2024-2025学年北京市西城区育才学校高三上学期期中考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市西城区育才学校高三上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−3x+2<0},B={x|x≥1}，则A.(−∞,2] B.(1,+∞) C.(1,2) D.[1,+∞)2.下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是(

)A.y=x12 B.y=x3 3.若a>0,b>0，且a+2b−2=0，则ab的最大值为A.12 B.1 C.2 D.4.函数y=2sinωx+φ在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是(

)

A.y=2sinx+3π8 B.y=2sin2x−5.在▵ABC中，“A>π4”是“sinA>A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件6.已知函数f(x)=logax，g(x)=bx，的图像都经过点(A.1 B.2 C.4 D.87.已知函数f(x)的部分对应值如表所示.数列an满足a1=1，且对任意n∈N∗，点an,an+1都在函数x1234f(x)3124A.1 B.2 C.3 D.48.已知向量a=sinθ,cosθ，b=3,4，若A.247 B.67 C.−249.在直角梯形ABCD中，已知BC//AD，AB⊥AD，AB=4，BC=2，AD=4，若P为CD的中点，则PA⋅PB的值为(

)A.−5 B.−4 C.4 D.510.已知集合M={(x,y)∣y=f(x)}，若对于任意x1,y1∈M，存在x2,y2∈M①M=(x,y)y=③M={(x,y)∣y=cosx}其中所有“好集合”的序号是(

)A.②③ B.①②④ C.③④ D.①③④二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.(2x+1x)412.若向量a,b满足|a|=1,|b|=2，且a,b的夹角为π3，则a13.已知a≥0，函数fx=2x,x≤ax,x>a若a=0，则fx的值域为

14.已知数列an满足an+1>an，且其前n项和Sn满足Sn+115.已知函数f(x)=cosπxx2+1，给出下列四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)有无数个零点；③f(x)的最小值为−12；④f(x)三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.已知等差数列an满足a1(1)求an的通项公式(2)若等比数列bn,b117.已知函数f(x)=x3+ax2+bx−1(1)求实数a，b的值;(2)求函数gx=ax+18.在▵ABC中，bsinA=a(1)求B；(2)若c=5，___________.求a．从①b=7，②C=π注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19.为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：(Ⅰ)现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查.求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；(Ⅱ)现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；(Ⅲ)某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由．20.已知函数f(x)=ex(1)求函数y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线l的方程；(2)当x>0时，求证：f(x)>x；(3)讨论函数y=f(x)−bx(b∈R且为常数)零点的个数．21.在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”.如数列1，2第1次“Z拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为Pn，所有项的和记为Sn．(1)求P1，P(2)若Pn≥2020，求n的最小值；(3)是否存在实数a，b，c，使得数列{Sn}为等比数列？若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，说明理由．

参考答案1.D

2.B

3.A

4.D

5.C

6.D

7.C

8.A

9.D

10.A

11.24

12.1

13.0,+∞；14.−1n(15.①②④

16.(1)因为a2∴a∴2d=a3−∴a(2)由题可知a2=3，又∴b∴q=a∴b

17.(1)已知函数f(x)=x3+a由题意f′1=2a+b+3=0f当a=−2,b=1时，f(x)=x3−2当x<13或x>1时，f’(x)>所以fx在−∞,13所以fx在x=1处有极小值f综上所述，a=−2,b=1符合题意；(2)由题意gx=ax+ln当0<x<12时，g′x>0，当所以gx的单调递增区间为0,12，g

18.(1)因为bsinA=acosB−π6，由正弦定理得：sinBsinA=−32cosB+12(2)若选①，则在▵ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB，可得：若选②，C=π4，则由正弦定理：asinA=csin

19.(Ⅰ)记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S，现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为∁10参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共C4所以P(Ⅱ)X的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所．PX=0=C40X的分布列为：X012P182EX(Ⅲ)答案不唯一．答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化.理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：C3指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化．答案示例2：无法确定.理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：C3虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化．

20.(1)由题意得，f(1)=e，f′(x)=ex(x−1)∴切线l的方程为：y=e．(2)当x>0时，要证f(x)>x，只需证ex令g(x)=ex−令ℎ(x)=g′(x)=ex−2x由ℎ′(x)>0得，x>ln2，由ℎ′(x)<0得，∴ℎ(x)在(0,ln2)为减函数，在∴ℎ(x)≥ℎ(ln∴g(x)在(0,+∞)上为增函数，∴g(x)>g(0)=e∴ex−(3)由f(x)−bx=0得，b=e令φ(x)=exx由φ′(x)>0得x>2或x<0，由φ′∴φ(x)在(−∞,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，在(2,+∞)上为增函数，当x→−∞时，φ(x)→0，当x→0时，φ(x)→+∞，当x→+∞，φ(x)→+∞．∵x=2时，φ(x)取极小值φ(2)=e∴当b∈(−∞,0]时，直线y=b与φ(x)的图象没有交点，函数无零点，当b∈0,e24时，直线y=b与φ(x)的图象有当b=e24时，直线y=b与φ(x)的图象有2当b∈e24,+∞时，直线y=b与φ(x)的图象有综上得，当b∈(−∞,0]时，函数无零点；当b∈0,e2当b=e24时，函数有2个零点；当b∈

21.解：(Ⅰ)因原数列有3项，经第1次拓展后的项数P1=3+2=5；

经第2次拓展后的项数P2=5+4=9．

(Ⅱ)因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，

由数列经第n次拓展后的项数为Pn，

则经第n+1次拓展后增加的项数为Pn−1，

所以Pn+