2024-2025学年新教材高中数学第六章计数原理五组合数的综合应用课时素养评价含解析新人教A版选择性必修第三册

PAGE五组合数的综合应用(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A,B,C三个班级中,要求每个班级至少分到一人,则甲被分到A班的分法种数为()A.6B.12C.24D.36【解析】选B.甲和另一个人一起分到A班有QUOTE=6种分法,甲一个人分到A班的方法有:QUOTE=6种分法,共有12种分法.【发散·拓】解答排列、组合应用题要从“分析”“辨别”“分类”“分步”的角度入手.(1)“分析”就是找出题目的条件、结论,哪些是“对象”,哪些是“位置”.(2)“辨别”就是辨别是排列还是组合,对某些对象的位置有、无限制等.(3)“分类”就是将较困难的应用题中的对象分成相互排斥的几类,然后逐类解决.(4)“分步”就是把问题化成几个相互联系的步骤,而每一步都是简洁的排列、组合问题,然后逐步解决.2.某密码锁共设四个数位,每个数位的数字都可以是1,2,3,4中的任一个.现密码破译者得知:甲所设的四个数字有且仅有三个相同;乙所设的四个数字有两个相同,另两个也相同;丙所设的四个数字有且仅有两个相同;丁所设的四个数字互不相同.则上述四人所设密码最平安的是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【解析】选C.甲共有QUOTE=48种不同设法,乙共有QUOTE=36,丙共有QUOTE=144,丁共有QUOTE=24,所以丙最平安.3.设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满意条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为()A.60 B.90 C.120 D.130【解题指南】题设条件1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3意味着x1,x2,x3,x4,x5有4个,3个,2个元素为0.【解析】选D.集合A中元素为有序数组(x1,x2,x3,x4,x5),题中要求有序数组的5个数中仅1个数为±1、仅2个数为±1或仅3个数为±1,所以共有QUOTE×2+QUOTE×2×2+QUOTE×2×2×2=130个不同数组.4.在同一个袋子中含有不同标号的红、黑两种颜色的小球共有8粒,从红球中选取2粒,从黑球中选取1粒,共有30种不同的选法,其中黑球至多有()A.2粒B.4粒C.3粒D.5粒【解析】选C.设黑球有x粒,则红球有(8-x)粒,则QUOTE=30,由于0<x<7,x∈N*,所以简洁检验,当x=2,3时,等式QUOTE=30成立.【类题·通】(1)组合问题的常见题型有“必选问题”“不选问题”“恰选问题”“至多问题”“至少问题”“既有……,又有……问题”,在解题时应加以区分,正确解答.(2)“至多问题”“至少问题”“既有……,又有……问题”一般都有干脆法和间接法两种做法,应依据详细状况进行选择.二、填空题(每小题5分,共10分)5.直角坐标平面xOy上,平行直线x=n(n=0,1,2,…,5)与平行直线y=n(n=0,1,2,…,5)组成的图形中,矩形共有________个.

【解析】在垂直于x轴的6条直线中任取2条,在垂直于y轴的6条直线中任取2条,四条直线相交得出一个矩形,所以矩形总数为QUOTE=15×15=225(个).答案:2256.现支配甲、乙、丙、丁、戊5名同学参与厦门市华侨博物院志愿者服务活动,每人从事礼仪、导游、翻译、讲解四项工作之一,每项工作至少有一人参与.甲、乙不会导游但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同支配方案的种数是________.(用数字作答)

