2024-2025学年北京市东城区东直门中学高三上学期期中考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市东城区东直门中学高三上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−1,0,2}，B=xx2≤1A.A=B B.A⊆B C.A∪B=B D.A∩B={−1,0}2.已知角a的终边在第三象限，且tanα=2，则sinα−cosA.−1 B.1 C.−553.下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是(

)A.fx=sinx B.fx=4.设等差数列的前n项和为Sn，若a1=1，a4=7A.60 B.80 C.90 D.1005.如图，在▵ABC中，AD为BC边上的中线，若E为AD的中点，则CE=(

)

A.−14AB−54AC B.6.已知an为等比数列，a1>0，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n,aA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.点M、N在圆C:x2+y2+2kx+2my−4=0上，且M、N两点关于直线x−y+1=0A.最大值为22 B.最小值为22 C.最小值为38.已知定点M1,3和拋物线C:x2=8y,F是抛物线C的焦点，N是抛物线C上的点，则NFA.3 B.4 C.5 D.69.“三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a,b,c求三角形面积S，即S=14c2a2−c2+aA.9 B.12 C.18 D.3610.如图，已知BD是圆O的直径，AC是与BD垂直的弦，且AC与BD交于点E，点P是线段AD上的动点，直线PE交BC于点Q.当PD⋅PB取得最小值时，下列结论中一定成立的是(

)

A.OQ⊥BC B.OP⊥AD C.PQ//AB D.OP//AC二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.函数f(x)=4−x+lg(x+3)12.已知平面向量，的夹角为120°，且|a⇀|=2，b=4，则a⋅b的值为

，a−t13.已知等比数列an的各项均为正数，且3a12,a34,14.在▵ABC中，a=2，b=22.若∠A=π4，则c=

；若满足条件的三角形有两个，则∠A15.设an与bn是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合M=k|a①若an与bn均为等差数列，则M中最多有②若an与bn均为等比数列，则M中最多有③若an为等差数列，bn为等比数列，则M中最多有④若an为递增数列，bn为递减数列，则M中最多有其中正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,(1)求ω的值；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，若fx≥a对x∈π条件①：f0=−1条件②：fx的最大值为2条件③：fx在区间−注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．17.(本小题12分)某种产品按照产品质量标准分为一等品､二等品､三等品､四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据：等级一等品二等品三等品四等品数量40301020(1)根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为X，求X的分布列及数学期望；(2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率；(3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择，方案一：产品不分类，售价均为21元/件．方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下：等级一等品二等品三等品四等品售价/(元/件)24221816从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由．18.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且PFPC(1)求证：CD⊥平面PAD；(2)求二面角F−AE−P的余弦值；(3)设点G在PB上，且PGPB=34.判断直线19.(本小题12分)已知椭圆E的焦点在x轴上，中心在坐标原点.以E的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为6(1)求栯圆E的方程；(2)设过点M2,0的直线l(不与坐标轴垂直)与椭圆E交于不同的两点A,C，与直线x=16交于点P.点B在y轴上，D为坐标平面内的一点，四边形ABCD是菱形.求证：直线PD过定点．20.(本小题12分)已知函数f(1)求曲线y=fx在点0,f(2)若fx≥0恒成立，求(3)若fx有两个不同的零点x1,x2，且21.(本小题12分)如果数列an对任意的n∈N∗，a(1)判断数列2n(2)若数列an为“速增数列”.且任意项an∈Z，a(3)已知项数为2k(k≥2,k∈Z)的数列bn是“速增数列”，且bn的所有项的和等于k，若cn=2bn参考答案1.D

2.C

3.D

4.D

5.D

6.B

7.C

8.C

9.C

10.B

11.(−3,4]

12.−4

13.3

14.2π3(

15.①③④

16.(1)解：因为fx的图象的相邻两个对称轴的距离为π所以，函数fx的最小正周期为T=2×π2(2)解：选择条件①②．因为fx的最大值为2，所以A=2，即f由f0=2sin又因为φ<π2，所以φ=−π6选择条件②③．因为fx的最大值为2，所以A=2因为fx的最小正周期为T=π，且在区间−又因为区间−π6 ,所以f−π6=−2，即sin−又因为φ<π2所以fx的解析式为f选择条件①③．因为fx的最小正周期为T=π，且在区间−又因为区间−π6 ,所以f−π6得φ−π3=2kπ−又因为φ<π2由f0=−1，得Asin所以fx的解析式为f因为x∈π4,π2，所以2x−当x=π2时，fx因为x∈π4,π2所以a的取值范围为−∞,1．

17.(1)由题可得，抽取的10件产品中，一等品有4件，非一等品有6件，所以X的可能取值为0，1，2，3．PX=0=CPX=2=C则X的分布列为：X0123P1131E(X)=0×1(2)从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，记抽到四等品的数量为Y，则Y∼B(3,1∴PY=1(3)由题意得，方案二的产品的平均售价为：24×40100+22×30100∵21<21.2，∴从采购商的角度考虑，应该选择方案一．

18.(1)因为PA⊥平面ABCD，又CD⊂平面ABCD，则PA⊥CD，又AD⊥CD，且PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，故CD⊥平面PAD；(2)过点A作AD的垂线交BC于点M，因为PA⊥平面ABCD，且AM，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD，故以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A0,0,0因为E为PD的中点，则E0,1,1所以AE=(0,1,1),又PFPC=13，所以设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅令z=1，则y=−1，x=−1，故n=(−1,−1,1)又因为平面PAD的法向量为p=(1,0,0)所以|cos由题意可知，二面角F−AE−P为锐二面角，故二面角F−AE−P的余弦值为3．(3)直线AG不在平面AEF内，因为点G在PB上，且PGPB=3故PG=则AG=由(2)可知，平面AEF的法向量为n=(−1,−1,1)所以AG⋅所以直线AG不在平面AEF内．

19.(1)由题意可设椭圆E的方程为x2因为以E的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为6所以2a+2c=62,所以a=22,c=所以椭圆E的方程为x2(2)设直线l的方程为x=ty+2t≠0令x=16，得y=14t，即由3x2+4设Ax1,设AC的中点为Nx3,所以x3因为四边形ABCD为菱形，所以N为BD的中点，AC⊥BD．所以直线BD的斜率为−t．所以直线BD的方程为y+6t令x=0得y=8t3t设点D的坐标为x4,y即D16所以直线PD的方程为y−14t=所以直线PD过定点4,0．

20.解：(1)由f(x)=ax−ln(1−x)，得f′(x)=a+11−x(x<1)，

因为f(0)=0，f′(0)=a+1，

所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=(a+1)x；

(2)f′(x)=a+11−x=−ax+a+11−x(x<1)，

①当a≥0时，f(−1)=−a−ln2<0，不符合题意；

②当a<0时，令f′(x)=0，解得x=1+1a，

当x∈(−∞,1+1a)时，f′(x)<0，f(x)在区间(−∞,1+1a)上单调递减，

当x∈(1+1a,1)时，f′(x)>0，f(x)在区间(1+1a,1)上单调递增，

所以当x=1+1a时，f(x)取得最小值，f(1+1a)=a+1+ln(−a)，

若f(x)≥0恒成立，则a+1+ln(−a)≥0，

设φ(x)=x+1+ln(−x)(x<0)，则φ′(x)=1+1x=x+1x，

当x∈(−∞,−1)时，φ′(x)>0，φ(x)在区间(−∞,−1)上单调递增，

当x∈(−1,0)时，φ′(x)<0，φ(x)在区间(−1,0)上单调递减，

所以φ(x)≤φ(−1)=0，即a+1+ln