率,因为,所以,则该曲线是“优美猫眼曲线”;(2)证明:设直线的方程为,联立,消去并整理得,此时,所以,则,所以,同理得,所以为定值;(3)

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