2024-2025学年北京市东城区第五十中学分校高二上学期期中考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市东城区第五十中学分校高二上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线3x−4y+1=0不经过(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.直线y=−3x+1A.−30∘ B.30∘ C.1203.已知点B是点A2,−3,4在坐标平面Oxy内的射影，则点B的坐标为(

)A.2,−3,0 B.2,0,4 C.0,−3,4 D.2,3,44.若直线3x+y−1=0与直线23A.1 B.54 C.3 D.5.如图，在四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c.点M在OC上，且OM=12MCA.−1B.−12a−D.16.圆C1:x2+yA.相交 B.相离 C.内切 D.外切7.已知空间中四点A−1,1,0，B2,2,1，C1,1,1，D0,2,3，则点D到平面ABCA.6 B.63 C.8.已知点A(1,3),B(−2,−1)，若直线1:y=k(x−2)+1与线段AB相交，则实数k的取值范围是(

)A.12,+∞ B.−2,12

C.9.已知向量a=2,−1,3，b=−4,2,t的夹角为钝角，则实数tA.−∞,−6B.−∞,103C.103,+∞10.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.如图，已知一个正八面体ABCDEF的棱长为2，M，N分别为棱AD，AC的中点，则直线BN和FM夹角的余弦值为(

)

A.56 B.116 C.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.直线x+y−2=0与x−y=0的交点坐标为

．12.已知向量m=2,−1,6,n=1,λ,3，且m⊥13.已知方程x2+y2−2x+2y+F=0表示半径为2的圆，则实数14.设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知AB=2e1+ke2，CB=e1+3e2，15.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点E是▵ABC内(①若AE=λAC,λ∈0,1，则②若AE=12AB+AC，则直线③若D1E=tDE，则t的最大值为④若平面α与正方体各个面都相交，且B1D⊥α，则截面多边形的周长一定为6三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)已知a=(1, 3, −2), (1)求a+(2)若(a+kb)⊥(17.(本小题12分)已知ABCD−A1B1C1D1是正方体，点(1)求证：BD(2)求二面角E−FC−B的余弦值．18.(本小题12分)已知▵ABC顶点A1,2、B−3,−1、(1)求边BC的垂直平分线l1(2)若直线l2过点A，且l2的纵截距是横截距的2倍，求直线l19.(本小题12分)已知圆C的圆心在直线x−2y=0上，且与y轴相切于点0,1．(1)求圆C的方程；(2)若圆C直线l:x−y+m=0交于A，B两点，_____，求m的值．从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：∠ACB=120条件②：AB=220.(本小题12分)如图1，菱形ABCD中，∠A=60∘，AB=4，DE⊥AB于E.将ΔAED沿DE翻折到ΔA′ED(Ⅰ)求证：平面A′ED⊥平面BCDE；(Ⅱ)求直线A′E与平面A′BC所成角的正弦值；(Ⅲ)设F为线段A′D上一点，若EF//平面A′BC，求DFFA′的值．21.(本小题12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:x2+(1)若直线l平行于AB，与圆C相切，求直线l的方程；(2)在圆C上是否存在点P，使得PA2+P(3)对于线段AC上的任意一点Q，若在以点B为圆心的圆上都存在不同的两点M, N，使得点M是线段QN的中点，求圆B的半径r的取值范围．

参考答案1.D

2.C

3.A

4.B

5.D

6.D

7.A

8.B

9.D

10.D

11.1,1

12.20

13.−2

14.−8

15.①②④．

16.(1)由题a+b=(0,4,0)(2)因为(a+k又a+kb=则(1−k)⋅2+(3+k)⋅2+(−2+2k)⋅(−4)=0⇒16−8k=0⇒k=2．

17.(1)证明：依题意以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，

如图，设正方体棱长为2，

则B(2,2,0)，D1(0,0,2)，C(0,2,0)，

因为E，F分别是A1B1，B1C1的中点，

所以E(2,1,2)，F(1,2,2)，

所以BD1=(−2,−2,2),EF=(−1,1,0)，

BD1⋅EF=(−2)×(−1)+(−2)×1+0=0，

所以BD1⊥EF，所以BD1⊥EF．

(2)解：因为DC⊥平面BCF，所以平面BCF的一个法向量为m=(0,1,0)，

设平面EFC的一个法向量为n=(x,y,z)，

因为EF=(−1,1,0)，FC=(−1,0,−2)，18.解：(1)由于kBC=−3+13+3=−13，所以l1的斜率为k=3，BC中点(2)当横、纵截距均为0时，l2的斜率为2，所以l2的方程为当横、纵截距均不为0时，设l2的方程为xa+yb=1，因为纵截距是横截距的2倍，所以b=2a，又l2因为过点A，所以1a+2b=1，解得

19.(1)设圆心坐标为Ca,b，半径为r由圆C的圆心在直线x−2y=0上，知：a=2b．又∵圆C与y轴相切于点0,1，∴b=1，a=2，则r=a−0∴圆C的圆心坐标为2,1，则圆C的方程为x−22(2)如果选择条件①：∠ACB=120∘，而∴圆心C到直线l的距离d=1，则d=2−1+m1+1=1，解得如果选择条件②：AB=23∴圆心C到直线l的距离d=1，则d=2−1+m1+1=1，解得

20.(Ⅰ)在菱形ABCD中，因为DE⊥AB，所以DE⊥AE，DE⊥EB．所以A′E⊥DE.因为A′E⊥BE，DE∩BE=E，DE⊂平面BCDE，BE⊂平面BCDE，所以A′E⊥平面BCDE.因为A′E⊂平面A′ED，所以平面A′ED⊥平面BCDE．(Ⅱ)由(Ⅰ)知A′E⊥DE，A′E⊥BE，DE⊥BE，如图建立空间直角坐标系E−xyz，则E0,0,0，B2,0,0，D0,23所以AE=0,0,−2，BA′=设平面A′BC的法向量n=x,y,z得−2x+2z=02x+23y=0所以x=zx=−3所以n=32所以cos<所以直线A′E与平面A′BC所成角的正弦值为21(Ⅲ)由(Ⅱ)可知，DA′=0,−2设DF=mDA′=因为EF//平面A′BC，所以EF⋅n=0所以m=12，即DF=

21.(1)圆C的标准方程为(x−2)2+y2因为l平行于AB，又kAB=2−01−(−1)=1则圆心C到直线l之距d=m+22所以直线l的方程为y=x−2+22或(2)假设圆上存在点P，设P(x, y)，则(x−2)又PA2+P因为2−2<则圆(x−2)2+y2=4与圆(3)设点Q(t, 0),−1≤t≤2, N(x,