【冀教版】八年级上：第17章《特殊三角形》全章教学案（含答案）

第十七章专门三角形

1.了解等腰三角形的概念，探求并证明等腰三角形的性质定理;探求并掌握等腰三角形的判定定理;探

求等边三角形的性质定理和判定定理.

2.探求并掌握直角三角形的性质定理，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.

3.探求勾股定理及其逆定理，并能运用它们处理一些复杂的实践征询题.

•1.探求并掌握判定直角三角形全等的“歪边、直角边〃定理.

5.会应用全然作图办法作三角形:曾经明白底边及底边上的高线作等腰三角形;曾经明白不时再边和

歪边作直角三角形.

6.经过实例体会反证法的含义.

1.阅历由情境引出征询题,探求、掌握有关数学知识,再运用于实际的进程，培育先生学数学、用数学

的看法与才干.

2.在教学进程中提供充足的时辰加空间，让先生阅历观看、操作、实验、猜测、览证等活动进程，培

育先生尝试探求的看法和才干.

1.感受数学文明的价值和中国传统数学的成就,激起先生酷爱祖国及祖国悠久文明的思想感情.

2.使先生从数学的角度思索征询题，培育先生积极的学习态度，树立学习的决心，提高先生的学习兴

味.

本章知识既是三角形内容的深化和拓展,又是进一步研讨专门四边形的重要工具，同时，等腰三角形的

知识在今后探求线段相等、角相等、直线的垂直关系等方面有着普遍的运用;勾股定理及其逆定理不只是

数形结合思想的完满表达,更是我们今后处理数学征询题和实践征询题的无力工具.因而，本章起着承上

启下的桥梁作用.

(1)等腰三角形的性质与判定、直隹三角形的性质和判定,要紧经过观看与思索、操作与归结等办法去

探求和窠觉结论，再经过归结推理证明结论，最初举例证明，实如今展开先生合情推理才干的基础上，把证明

作为探求活动的自然延续.较好表达了合情推理与归结推理两种推理方式的相反相成，完成了两种推理的

无机融合.

(2)关于勾股定理的取得，设计了观看、计算、思索、归结、猗测等探求活疫，将验证猜测的进程设计

为“试着做做"和“做一做〃等先生自主活动，让先生体验勾股定理察觉的全进程展开先生的推理才干和

创新看法;关于勾股定理的逆定理，经过让先生先操作(画直角三角形),再证明(应用全等)的方式来取得.

(3)在本章的尺规作图中，都添加了剖析环节，使先生不只要明白作图的步骤,而且还要了解作图的道理.

(4)在反证法一节中，除引见反证法及证明命题的普通步骤外，还运用反证法对平行线的性质定理停顿

了证明，表达了本套教材在内容上的残缺性.同时对直角三角形全等的“歪边、直角边〃定理也用反证法给

出了证明，使先生从中体会反证法的价值.

【重点】

1.等腰三角形、等边三角形的性质和判定.

2.直角三角形的性质和判定.

3.勾股定理、逆定理及其复杂运用.

4,反证法及其复杂运用.

【难点】

1,等腰三角形、等边三角形的性质及其运用.

2.勾股定理及其逆定理的运用.

1.关于等腰三角形和直角三角形性质和判定的教学，应引导先生在独立思索和协作交流的前提下，停顿

观看与思索、操作与探求等活动并取得猜测,进而一同完成对猜测的证明，落实对合情推理和归结推理的自

然结合，完成提升先生推理看法和推理才干的目的.

2.关于勾股定理的教学，老师要提供充足的时辰和空间，让先生观看、猜测、推理,使定理的察觉成

为先生看法活动的自然后果.

3.关于证明格式、办法和步骤，要让先生在亲身阅历、体验的进程中去逐渐丁解和掌握,此进程切忌急

于求成，更不要以老师的解说昔代先生的活动,要给先生充足的时辰和空间去探求、实际和总结.

4.倡议思想多样化，注重培育先生明晰表达本人思想进程的才干，对先生呈现的多种思绪和办法，应给

予充沛确信并在全班展现，使先生的求异思想和创新看法能失掉及时的表现.

17.1等腰三角形2课时

17.2直角三角形1课时

17.3勾股定理3课时

17.4直角三角形全等的判定1课时

17.5反证法1课时

回想与思索1课时

17.1等腰三角形

1.了解等腰三角形、等边三角形的定义，掌握等腰三角形及等边三角形的性质.

2.掌握等腰三角形和等边三角形的判定办法.

1.经过入手操作及等腰三角形、等边三角形的对称变换掌握其性质和特征.

2.掌握等腰三角形和等边三角形的判定办法，

能应用性质和判定办法处理征询题.

1.体会等腰三角形和等边三角形的对称美.

2.体会数学在理想生活中的普遍运用，看法数学无处不在，提高先生学习数学的兴味.

【重点】等腰三角形和等边三角形的性质和判定办法.

【难点】等腰三角形和等边三角形的性质和判定办法的运用.