【解析】依据题意,分状况探讨,①甲乙一起参与除了导游的三项工作之一:QUOTE×QUOTE=18种;②甲乙不同时参与一项工作,进而又分为2种小状况:(1)丙、丁、戊三人中有两人担当同一份工作,有QUOTE×QUOTE×QUOTE=3×2×3×2=36种;(2)甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人担当同一份工作:QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=72种.由分类加法计数原理,可得共有18+36+72=126种.答案:126三、解答题(每小题10分,共20分)7.对于各数互不相等的正整数组(i1,i2,…,in)(n是不小于2的正整数),假如在p>q时有ip>iq,则称ip和iq是该数组的一个“好序”,一个数组中“好序”的个数称为此数组的“好序数”,例如,数组(1,3,4,2)中有好序“1,3”,“1,4”,“1,2”,“3,4”,其“好序数”等于4.若各数互不相等的正整数组(a1,a2,a3,a4,a5,a6)的“好序数”等于2,求(a6,a5,a4,a3,a2,a1)的“好序数”.【解题指南】对应于含有n个数字的数组中,首先做出任取两个数字时可以组成的数对,减去逆序的个数,得到结果.【解析】因为各数互不相等的正整数组(a1,a2,a3,a4,a5,a6)的“好序数”等于2,(a6,a5,a4,a3,a2,a1)中任取两个的组合有QUOTE=15个,所以(a6,a5,a4,a3,a2,a1)的“好序数”是15-2=13.8.有8名男生和5名女生,从中任选6人.(1)有多少种不同的选法?(2)其中有3名女生,有多少种不同的选法?(3)其中至多有3名女生,有多少种不同的选法?(4)其中有2名女生,4名男生,分别负责6种不同的工作,共有多少种不同的分工方法?(5)其中既有男生又有女生,有多少种不同的选法?【解析】(1)适合题意的选法有QUOTE=1716种.(2)第1步,选出女生,有QUOTE种;第2步,选出男生,有QUOTE种.由分步乘法计数原理知,适合题意的选法有QUOTE×QUOTE=560种.(3)至多有3名女生包括:没有女生,1名女生,2名女生,3名女生四类状况.第1类没有女生,有QUOTE种;第2类1名女生,有QUOTE×QUOTE种;第3类2名女生,有QUOTE×QUOTE种;第4类3名女生,有QUOTE×QUOTE种.由分类加法计数原理知,适合题意的选法共有QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=1568种.(4)第1步,选出适合题意的6人,有QUOTE×QUOTE种;第2步,给这6人支配6种不同的工作,有QUOTE种.由分步乘法计数原理知,适合题意的分工方法共有QUOTE×QUOTE×QUOTE=504000种.(5)用间接法,解除掉全是男生的状况和全是女生的状况即是符合题意的选法.而由题意知不行能6人全是女生,所以只需解除全是男生的状况,所以有QUOTE-QUOTE=1716-28=1688种选法.(15分钟·30分)1.(5分)在200件产品中有3件次品,现从中随意抽取5件,其中至少有2件次品的抽法有()A.QUOTE种B.QUOTE种C.QUOTE种 D.QUOTE种【解析】选D.依据题意,“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种状况,“有2件次品”的抽取方法有QUOTE种,“有3件次品”的抽取方法有QUOTE种,则共有QUOTE+QUOTE种不同的抽取方法,故选D.【加练·固】用黄、蓝、白三种颜色粉刷6间办公室,一种颜色粉刷3间,一种颜色粉刷2间,一种颜色粉刷1间,则粉刷这6间办公室,不同的支配方法有()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.选固定一种粉刷方法,如黄色粉刷3间,蓝色粉刷2间,白色粉刷1间.则有QUOTE种,三种颜色互换有QUOTE种方法,由分步乘法计数原理知,不同的方案有QUOTE种.2.(5分)中国足球超级联赛的计分规则是:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.某赛季甲球队打完15场竞赛后,球队积分是30分,则该队胜、负、平的状况共有()A.3种B.4种C.5种D.6种【解题指南】首先该球队胜x场、平y场、负z场,则x,y,z是非负整数,依据题意可得方程组QUOTE然后依据取值范围,结合x,y,z是非负整数即可求得结论.【解析】选A.设该球队胜x场、平y场、负z场,则x,y,z是非负整数,且满意QUOTE由②得y=3QUOTE,代入①得z=2x-15,又因为0≤y≤15,0≤z≤15,所以QUOTE所以7.5≤x≤10,因为x,y,z是非负整数,所以x的值为8,9,10,当x=8时,y=6,z=1;当x=9时,y=3,z=3;当x=10时,y=0,z=5;所以竞赛结果是:胜8场、平6场、负1场,胜9场、平3场、负3场,或是胜10场、平0场、负5场,故共有3种状况.3.(5分)(2024·日照高二检测)为做好社区新冠肺炎疫情防控工作,需将六名志愿者安排到甲、乙、丙、丁四个小区开展工作,其中甲小区至少安排两名志愿者,其他三个小区至少安排一名志愿者,则不同的安排方案共有________种.(用数字作答)

