2024-2025学年高中数学上学期第10周 3.1.1方程的根与函数的零点教学设计

2024-2025学年高中数学上学期第10周3.1.1方程的根与函数的零点教学设计学校授课教师课时授课班级授课地点教具教材分析《2024-2025学年高中数学上学期第10周3.1.1方程的根与函数的零点》是围绕一元二次方程与函数图像的零点展开，与苏教版高中数学必修二第三章第一节内容相呼应。本节内容旨在引导学生通过探究一元二次方程的根与对应二次函数图像上的零点之间的关系，深化对函数零点概念的理解，培养学生数形结合的数学思想。课程设计将侧重于从具体实例出发，让学生通过观察和分析，归纳出方程的根与函数零点之间的内在联系，并能够应用这些知识点解决实际问题，符合高中二年级学生的知识水平和认知发展需求。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和直观想象等核心素养。通过探究方程的根与函数的零点的关系，学生将提高数学抽象能力，理解数学符号和图形之间的内在联系；在逻辑推理层面，引导学生从特殊到一般，发现规律，培养学生严谨的数学思维；数学建模方面，鼓励学生将现实问题转化为数学问题，运用所学知识解决问题；直观想象则体现在对函数图像的观察和分析上，通过图像直观地理解零点的概念，形成数形结合的直观感知。通过本节课的学习，学生能够深刻把握数学概念，提高解决实际问题的能力。学情分析本节课的教学对象为高中二年级学生，他们在知识、能力、素质方面具备以下特点：

1.知识层面：经过前一阶段的学习，学生已经掌握了一元二次方程的求解方法、二次函数图像的基本性质，具有一定的数学基础。然而，对于方程的根与函数零点之间的联系，大部分学生可能尚未形成清晰的认识，需要在本节课中通过实例引导和探究来深化理解。

2.能力层面：学生在逻辑推理、数学运算和问题解决能力方面有一定的发展，但在运用数形结合思想分析问题时，可能还显得不够熟练。此外，部分学生的空间想象能力相对较弱，对于函数图像的观察和分析可能存在一定的困难。

3.素质层面：学生具备一定的合作意识和探究精神，但自主学习能力参差不齐。部分学生对数学学习兴趣浓厚，表现出较高的积极性；而另一部分学生可能对数学学习存在恐惧心理，缺乏自信。

4.行为习惯方面：学生在课堂上的注意力、参与度和学习习惯各异。部分学生能够积极参与课堂讨论，主动思考问题；而部分学生可能存在听课不认真、课堂互动不积极等问题，影响课堂学习效果。

针对以上学情，以下分析对课程学习的影响：

1.知识层面：学生已有的知识基础为学习本节课提供了必要的前提条件，但对方程的根与函数零点之间的联系的认识不足，可能导致在学习过程中难以形成整体的知识结构。因此，教学中需要关注学生对知识点的串联和整合，帮助他们构建完整的知识体系。

2.能力层面：学生在数形结合方面的能力差异，可能导致在学习过程中对函数图像的分析和理解存在困难。为此，教师应注重培养学生的直观想象能力，通过设置丰富的教学活动，引导学生观察、分析图像，提高数形结合的运用能力。

3.素质层面：学生的自主学习能力和合作意识对课堂学习效果具有重要影响。教师应关注学生的个体差异，创设有利于学生自主探究、合作交流的学习环境，激发学生的学习兴趣，提高他们的自信心。

4.行为习惯方面：学生的课堂表现对学习效果具有直接影响。教师应关注学生的学习态度和课堂行为，通过课堂管理、激励评价等手段，引导学生积极参与课堂学习，养成良好的学习习惯。教学方法与手段1.教学方法：

(1)讲授法：针对本节课的重点和难点，采用讲授法进行系统的知识讲解，帮助学生梳理方程的根与函数零点之间的关系，奠定坚实的理论基础。

(2)讨论法：组织学生进行小组讨论，让学生在探讨中深入理解数学概念，提高解决问题的能力。通过讨论，学生可以互相启发，形成多元化的解题思路。

(3)实验法：引导学生运用数学软件（如几何画板、Desmos等）进行函数图像的绘制和观察，让学生在实践中发现方程的根与函数零点之间的关系，提高学生的实践操作能力和探究精神。