第课时

在入手操作的进程中，了解等腰三角形、等边三角形的性所定理,

1.让先生经过入手操作，阅历等腰三角形性质的探求进程，培育先生的入手、归结、概括的才干.

2.培育先生的猜测才干，让先生经过推理证明失掉等腰三角形、等边三角形的性质定理.

培育先生的逻辑思想才干，让先生树立良好的学习观，加强先生仔细学习的态度.

【重点】等腰三角形、等边三角形的性质定理.

【难点】等腰三角形、等边三用形的性质定理的推理和证明.

【老师预备】多媒体课件、各种外形的图形、剪刀.

【先生预备】长方形纸、剪刀.

导入一：

老师事后做出各种几何图形，包括圆、长方形、正方形、等腰梯形、普通三角形、等边三角形、等腰

三角形等.

让同窗们抢答哪些是轴对称图形,提征询什么是轴对称图形,什么样的三角形才是轴对称图形.引入明

天所要讲的课题一等腰三角形、等边三角形的性质定理.

我们明白，有两条边相等的三角形是等腰三角形,下面我们应用轴对称的知识来研讨等腰三角形.

［设计意图］经过区分，让先生察觉等腰三角形是轴对称图形,从而引出能够应用轴对称的性质来确

定等腰三角形.

导入二：

在后面的学习中，我们看法了轴对称图形,探求了轴对称的性廉，同时能够作出一个复杂平面图形关

于某不时线的轴对称图形,还能够经过轴对称变换来设计一些漂亮的图案,这节课我们就从轴对称的

角度来看法一些我们熟习的几何图形.

思索；

三角形是轴对称图形吗？

有的三角形是轴对称图形，有的三肯形不是.

征询题:什么样的三角形是轴对称图形？

满足轴对称的条件的三角形的确是轴对称图形，也的确是将三角形沿某一条直线对折后，两局部能够

完全重合的确实是轴对称图形.

这节课我们就来看法一种是轴对称图形的三角形——等腰三角形.

［设计意图］从三角形的角度，让先生经过思索，了解等腰三角形是轴对称图形，从而自然地引入到本节

课的学习之中，激起了先生的学习兴味和求知愿望.

导入三：

1.出示一组含有等腰三角形的生活图片,让先生感知图片要紧局部外形的共同点.

2.出示自制的测平仪，通知先生含妗。角的三角板顶点固定一条拴着重物的堀子，标出底边中点标志,

它就变成了II平仪.激起先生的猎奇心，从而引入课题.

［设计意图］沉闷课堂氛围,消弭先生的紧张心情，让先生带着征询题进退学习.

［过渡语］刚刚我们明臼等腰三角形是轴对称图形,那么它有哪些性质呢?如今我们就共同来研讨它.

探求一;等腰三角形的性质定理

思绪一

【活动1】

【课件1】如以下图，把一张长方形纸按图中虚线对折，并剪去暗影局部，再把它展开，失掉的A4成有

什么特点？

【先生活动】先生入手操作，观看A/f的的特点，能够察觉AB=AC.

【老师活动】让先生回想等腰三角形的概念：

有两边相等的三总形叫做等腰三用形.在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹

角叫做顶角,腰和底边的夹骨叫做底角.

如以下图，在A被冲，假定册也那么△械’是等腰三角形幽”是腰片是底边,4是顶角,/占和

是底角.

【活动2】

【课件2】观看与思索：

如上图所示,△力欧是等腰三角形，其中AB=AC.

⑴我们明白线段比为轴对称图形:中垂线为它的对称轴，由，仍=〃；可知点A在线段比的中垂线上.据

此,你以为A/I比是轴对称图形吗?假定是，对称轴是哪条直线？

(2)///和/C有如何样的关系？

(3)底边比上的高、中线及//的平分线有如何样的关系？

【先生活动】先生经过观看，然后小组讨论交流，从中总结等腰三角形的性质.

【老师活动】弓I导先生归结;

性质1等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角〃》

［知识拓展］等腰三角形的“等边对等角"的特征是用来阐明两角相等、计算角的度数的常用办法.

性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称"三线合一〃）.

【活动3］你能用所学知识验证上述性质吗？

【课件3】如以下图，在A戒冲,A氏能求证/是NC

【先生活动】先生在独立思索的基础上停顿讨论，寻寻处理征询题的办法，假定证/作依照全

等三角形的知识能够明白只需求证明这两个角所在的三角形全等即可.因而能够作辅佐线结构两个三

角形祚比边上的中线,以证明A/俵9利A/切全等即可,依照条件应用"边边边〃能够证明.

【老师活动】让先生充沛讨论,依照所学的数学知识，应用逻辑推理的方式停顿证明，证明进程中留意

先生表述的精确性和严谨性.

证明:作比边上的中线/应如以下图，那么陷绍

在协和储功中，

因而△仍囱A/O（SSS）,

因而ZD=ZC.

如此，就证明了性质1.

