2024-2025学年上海市复旦附中高三上期中考试数学试卷解析

复旦大学附属中学2024学年第一学期高三年级数学期中考试试卷2024.11.12时间:120分钟满分:150分注：请将试题的解答全部写在答题纸的相应位置，写在试卷上无效.一、填空题(本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.函数y=log22x−1【答案】x+1x6【答案】20已知i为虚数单位,复数满足(1-3i)·z=|3+4i|,则复数的虚部为.【答案】已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为且面积为3π的扇形，则该圆锥的体积为.【答案】已知样本数据的平均数是2,方差是1,则的平均数是.【答案】5设斜率为3的直线是曲线的切线，则直线的方程为.【答案】若椭圆x2a2+【答案】若直线xa+yb=1𝐸𝑀𝐵𝐸𝐷𝐸𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛.𝐾𝑆𝐸𝐸3\∗𝑀𝐸𝑅𝐺𝐸𝐹𝑂𝑅𝑀𝐴𝑇经过点(1，2)，则直线在轴和【答案】在平面四边形ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点.若AB=2,CD=3,且EF⋅AB=4,则【答案】10.函数是定义在(-4,4)上的偶函数,其图像如左下图所示,满足设.y'=f'x是的导函数,则关于的不等式≥0的解集是.【答案】如右上图，B地在A地的正东方向，相距4km；C地在B地的北偏东30°方向，相距2km，河流沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比它到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物.经测算，从M到B地修建公路费用是25万元/km，从M到C地修建公路的费用为50万元/km.选择合适的点M，可使修建的两条公路总费用最低，则总费用最低是万元.【答案】125（可用双曲线第二定义来解释或者几何方法均可以）12.一个项数为6的正整数数列满足a₁=3,且aₖ₊₁≥aₖ1≤k≤5k∈N,若为不大于10的偶数，则符合条件的数列共有个.【答案】5二、选择题(本大题共有4小题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将正确选项用2B铅笔涂黑.13.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或4点”，则事件A与事件B的关系为()A.是相互独立事件，不是互斥事件B.是互斥事件，不是相互独立事件C.既是相互独立事件又是互斥事件D.既不是互斥事件也不是相互独立事件【答案】14.如图，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，则对于翻折后的几何图形，下列结论不正确的是()A.AC⊥BDB.AB与平面BCD所成角为60°C.△ADC为等边三角形D.二面角A-BC--D的平面角的正切值是2【答案】15.设集合P={-1,1},Q={},函数fx=aˣ+λa⁻ˣ①对任意λ∈P,存在a∈Q,使得y=f(x)是增函数;②存在λ∈P,对任意a∈Q,y=f(x)是减函数;⑧对任意λ∈P,存在a∈Q,使得y=f(x)是奇函数;④存在λ∈P,对任意a∈Q,y=f(x)是偶函数.其中真命题的个数是()1个B.2个C.3个D.4个【答案】16.已知M={xy|y=tx²+A.d=3,S<1B.d=3,S>1C.d=10,S<1【答案】三、解答题(本大题共5题，满分78分)解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)在等差数列中，已知a₁+a₂=10(1)求数列的通项公式;(2)若数列{aₙ+bₙ}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和.【解析】(1)设等差数列an的公差为d由a1+aa所以an=4+2(n−1)=2nb所以S18.(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)如图，在三棱锥D−ABC中，∠DAC=∠BAC=60°,AC=1,AB=2,AD=3,(1)求AC⋅BD(2)判断点D在平面ABC上的射影是否可能在直线BC上，给出你的结论并加以证明.【解析】(1)异面直线AC与BD所成角为θ,ACAC∵AC⋅BD=|AC|∙|BD|cos⁡θ,AC=1,

∴cos⁡(2)不可能.证明：假设点D在平面ABC上的射影在BC上,则平面ABC⊥平面DBC,平面ABC∩平面DBC=BC,AC⊥从而有AC⋅BD=0,这与AC∙BD=119.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道宽为4米，现有一辆大卡车，在里侧车道，其车体水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为2.4米，车厢的左侧直线CD与双车道的分界线相交于E、F，记∠DAE=θ.(1)若大卡车在转弯的某一刻，恰好θ=π(2)为保证行车安全，在里侧车道转弯时，车体不能越过双车道分界线.求此大卡车的车长AB的最大值.【解析】(1)如图所示,作EM⊥OM,垂足为M,作FN⊥ON,垂足为N,

因为∠DAE=π6,所以∠在Rt△BCF中,在Rt△OME中,OE=4cos⁡所以CD=OE+OF−ED−CF=833+8−435−1235=8−8315米.

(2)因为∠DAE=θ,所以OE=4cos⁡θ,OF=4sin⁡θ,ED=2.4tan⁡θ,CF=2.4tan⁡θ,

所以AB=CD=OE+OF−ED−CF=4cos⁡θ+4sin⁡20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)在平面直角坐标系中，已知抛物线C:y²=4x的焦点为F，点AxA(1)若|AF|=4,求点A的坐标；(2)已知T(t，0)是x轴上的点，若线段AT的最小值为4，求实数t的值；(3)如图,已知yA=2,点M、N在抛物线C上，满足AM⊥AN,作【解析】由抛物线的性质可知，。A到焦点F的距离等于到准线的距离所以，带入抛物线y²=4x，(3)设Mx又AM⊥∴x1−1x2Δ=16则x代入(1)式得:n当n=1−2t时,lMN:x=t(y−2∴直线MN过定点B(5,−2),

又AD⊥MN,故D在以AB为直径的圆上,

21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)已知定义域均为D的函数y=fx,y=