数学学案：函数的平均变化率

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精数学人教B选修1—1第三章3.1.1函数的平均变化率1．了解函数的平均变化率．2．会求一些简单函数的平均变化率．1．直线的斜率k、倾斜角α及直线上两点坐标之间的关系设点A的坐标为（x0，y0），点B的坐标为（x1，y1)（x0≠x1），自变量x的改变量x1－x0记为Δx,函数值的改变量y1－y0记为Δy，即______＝x1－x0，______＝y1－y0。直线AB的倾斜角为α，斜率为k，则有k＝______＝eq\f（y1－y0,x1－x0)＝________。【做一做1】直线l过点A（3,6）和B(4，7)，求直线l的斜率k。2．平均变化率已知函数y＝f（x）在点x＝x0及其附近有定义,令Δx＝x－x0，Δy＝y－y0＝f（x)－f(x0)＝__________，则当Δx≠0时，比值____________＝eq\f(Δy,Δx）叫做函数y＝f(x）在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．（1)Δx和Δy是整体符号而不是乘积，它们分别表示自变量和函数值的改变量；(2)Δy与Δx是对应的，当Δx＝x－x0时，Δy＝y－y0.它们可正可负，但Δx≠0,Δy可为0。【做一做2】若函数f(x)＝x2的图象上一点（1，1）及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy),则eq\f(Δy,Δx)＝__________。1．对平均变化率概念的理解．剖析：（1）函数f(x)在x0处有定义;（2)x是x0附近的任意一点，即Δx＝x－x0≠0，Δx可正可负，并且它的绝对值是一个较小的正数;(3）改变量的对应:若Δx＝x－x0,则Δy＝f(x）－f(x0），而不是Δy＝f（x0)－f(x)；(4)平均变化率可正可负也可为零．2．对平均变化率的意义的认识：剖析:函数的平均变化率可以体现出函数的变化趋势，增量Δx越小，越能准确体现函数的变化情况．题型一平均变化率的概念【例1】在平均变化率的定义中对自变量的增量Δx的要求是(）A．大于零B．小于零C．等于零D．不等于零题型二求函数的平均变化率【例2】试比较正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝eq\f(π，2)附近的平均变化率的大小．分析：先求出正弦函数在x＝0和x＝eq\f（π，2）附近的平均变化率，然后比较大小．反思：(1)求函数f（x）的平均变化率的一般步骤为：①计算函数值的改变量:Δy＝f(x）－f(x0）＝f(x0＋Δx）－f（x0)；②计算自变量的改变量Δx＝x－x0；③计算平均变化率：eq\f(Δy,Δx）＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx）。（2）比较平均变化率哪一个大，实际则是比较大小的问题，应按作差法或作商法的步骤进行判断，关键是对差的符号进行判断．1在平均变化率的定义中对函数值的改变量Δy的要求是（)A．大于零B．小于零C．等于零D．可正可负可为零2在平均变化率的定义中，函数值的改变量Δy与自变量的改变量Δx的对应关系是指()A．当Δx＝x－x0时，Δy＝f(x)－f(x0)B．当Δx＝x－x0时,Δy＝f(x0）－f（x）C．当Δx＝x0－x时,Δy＝f(x)－f(x0)D．以上答案都不正确3已知函数f（x）＝x2＋1的图象上一点(1，2）及邻近一点（1＋Δx,2＋Δy),则eq\f（Δy，Δx）＝（)A．2B．2ΔxC．Δx＋2D．(Δx）2＋24函数f（x）＝x2＋1在2到2.5之间的平均变化率为__________．5函数f(x)＝2x2＋1在x＝1附近的平均变化率__________在x＝3附近的变化率（填“大于”“小于”“等于”）．答案：基础知识·梳理1．ΔxΔytanαeq\f（Δy，Δx)【做一做1】解:k＝eq\f(y1－y0,x1－x0）＝eq\f(7－6,4－3）＝1。2．f（x0＋Δx）－f(x0)eq\f（fx0＋Δx－fx0，Δx）【做一做2】Δx＋2先计算Δy＝f（1＋Δx）－f（1)＝(1＋Δx）2－1＝(Δx）2＋2Δx，再算eq\f(Δy，Δx)＝Δx＋2。典型例题·领悟【例1】D由平均变化率的定义知Δx≠0。【例2】解：当自变量从0变到Δx时，函数的平均变化率为k1＝eq\f（sinΔx－sin0，Δx)＝eq\f（sinΔx，Δx)。当自变量从eq\f（π,2)变到Δx＋eq\f(π，2）时，函数的平均变化率为k2＝eq\f（sin\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π,2）＋Δx）)－sin\f（π，2),Δx)＝eq\f（cosΔx－1,Δx)，由于是在x＝0和x＝eq\f(π，2）的附近的平均变化率,可知Δx较小，但Δx既可为正,又可为负．当Δx＞0时，k1＞0,k2＜0，此时有k1＞k2。当Δx＜0时，k1－k2＝eq\f(sinΔx,Δx）－eq\f（cosΔx－1，Δx）＝eq\f(sinΔx－cosΔx＋1，Δx)＝eq\f（\r（2）sin\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（Δx－\f（π,4))）＋1，Δx）.∵Δx＜0，∴Δx－eq\f(π,4）＜－eq\f(π,4)，∴sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(Δx－\f（π，4)）)＜－eq\f(\r（2）,2）。从而有eq\r(2）sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(Δx－\f（π，4））)＋1＜0，∴k1－k2＞0，即k1＞k2.综上可知，正弦函数y＝sinx在x＝0附近的平均变化率大于在x＝eq\f(π,2）附近的平均变化率．随堂练习·巩固1．D2．A3．C先算Δy＝f（1＋Δx)－f（1）＝(1＋Δx)2＋1－12－1＝(Δx)2＋2(Δx），再算eq\f（Δy，Δx）＝Δx＋2，从而选C。4．4。55．小于先求x＝3附近的平均变化率，k1＝eq