类比性质1的证明你能证明性质2吗？

由A力加”A/倘还可得出/力庆/力妙//陷90°.

从而AD1.比,这也就证明了等腰三角形4r底边上的中线平分顶角//I并垂直于底边BC.

添加辅佐线的办法多样，让先生再去讨论、交流,即用相似的办法能够证明性质2.

阐明:经过以上证明也能够得出等腰三角形底边上的中线的左右两局部经翻折能够重合，等腰三角

形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线的确是它的对称轴.

［知识拓展］等腰三角形还有以下性质：(1)等腰三角形两腰上的中线、高线相等;(2)等腰三角形两个底

角平分线相等;⑶等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.

［设计意图］经过折叠等腰三角形让先生观看，在入手操作中掌握等腰三角形的性质，概括出性质，并

引导先生加以证明，让先生阅历知识的杓成和证明进程,加深了对知识的了解和掌毒

思绪二

要求先生经过本人的思索来作一个等腰三骨形.

【课件4］作一条直线［在1上取点儿在1外取点4作出点3关于直线1的对称点，衔接AB,BC£A.

以上活动所得三角形的两边相等吗?此三角形称为.

小结：【课件5】填出等腰三角形各局部称号.

归结:等腰三角形的定义:有两边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另

一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角.

同窗们在本人作出的等腰三角形由注明它的腰、底边、顶角和底角.

【课件6】

征询题1:等腰三角形是轴对称图形吗？请寻出它的对称轴.

征询题2：经过折叠或测量，看看等腰三角形的两底角有什么关系？

征询题3：顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

征询题I：底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?底边上的高所在的直线呢？

1,先生经过刚刚自主探求，大胆猜洌以上征询题的后果.

2.老师用几何画板直观演示并引导先生观看等腰三角形的性质.(对称性，等边对等角，三线合一.)

小结:等腰三角形的性质：

(1)等腰三角形的荫个底角(简称“〃)；

(2)等腰三角形的,、重合(简称“三线合一”).

3.你能证明以上性质吗？

征询题：

(1)性质1(等腰三角形的两个底角相等)的条件和结论分不是什么？

(2)如何样用数学符号表示条件和结论？

曾经明白:在A4比中，仍〃：

求证:N住NC

请以“顶角的平分线〃为辅佐线,证明以上性质.M组同窗完成以下填空方组同窗独立证明.)老师巡视

辅导点评.

【课件6】证明:如以下图,作/为C的平分线被工/=Z在A四〃与AH⑦中,・二

&A8胎AACDj),乙&乙.

•1.受上述启示，能证明性质2吗？

即证明/胡。的平分线物是八加£底边上的中线和高.

证明:由叱AH⑦知盼炉乙,

,；4AD挤NA聆6,

:・NAD快ZADO°.

因而/胡。的平分线就也是心力比底边W上的中线和高.

5.提征询：作底边上的高,又如何证明？(让同窗讲证明思绪.)

［设计意图］经过作等腰三角形让先生感知其重点,经过几何画板让先生对照图形思索等腰三角形的

性质,同时掌握对性质的证明办法，培育先生的学习才干.

探求二:等边三角形的性质定理

［过渡语］我们明白三边都相等的三角形是等边三角形.等边三角形是专门的等腰三角形，它有哪些

性质呢？

每位同窗画■•个等边三角形,并用量角器量•量每个内角的度数.

结论;等边三角形的三个角都相等，同时每一个角都等于60°.

【课件7］曾经明白;如以下图，在A楸'中,A®吃AC

求证;N走/作2660°,

指点先生应用等腰三角形的性质停顿证明.

证明:在A4％中油/是〃；得/比/£由力信员;得/无.因而/代/是/C由三角形内角和定理可

得/六/庐/R60*8,

［知识拓展］等边三角形是专门的等腰三角形，除了具有等腰三角形的性质外，等边三角形还具有本人

特有的性质:(1)等边三角形有三条对称轴(等边三角形三条边都相等，都能够作为底边);(2)作等边三角形

各边的高线、中线、各角的平分线一共有三条.

［设计意图］让先生经过测量、证明，察觉等边三角形的性质，掌握等腰三角形和等边三角形的关系.

探求三;例题解说

【课件8】

曾经明白:如以下图，在A/I落中，力田/峪初麻分不为乙觥；2力四的平分线，

求证:盼这

（解析）依照角平分线定义失掉/月陟/例/力令/力侬再依照等边对等角失掉/力吐/月团从

而失掉N/1勖=4练然后经过ASA证得％吐“a；就能够失掉BD=CE.

老师巡回指点，在先生完成后，指名口述解答进程.

【课件9】

（补充例题）如以下图，在A4比中仍阳点。在出上，且盼游/〃津A应右中各角的度数.

〔解析〕依照等边对等角的性质，我们能够失樟/A=NABD/ABC/启，BDC,再留NBDC=NA+/

次就可失掉/力哈N8/微＞2NA.再由三角形内角和为180°,就可求出A/LT的三个角的度数.假定设

//为那么/加«/，都能够用x来表示，如此进程就更简捷了.