【解析】若甲小区安排3人,甲小区有QUOTE种状况,剩下的3个小区有QUOTE种状况,此时有QUOTE=120种安排方法,若甲小区安排2人,甲小区有QUOTE种状况,剩下的3个小区有QUOTE种状况,此时有QUOTE=540种安排方法,则有120+540=660种不同的安排方法.答案:6604.(5分)工人在安装一个正六边形零件时,须要固定如图所示的六个位置的螺丝,首先随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上的(距离它最远的,下同)螺丝,再随意拧第三个螺丝,第四个也拧它对角线上的螺丝,第五个和第六个以此类推,则不同的固定方式有________种.

【解析】先随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上的,有QUOTE种方法,再随意拧第三个螺丝和其对角线上的,有QUOTE种方法,然后随意拧第五个螺丝和其对角线上的,有QUOTE种方法,所以总共的固定方式有QUOTE=48种.答案:485.(10分)有五张卡片,它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中随意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?【解析】依0与1两个特别值分析,可分三类:(1)取0不取1,可先从另四张卡片中选一张作百位,有QUOTE种方法;0可在后两位,有QUOTE种方法;最终需从剩下的三张中任取一张,有QUOTE种方法;又除含0的那张外,其他两张都有正面或反面两种可能,故此时可得不同的三位数有QUOTE·22个.(2)取1不取0,同上分析可得不同的三位数有QUOTE·22·QUOTE个.(3)0和1都不取,有不同三位数QUOTE·23·QUOTE个.综上所述,不同的三位数共有QUOTE·22+QUOTE·22·QUOTE+QUOTE·23·QUOTE=432(个).1.集合S={1,2,3,…,20}的4元子集T={a1,a2,a3,a4}中,随意两个元素的差的肯定值都不为1,这样的4元子集的个数为________个.

【解题指南】不妨设a1<a2<a3<a4,有a2-a1≥2,a3-a2≥2,a4-a3≥2,a1,a2-1,a3-2,a4-3相当于从1,2,3,4,…,17中随意选出4个,全部的取法共有QUOTE,运算求得结果.【解析】不妨设a1<a2<a3<a4,由于随意两个元素的差的肯定值都不为1,故有a2-a1≥2,a3-a2≥2,a4-a3≥2,将a2,a3,a4分别减去1,2,3,这时a1,a2-1,a3-2,a4-3相当于从1,2,3,4,…,17中随意选出4个,全部的取法共有QUOTE=2380种不同的取法.答案:23802.(2024·广州高二检测)如图,从左到右有5个空格.(1)若向这5个格子中填入0,1,2,3,4五个数,要求每个数都要用到,且第三个格子不能填0,则一共有多少不同的填法?(2)若给这5个空格涂上颜色,要求相邻格子不同色,现有红黄蓝3种颜色可供运用,问一共有多少种不同的涂法?(3)若向这5个格子中放入7个不同的小球,要求每个格子里都有球,问有多少种不同的放法?【解题指南】(1)依据题意,分2步进行分析:①分析0;②将其余的4个数字全排列,支配在其他四个格子中,由分步乘法计数原理计算可得答案;(2)依据题意,依次分析5个格子的涂色方法数目,由分步乘法计数原理计算可得答案;(3)依据题意,分2步进行分析:①将7个小球分成5组,有2种分法,分组时,留意平均分组问题;②将分好的5组全排列,对应5个空格,由分步乘法计数原理计算可得答案.【解析】(1)依据题意,分2步进行分析:①第三个格子不能填0,则0有4种选法;②将其余的4个数字全排列,支配在其他四个格子中,有QUOTE种状况,则一共有4Q