2.教学手段：

(1)多媒体设备：利用多媒体课件展示函数图像、实例讲解等内容，使抽象的数学概念形象化，便于学生理解和接受。

(2)教学软件：运用数学软件辅助教学，让学生在课堂上实时观察函数图像的变化，直观地感受零点的存在和特点，提高课堂互动性和趣味性。

(3)网络资源：提供在线学习资源，如教学视频、习题库等，便于学生课后复习巩固，拓展学习空间。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：激发学生兴趣，引出本节课的主题。

过程：教师通过一个简单的实际例子，如“一个抛物线形的拱桥，当水位上升时，桥洞的高度会怎样变化？”引导学生思考，并自然过渡到方程的根与函数的零点的概念。

2.知识讲解（10分钟）

目标：建立方程的根与函数零点之间的联系。

过程：教师通过多媒体演示，结合板书，讲解一元二次方程的根与对应的二次函数零点的关系，强调数形结合的数学思想。

3.案例分析（20分钟）

目标：加深理解，培养学生分析问题和解决问题的能力。

过程：教师给出几个典型例题，引导学生通过数学软件绘制函数图像，分析并找出方程的根与函数零点的关系。同时，鼓励学生尝试不同解题方法，提升思维的灵活性。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：促进合作交流，培养学生的团队协作能力。

过程：学生分成小组，针对教师提出的讨论题目进行交流，分享解题思路和方法。教师巡回指导，解答学生的疑问。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：检验学生的学习效果，提高学生的表达能力和自信心。

过程：各小组代表展示讨论成果，教师和学生共同点评，总结解题过程中的优点和不足，提炼解题方法。

6.课堂小结（5分钟）

目标：巩固知识点，形成知识结构。

过程：教师引导学生回顾本节课所学内容，总结方程的根与函数零点之间的关系，强调数形结合的数学思想。同时，布置课后作业，巩固所学知识。知识点梳理1.方程的根与函数零点的定义

-方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值。

-函数的零点：函数图像与坐标轴交点的横坐标值，即函数值为0的点。

2.一元二次方程与二次函数的关系

-一元二次方程可以表示为对应的二次函数的零点形式。

-二次函数的图像与坐标轴的交点横坐标即为方程的根。

3.数形结合的数学思想

-通过观察二次函数图像，分析方程的根的分布情况。

-利用数形结合的方法解决实际问题，如求解方程的根、分析函数零点的变化等。

4.方程的根与函数零点的性质

-一元二次方程有两个根（重根算一个），对应二次函数图像与x轴有两个交点（相切算一个）。

-方程的根与函数零点一一对应，且符号相同。

5.求解方程的根与函数零点的方法

-代数法：求解一元二次方程的根，如公式法、因式分解法等。

-图像法：通过绘制函数图像，观察图像与x轴的交点，找出函数的零点。

6.方程的根与函数零点在实际问题中的应用

-分析抛物线与x轴的交点，解决实际问题，如物体运动轨迹、拱桥高度变化等。

-讨论函数零点的变化，分析函数的性质和图像特点。

7.函数零点的判定定理

-若函数在区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，则在区间(a,b)内至少存在一点c，使得f(c)=0，即函数在区间(a,b)内至少有一个零点。

8.二次函数图像的特点

-抛物线的开口方向与方程的系数a有关。

-抛物线与x轴的交点个数与判别式Δ有关，Δ>0有两个交点，Δ=0有一个交点，Δ<0没有交点。

9.方程的根与函数零点之间的关系

-方程的根即为函数的零点，根的个数与零点的个数相同。

-方程的根与函数零点的符号一致。教学反思与改进在本次“方程的根与函数的零点”的教学中，我采用了讲授、讨论和实验等多种教学方法，希望学生能够通过数形结合的方式深入理解方程与函数之间的关系。课后，我将进行以下反思活动来评估教学效果：

首先，我会收集学生的课堂练习和课后作业，分析他们在理解方程根与函数零点概念上的掌握程度。如果发现学生在某个环节上错误率较高，我需要重新审视这一部分的教学设计，看看是否需要调整教学策略。

其次，我会组织学生进行小组访谈，了解他们在课堂上的学习体验，特别是讨论环节的有效性。如果学生反馈小组讨论时间不够或者讨论题目难度不合适，我会考虑在下次教学中调整时间分配和题目设置。