解油于A+AC,BD=聆AD,

因而ZABO/O/BDC,

/忙NABD.

设/卡乂那么/叱NJ+N/I盼2%

从而乙愉NON胸=2K

在AH8c中，

N4+/力盼/用广2户2尸180°,

解得产36°.

因而乙4=36°吐/072°.

［设计意图］经过对例题的解说、剖析，引导先生运用等腰三角形的性质，让先生掌握解题思绪和办法,

提高先生对等腰三角形性质的运用才干.

1.等腰三角形的性质I

等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角〃）.

留意:等边对等角只限于在同一个三角形中运用.

2.等腰三角形的性质2

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一"）.

阐明:等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线（底边上的高、顶角平分线）所在的直线是它的对称轴.

3.等边三角形的性质

等边三角形的三个角都相等，同时每一个角都等于60°.

1.假定等腰三角形的顶角为40°,那么它的底角度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

解析油于等腰三角形的两个底角村等,顶角是40°,因而其底角为=70°.应选D.

2.一个等腰三角形的两边长分不是3和7,那么它的周长为（）

A.17B.15c.i3D.13或17

解析:①当等腰三角形的腰为3,底边为7时,3+3<7,不能构成三角形;②当等腰三角形的腰为7,底边为3

时,周长为3+7+7=17.故那个等腰三角形的周长是17.应选A.

3.如以下图,4?是等边三角形4旗的中线/田布，那么/胡T等于（）

A.30。B.20。C.25。D.15。

解析:：旦比是等边三角形,.R庆力C/创仁/心60°是A4％的中线，，/加仁/阳生30°,初

_1_黑.'・/力妗901'."后力〃,・'.2力岳/力£度=75°,.'./£膜/月比'-/月修90°-75°=15°.应选D.

4.如以下图」〃切，等边三角形48c的顶点8在直线加上，边仪、与直线刃所成的锐角为20°,那么N。的

度数为（）

A.60°B,45°C,40°D,30°

解析:如以下图，过。作四〃直线m；：l〃m,：.l〃m〃Cm：.4馅Na、NB（庐4cBp=20"；：XABC是等

边三角形,・•・/〃法60。，.'.Na+N四伫N〃»=60。，二/。=40°.应选C.

5.如以下图，在△?!和中，仍祐初上放于点〃，假定仍6,64,那么AH%的周长是.

解析:.在A/%中/伊花,AH比是等腰三角形।又贸,于点D、：.BD=CDJ：AB=6、CIM,：.&ABC

的周长=6+4+4+6=20.故填20.

6.如以下图，在A4r中/走70°亿;5平分/月绥求/心心的度数.

解析油力9=力;及顶角的度数，应用等边对等角失掉两底角相等，再应用三角形内角和定理求出底角

的度数，再由行为底角的平分线，求出/ZO的度数，由//必为三角形阳9的外骨，应用外角性质即可求出/

/q的度数.

解:,在中，/力=70。，四=阳

，/#4355。，

又平分乙1纲

AZ/O=Z/f^27.5°,

•；44为A筋的外角，

:楙/DC隹82.5°.

7.如以下图，等边三角形/6C中，〃为边的中点，过C'作废//仍且/但_1优那么后4/吗？清阐

明理由，

解析:依照AH欧为等边三角形，〃为〃'边上的中点失掉月白留，/胡仁/第=60°，做-L”；求出/

8游90"由四/%9得/4循/胡乙应用三角形内角和定理得出层/力劭.

解;/*/力能理由如下；

:△/1先为等边三角形，〃为力。边上的中点，

；.AC=BA/BAC=^BCA=6Q0,BDLAC

・'・/应在90°,

'；AE【CE、：•乙AEC=乙BDA=90°,

又■:CE〃杷、

:・ZAC扶NBA"

：.180°-90°华=180°-90°-ZBAD,

:.ZCAa/ABD.

第1课时

探求一:等腰三角形的性质

探求二:等边三角形的性质

探求三:例题解说

例1

例2

一、教材作业

【必做题】

1.教材第142页练习第1,2,3题.

2.教材第143页习题八组第1,2,3题.

【选做题】

教材第143页习题B组第1,2题.

二、课后作业

【基础稳定】

1.如以下图，在A/I欧中J作力4乙4=30°，以"为圆心，欧的长为半径圆弧交力。于点"衔接必那么4初等

于（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.如以下图，在A/（应'中点〃在和上/庐作80°,那么NC的度数为（）

A.30dB.40°

C.45°D.60°

3.曾经明白等腰三角形力比的周长为13,且各边长均为整数，那么如此的等腰三角形力瓦.有（）

A.5个B.4个

C.3个D.2个

4.如以下图，在A/L5C中,/吩花且〃为比上一点,伊劭，那么N8的度数为（）

A.30°B.36°C.40°D.450

5.如以下图,A/原是一房屋人字架，其中力庐阳为使人字架愈加稳定，房要紧求在顶点,4和横梁比之间加根

柱子加,可木工却不知将，点钉在比何处才干使,M_1_8c请同窗们帮帮他,并阐明理由.

