第九章　统计与统计案例 第三节　一元线性回归模型及其应用 2025年高考数学一轮复习基础知识随堂练

统计与统计案例第三节一元线性回归模型及其应用1．下列有关线性回归的说法，不正确的是()A．具有相关关系的两个变量不是因果关系B．散点图能直观地反映数据的相关程度C．经验回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D.任何一组数据都有经验回归方程2．对两个变量x，y进行线性回归分析，计算得到样本相关系数r＝－0.9962，则下列说法中正确的是()A．x与y正相关B．x与y具有较强的线性相关关系C．x与y几乎不具有线性相关关系D．x与y的线性相关关系还需进一步确定3．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：˚C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10˚C至40˚C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2C．y＝a＋bex D．y＝a＋blnx4．某供电公司为了分析本地某小区的用电量y(单位：kW·h)与气温x(单位：˚C)之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天的气温，这两者之间的对应关系如下表：气温x/˚C181310－1用电量y/(kW·h)24343864若上表中的数据可用经验回归方程y＝－2x＋b(b∈R)来预测，则当气温为－4˚C时，该小区相应的用电量约为________kW·h.5．新能源汽车的核心部件是动力电池，电池占了整车成本的很大一部分，而其中的原材料碳酸锂又是电池的主要成分．从2020年底开始，碳酸锂的价格不断升高，下表是2022年某企业的前5个月碳酸锂的价格y(单位：万元/千克)与月份x的统计数据．月份x12345碳酸锂价格y/(万元/千克)0.50.61m1.5根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为y＝0.28x＋a，根据数据计算出在样本点(5，1.5)处的残差为－0.06，则表中m＝________．高考训练6．(多选题)某工厂为了研究某种产品的产量x(单位：吨)与所需某种材料的用量y(单位：吨)之间的相关关系，在生产过程中收集了4组数据如表所示．根据表中数据可得经验回归方程为y＝0.78x＋a，则下列四个说法中正确的为()x/吨3467y/吨2.5345.9A．变量x与y正相关B．y与x的样本相关系数r<0C．a＝－0.05D．当产量为8吨时，预测所需材料约为6.19吨7．(能力创新)某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月的广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如下表：月份123456x/万元24681012y/万元14.2120.3131.831.1837.8344.67他们用两种模型①y＝bx＋a，②y＝aebx分别进行拟合，得到相应的经验回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值．xy∑∑7301464.24364(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由．(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除．①剔除异常数据后，求出(1)中所选模型的经验回归方程；②当广告投入量x＝18时，(1)中所选模型收益的预测值是多少？附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其经验回归方程y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b＝∑ni=1(xi－x)(答案解析1、D解析：根据两个变量具有相关关系的概念，可知A正确；散点图能直观地描述呈相关关系的两个变量的相关程度，且经验回归直线最能代表它们之间的线性相关关系，所以B，C正确；具有相关关系的成对样本数据才有经验回归方程，所以D不正确．2、B解析：因为样本相关系数r＝－0.9962，所以x与y负相关．因为|r|＝0.9962，非常接近1，所以线性相关性很强．故选B.3、D解析：由散点图分布可知，散点分布在一个对数型函数图象的附近，因此最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是y＝a＋blnx．4、68解析：由表中数据可得x＝18则将(10，40)代入经验回归方程可得，40＝－20＋b，得b＝60，则经验回归方程为y＝－2x＋60.当x＝－4时，y＝－2×(－4)＋60＝68.故当气温为－4℃时，该小区相应的用电量约为68kW·h.5、1.4解析：由题可知，当x＝5时，有1.5－y＝1.5－(0.28×5＋a)＝－0.06，解得a＝0.16.又x＝1+2且经验回归直线过样本点的中心x，y，所以0.28×3＋0.16＝3.6+m56、ACD解析：因为经验回归方程y＝0.78x＋a，0.78＞0，所以变量x与y呈正相关，样本相关系数r>0，故A正确，B错误；由表格数据可得x＝3+4则0.78×5＋a＝3.85，解得a＝－0.05，故C正确；经验回归方程为y＝0.78x－0.05，当x＝8时，y＝0.78×8－0.05＝6.19，即产量为8吨时，预测所需材料约为6.19吨，故D正确．7、解：(1)应该选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平带状区域中，且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，所以模型①的拟合精度更高，经验回归方程的预测精度高．(2)①剔除异常数据，即3月份的数据后，得x'＝15×(7×6－y'＝15×(30×6－31.∑ni=1xiyi＝1464.2