此外，我还计划观察学生在课堂上的参与度，特别是那些平时不太积极的学生。如果发现他们参与度不高，我需要思考如何通过课堂活动的设计，激发他们的学习兴趣和主动性。

针对反思中可能发现的问题，我将制定以下改进措施：

1.对于概念理解上的困难，我会在下一次教学中增加一些生动的例子，通过具体情境帮助学生更好地理解抽象的数学概念。

2.如果讨论环节存在问题，我会尝试提供更具启发性的讨论题目，并适当延长讨论时间，确保每个学生都有机会参与到讨论中来。

3.针对部分学生的课堂参与度问题，我打算设计一些互动性更强的课堂活动，如角色扮演、数学游戏等，以提高他们的学习积极性。

4.我还会在课后提供更多的学习资源，如视频讲解、在线习题等，以满足不同学生的学习需求。课堂小结，当堂检测课堂小结：

1.方程的根与函数零点的概念及其关系：本节课我们学习了方程的根与函数零点的定义，理解了它们之间的内在联系。方程的根即为函数图像与x轴交点的横坐标，它们在数量和符号上都是一一对应的。

2.数形结合的数学思想：通过观察和分析函数图像，我们可以直观地了解方程的根的分布情况，这种数形结合的方法是解决一元二次方程和二次函数问题的重要工具。

3.求解方法：我们探讨了求解方程根和函数零点的代数方法和图像方法，并强调了在实际问题中灵活运用这些方法的重要性。

当堂检测：

一、选择题

1.下列哪个选项正确描述了一元二次方程的根与二次函数零点的关系？

A.根的个数与零点的个数不一定相同

B.根的符号与零点的符号相反

C.根的个数与零点的个数相同，且符号一致

D.只有正根对应正的零点

二、填空题

2.如果一个二次函数的图像与x轴相切，那么它的一元二次方程有______个实数根。

三、解答题

3.求解下列一元二次方程，并说明其对应的二次函数零点情况：

(1)x^2-4x+3=0

(2)x^2+2x-3=0

四、应用题

4.一座抛物线形的拱桥，其方程为y=-x^2+4x+3。如果水位上升1米，求新的桥洞高度。

五、探究题

5.探究二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的零点情况与系数a、b、c之间的关系。

参考答案：

一、C

二、1

三、

(1)x^2-4x+3=0，因式分解得(x-1)(x-3)=0，解得x=1或x=3，对应的二次函数零点为(1,0)和(3,0)。

(2)x^2+2x-3=0，因式分解得(x+3)(x-1)=0，解得x=-3或x=1，对应的二次函数零点为(-3,0)和(1,0)。

四、新的桥洞高度为y=-x^2+4x+4，当y=0时，解得x=2，所以新的桥洞高度为2米。

五、

-当a>0时，抛物线开口向上，函数图像与x轴的交点个数与判别式Δ有关。

-当a<0时，抛物线开口向下，函数图像与x轴的交点个数与判别式Δ有关。

-当Δ>0时，有两个不同的实数零点。

-当Δ=0时，有一个实数零点（重根）。

-当Δ<0时，没有实数零点。内容逻辑关系2.重点词句：数形结合的数学思想。通过观察和分析函数图像，我们可以直观地了解方程的根的分布情况，这种数形结合的方法是解决一元二次方程和二次函数问题的重要工具。

3.板书设计：条理清楚、重点突出、简洁明了。首先，列出方程的根与函数零点的定义及关系，强调它们之间的对应关系。其次，阐述数形结合的数学思想，并展示如何通过观察函数图像来分析方程的根。最后，总结求解方程根和函数零点的方法，并强调在实际问题中的应用。课后作业1.求解下列一元二次方程，并说明其对应的二次函数零点情况：

(1)x^2-4x+3=0

(2)x^2+2x-3=0

2.给出二次函数y=-x^2+4x+3的图像，分析其零点情况，并求出抛物线与x轴的交点坐标。

3.探究二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的零点情况与系数a、b、c之间的关系。

4.某抛物线与x轴相切，其方程为y=-x^2+4x+3。如果抛物线的顶点向上移动2米，求新的抛物线方程。

5.分析抛物线y=-x^2+4x+3在x轴上方的部分，求该部分的最大值。

参考答案：

1.(1)x^2-4x+3=0，因式分解得(x-1)(x-3)=0，解得x=1或x=3，对应的二次函数零点为(1,0)和(3,0)。

(2)x^2+2x-3=0，因式分解得(x+3)(x-1)=0，解得x=-3或x=1，对应的二次函数零点为(-3,0)和(1,0)。

2.给出二次函数y=-x^2+4x+3的图像，分析其零点情况，并求出抛物线与x轴的交点坐标。根据二次函数的图像特点，我们可以看出抛物线与x轴相切，零点为(2,0)。

3.探究二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的零点情况与系数a、b、c之间的关系。根据二次函数的判