【才干提升】

6.如以下图,Ad砥是等边三角形”是四上一点，〃是比延伸线上一点，桁接应;龙；假定/出240°,给庞；

求乙a密的度数.

7.如以下图，在A力比中/是力切9为a'边上一D点2&30。，/%作45°.

⑴求/总C的度数；

⑵求证M=AB.

【拓展探求】

8.曾经明白等腰三角形一腰上的中线将三有形的周长分为9cm和15cm两局部，求那个等腰三骨形的底

边长和腰长.

9.曾经明白等边三角形/双'和点，设点力到回的距离为九点〃到A/IW的三边必尼式的距离分不为

h“h”h”

⑴如图⑴所示，假定点〃在边比上，求证hChmh.

(2)如图(2)所示，当点P在A4T内时，猜测力M七俳和人有什么关系？并证明你的结论.

⑶如图⑶所示，当点P在A/I以外时也羯入和人有什么关系？

【答案与解析】

LB(解析:。心阳乙4=30°,，/胸=2和9=(180°-24)=(180°-30°)=75°祈以3为圆心，比的长为半径

圆弧交"于点〃，淤版・'・/怫1800-2/4％=180°-2X75°=30°,，4处/力心/

曲75°-30°=45°.)

2,1乂解析；・.・41故中)比/1〃,/比80°,・,・/伊//妙8Q°，,4加0=180°一/片妙100°；：AFCD、"

6>=40°.)

3.。(解析洞长为13,边长为整数的等腰三角形的边长只能为：3,5,5；或4,4,5；或6,6,1,共3个.)

4.B(解析:庐〃;・'.4B=ZC；：A氏BD、.4BAD=4BDA：：CD=AD,：./浏/小■/

£180°,・'・5/庐180\.'・/庐36°,)

5,解:木工将。点钉在砥中点处能使/切_1_砥理由如下:'.""l"7比；，初_1_弘

6,解：,：AABC是等边三角形、：.NABC=，A眸60。；：NAB及40。、：,NE除NABC-N

/I麻=600-40°=20°游历;历/酒20"，/四//8-/庆40°.

7.⑴解庐花.•・/生/830°「.・/★/胡力/庐180°,・••/阳信180°-30°-30°=120°,7/

场作45°,.・・/曲伐/胡。-/彼120°-45°=75°.(2)证明:淤N*NZW距75°

ZDAUZADC、：.DC=AC；：AD=ACt\DC=AE

8.解:设等腰三角形的腰长为苫如以下孰..・A/比是等腰三角形,四=区由砌是"边上的中线，有力济必=9

或，仍M%15,分下面两种状况:⑴衣尸9；•尸6「・・三角形的周长为9+15=2«cm)「.三边长分不为

6,6,12,,.,6%6=12,不契合三角形的三边关系，，舍去；

(2)户产15,...产10.・..三角形的周长为24cm,...三边长分不为10,10,4.综上可知那个等腰三角形的底边长

为4cm,腰长为10cm.

9.⑴证明:如图⑴所示，衔接仍那么£一£,〉•£.”,・'•妆7•4气加・物力。・小即BJh=AB・A+M・儿又

'/A/配是等边三角形,.，・游力庐也.，・左发友(2海:/尸方也”,,证明如下:如图(£)所示，衔接AP,BP,CP,那么

$、傀=6，的+5“断”，心,，%・A.^AB-PD^AC-PRBC・%;即BOFAB・h^AC-h让RO鼠又：AH欧是等边

三角形,俏/4c，加%+也+扁(3)解止4+万厂心理由如下;如图(3)所示，衔接阳国印,由三角形的面积

公式得—敬=$&时$AX$W，即必・雁AB・"AOPF-BC，/%；•；是等边三角

形,；"片眸AC、工hChjhFh,

这节课是在先生曾经学习了三角形的有关概念和“看法轴对称图形〃的基础二停顿学习的，先生曾经掌

握了三角形的相关知识，具有初步的探求学习阅历.同时本节课的内容不只是对后面所学知识的运用，也是

今后证明角相等、线段相等及直线垂直的重要工具,它在教材中处于特不重要的位置.由于等腰三角形的

性质在日常生活中有普遍的运用，因而探求察觉等腰三骨形的性质是这节课的重点;同时，对“三线合一”

性质的了解和运用,先生有一定的难度是这节课的难点.为了突出重点，老师充沛创设征询题情境，处理征

询题;为了打破难点，老师引导先生阅历入手折纸，入手画图、对比剖析、提出猜测,小组讨论、察觉，

归结总结等活动，加以化解.老师在整个教学进程中要紧经过入手操作、直观演示、小组讨论、自主探求、

协作交流、察觉归结等多种教与学的方式，确保先生是学习的主人，老师是组织者、引导者、协作者.同时

为了更好地启示、感染和调动先生,提高教学效率，采用课件辅佐教学，充沛开发和应用教育资源为课堂教学

效力.在教学办法上，本节课以先生为主体,老师真正成为先生学习的组织者、引导者、协作者.特不是在探

求“三线合一〃的性质时，老师给出探求主题，先生以小组为单位，协作交流，自主探求、察觉.

本着“征询题是数学的心脏〃原那么，老师精心设计了一些征询题，在教学进程中有半数的先生回答

了老师的提征询，但碍于教学方案，有的征询题在回答进程中还不时失掉老师的提示，如此招致的后果是

难于察觉先生真实的思想进程.“多提征询〃因而有利于先生思索和了解知识，有利于了解先生掌握知

识的水平.但在倡议培育创新肉体和实际才干的明天,更要注重对先生征询题看法的培育.但老师在本节

课的教学设计中留给先生的时辰和空间偏少,招致先生察觉征询题、提出征询题太少，久而久之,会使先

生征询题看法淡化，

征询起于疑，疑源于思,课堂上老师要为先生质疑制造足够的空间和时辰.在征询题处理进程中培育

先生征询题看法和察觉征询题、提出征询题的良好适应，在探求征询题的进程中，老师一定要让先

生本人去察觉，只要由先生本人察觉的东西，才是最真实的，也是最容易掌握的.在先生回答以下征询题

时，老师饕适当点拨，但不能替代先生回答本人提出的征询题，一定要让先生说,哪恰是错误的，也是经过先

生思索得来的.

【练习】(教材第142页)

1.提示:⑴70°.(2)45。.(3)35°.(4)60°.图略.

2.提示:⑴20°.(2)80°.(3)90°.(4)120°.

3.解:⑴能够是锐角，不能够是直角和钝角.由于等腰三角形两底角相等，当底角为直角或钝角时，三角

形内角和大于180°,与三角形内角和等于180°相矛盾，因而底角不能够是直角或钝角.(2)都能够，

由于都契合三角形内角和定理.

【习题】(教材第143页)

A组

1.解:⑴图中有3个等腰三角形，它们分不是制A4阴,A8Q?.(2)由于力作戊;因而N4吐NC由于

6加6c因而4C=^BDC.由于6"以因而Z/i=ZZ?M设乙4=/物=a，那么N/1的片/仁2。.在RA6C

中/力册片180°,因而2a+2a+。=180°,即5”180°,因而。=36°同乙右36°.

2,解;⑴80。，20°或50。，50。，(2)4。。，40。.(3)设那个三角形的顶角为,那么其底角为二油题

意得”产广180,,.，七9。,产45..••那个三角形三个内角的度数分不为90°,45°,45°,

3,解:TA/1欧为等边三角形，"左伍/劭060"又NO快N劭伊乙软＞60°=30°.

4.解;皮皮;/乐50°,・'./〃》=/创e=65。.'：AC=CD、：.KD

=/颁义/吠/次/)。・'・/月。2/2・'・2/76515,・'・/介32,515.

B组

L解:设腰长为xcm.①当腰长大于底边长时，户户18,・'.尸12,如今底边长为15*l5T2=9(cm).②当腰长小

于底边长时，户户151・'・尸10,如今底边长为18r=I8T0=13(cm).综上可得等腰三角形的底边长为9cm或13

cm.

2.解:相等,相等.曾经明白:如以下图，在△4比中,/俗=〃；做这分不是优伸边上的中线典O/分不是.匕加

边上的高.求证/立;泓口7/证明::仍〃:以"•分不为边上的中线,・・,4M&4后仍.••初=然在4

4劭和A4优中,，AABD^AACE,：.BFCE.,:A旧AC,：.ZAC步/ABC；：BG,CH分不为/4C4/?边上的高,，ABGO

N4伤90°.在A跖C和AO协中,；,A跖gAG阻.••舲以

等腰三角形的性质与运用

等腰三角形"三线合一”的性质在初中几何证明和计算中占据了特不重要的位置，实践上那个性质的

逆定理在证明中的直截了当或直接运用也不亚于那个性质的直截了当运用，能够作为判定等腰三角

形的一种重要思绪.由于书上没有直截了当给出逆定理，因而特不多先生在解题时特不难想象到应用

这一定理来处理征询题,致使于在几何证明进程中思想受阻，不能正确地作出辅佐线.

因而在教学中，老师假定掌握好等腰三角形“三线合一〃性廉的逆定理在辅佐线教学中的运用,掌握好

化归思想办法的渗透，将有助于让先生掌握解题的关键，更好地培育和展开先生的思想才干,有助于先生打

破解题的难点，明白辅佐线的添加，探明解题的办法,从而协助先生提高处理征询题的才干，

u三线合一”性质;等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合，

逆定理;①假定三角形中任一角的平分线和它所对边的中线重合，那么那个三角形是等腰三角形，

②假定三角形中任一角的平分线和它所对边的高重合，那么那个三角形是等腰三角形.

③假定三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么那个三角形是等腰三角形.

简言之:三有形中恣意两线合一,必能推导出它是一个等腰三骨形.

学习本节的关键之一是让先生经过剪切、折叠，察觉线段和角的关系,从图形中观看并总结出等腰三

角形的性质.教学中要留意引导，不要急于得出结论，在操作进程中，让先生翻折不同的等腰三角形，如顶角是

锐角、钝角或直角的等腰三角形，阐明在翻折进程中相应的角的大小和线段的长短关系都没有发作变化;还

能够让先生探求普通的三角形能否一定有这种性质，进一步体会等腰三角形所具有的特点.

如以下图,A力欧中，月庐也助是况边上的高,/a任26°,/万必求/腕的度数.

〔解析〕由等腰三角形“三线合一〃知/力加/0加26°,由等边对等角和三角形内角和定理可求得

NADE=TT,在RtAADB中2B帐NAD3-/ADE.

解小4C入是高,

物窃仄26°.

*：AD=AE,

4游/力砂(180。-26°)+2=77°.

・'./止90。-77°=13°.

小明做了一个如以下图的“风筝〃骨架，其中力作4U片微

⑴八年级王云同窗观看了那个“风筝〃骨架后，他以为力乙L加，垂足为点£同时除创,你赞同王云的

推断吗？什么缘故？

⑵设AC=a,»b,清用含a力的式子表示四边形/18⑶的面积.

〔解析)(1)依照SSS证A力比且A小匕推出/物心/加6依照等腰三角形“三线合一”推出即可;(2)

四边形力解的面积为eSuM&3F期〉3c代入求出即可.

解:⑴•・•在△胞和4胸中,

:.AABC^AH砥SSS),:.NBACNMC,

•・"庐w.•.力c_L时止如

(2)・・•般凡初=〃

...四边形月筋的面积於3、瞰Sh*BDX仍创X语做X(AE+C忏BDXAOab.

用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形.

(1)假定腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？

(2)能围成有一边长为5cm的等腰三角形吗?假定能，央求出它的另两边长.

〔解析)(1)设底边长为xcm,那么腰长为2xcm,依照周长公式列一元一次方程,解方程即可求得各边

的长;(2)题中没有指明5cm长的边是底边依然腰，故应该分状况停顿讨论，留意应用三角形三边关系停顿检

睑

解：(1)设底边长为xcm,那么腰长为2xcm,

依照题意得2户2户行20,

解得炉4,，2户8,

，各边长为8cm,8cm,4cm.

⑵①当5cm为底边长时,腰长为7.5cm;

②当5cm为腰长时，底边长为10c叫

V5+5=10,不能构成三角形，故舍去，

因而能构成有一边长为5cm的等腰三角形，另两边长为7.5c叫7.5cm.

如以下图,两根钢绳一端用铁柱固定在空中上，另一端固定在电线杆上（电线杆垂直于空中），曾经明白

两根钢绳的长度相等，那么两个铁柱到电线杆底部的距离8。与8相等吗？什么缘故？

〔解析〕曾经明白两根钢绳的长度相等，因而A力故、是等腰三角形，由于电线杆垂直于空中，因而依

照等腰三角形“三线合一”的性质可知蚣如.

解:必与中相等.理由如下：

*：AB=ACl

・・・人力宏是等腰三角形，

由题知d0_L的,

因而两个铁柱到电线杆底部的距点必与。〃相等.

第课时

1.了解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定定理.

2,运用等腰三角形、等边三角形的判定定理停顿证明和计算,

1.了解并掌握“等角对等边〃，体会与“等边对等角〃的互逆关系.

2.能够应用等腰三角形和等边三角形的判定定理处理征询题.

1.提高先生的入手才干，学会数学说理,展开初步的归结推理才干.

2.引导先生观看，察觉等腰三角形、等边三角形的判定定理，让先生从思索中取得成功，在那个进程

中体验学习的兴味.

【重点】等腰三骨形、等边三角形的判定定理.

【难点】边、角关系相互转化及运用.

【老师预备】课件15

【先生颈备】温习等腰三角形、等边三角形的性质.

导入一：

【课件1］某地质专家为估测一条东西流向的河流的宽度，选择河流北岸上一棵树（/，点），然后在这棵

树的正南方,1点插一小旗作标志，沿南偏东60°方向走一段距离到C处时，测得优为30°,这时,地质专

冢只需测得的长度就可知河流宽度.

先生们特不想明白，如此估测河流宽度的依照是什么?带着那个征询题,引导先生学习“等腰三角

形、等边三角形的判定定理〃.

导入二:

老师提出征询题目导先生思索，

1.什么样的三角形叫做等腰三角形？

2.等腰三角形的两底角有何关系？

谁能通知我如何样去判定一个三隹形是不是等腰三角形？

除用两边相等判定等腰三角形外,能否还有其他办法?由此引入课题.

等腰三角形的两个底角是相等的,反过去，假定一个三角形有两个角相等，那么那个三角形能否一定是

等腰三角形呢？

［设计意图］好过征询题引入，激起先生的学习兴味,同时使先生看法到等腰三骨形的性质与等腰三角

形的判定办法能否存在一种专门关系，从而掀起先生的探求愿望，使他们能更好地投入到学习中.

导入三：

关于一个三角形，如何样判定它是不是等腰三角形呢？我们曾经明白的办法是看它能否有两条边相等.

如今我们将学习另一种判定办法.

活动一：等腰三角形、等边三角形的判定定理

［过渡语］我们曾经明白假定一个三角形有两条边相等,那么它们所对的角也相等,反过去,假定一个

三角形有两个角相等，那么它们所对的边能否相等呢?下面我们就来研讨那个征ifO题.

1.等腰三角形的判定定理

思绪一

［课件2］曾经明白在△力比中，/伊NC

(1)请你作出2为C的平分线

(2)将△9。沿四所在直线折叠，'仍T被直线初分红的两局部能够重合吗？

(3)由下面的操作，你能否察觉了边.仍和边/IC之间的数也关系？

先生思索老师提出的征询题，得出结论;△力成被直线初分红的两局部能够重合/庐力C

从下面的探求我们不难察觉；假定一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.

如何证明？

。)在这一征询题中,条件和结论是什么？

(2)用数学符号如何样表示？

老师引导提示，先生依照提示画出图形，并写出曾经明白、求证.

曾经明白:在顾中，/左/C

求证:力雄〃：

与先生一同回想等腰三角形性质的证明进程，从作底边上的高、中线、顶角平分线三个方面剖析.让先

生逐一尝试，察觉能够作4LLH;或加平分/四C；但不能作外边上的中线，

先生行动证明后,选一种办法写出证明进程.

证明:如以下图，作△42。的角平分线力。

在AHI〃和A。。中，

・'.A砌屋A。以AAS),

：.A&=AC.

归结等腰三角形的判定办法:

假定一个三角形有两个角相等，那么那个三角形是等腰三角形，其中，两个相等的角所对的边也相等，

简称“等角对等边".

阐明:三角形的“两边相等〃和“两角相等〃全然上指在同一个三角形中才干失岸•等边对等角"及“等

角对等边〃」等边对等角"是性质一等角对等边〃是判定办法.

［知识拓展］假定一个三角形一边上的高、中线和这条边所对的角的平分线中有恣意两条线段相互重

合，那么那个三角形的确是等腰三角形,这种办法是补充的一种办法，能够协助我们解题时寻思绪，而在

实践的解题进程中往往要转化为判定办法来处理.线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质也能够推

断相等，从而进一步阐明三角形是等腰三百形.

思绪二

环节一:等腰三角形的判定办法

征询题1:你会画等腰三角形吗？

能够让先生以小组为单位停顿讨论如何画一个等腰三角形.先生能够会说在画出的三角形中使两边

相等，

总结:等腰三角形的判定办法1:有两边相等的三角形是等腰三角形.

征询题2:有两边相等的三角形是等腰三角形，那么有没有其他的画等腰三角形的办法？

假定先生回答能够画三角形，使得有两个角相等，弓I导先生思索征询题3；假定先生不能想到两角相

等，那么能够引导先生回想等腰三角形的性质.

征询题2：三角形中的两个角相等那个三角形是等腰三角形吗？什么缘故？

环节二:实验

实验目的:画一个三角形，使得其中的两个角相等，剪上去观看是不是等腰三角形，

【课件3】作法:⑴画一条线段Z抬

⑵以比为始边，分不以点6和点C为顶点，在灰的同侧，画两个相等的角；

(3)两角终边的交点为点力,那么在A力比中"=/；

⑷寻出网的中点。衔接他那么的是A”C的线；

(5)沿助对折，你有什么新察觉吗?请把你的新察觉记载上去：

__>

(6)与同窗们分享一下你的新察觉

⑺得出结论:

结论:等腰三角形的判定办法2:假定一个三角形有两个角相等，那么那个三角形是等腰三角形.其中,

两个相等的角所对的边相等(简称“等角对等边〃).

如以下图，在A4比中，假定/是/C那么49=/16你能证明那个命题成立吗？

老师引导先生加以证明，一名同窗板演进程，老师讲评.

2.等边三角形的判定定理

【过渡语］我们明白等边三角形是专门的等腰三角形，那么如何样判定•个三角形是等边三角形呢?

探求1:如以下图,A/IW中，假定/主/是/C；那么A力灰、是什么三角形？

等边三角形.什么缘故？

,力定哈a(等角对等边).

归结:等边三角形的判定办法1:

三个角都相等的三角形是等边三角形，

探求2：A幽C中，假定，炉/峪那么还需添加一个什么条件,才干使A/1%•为等边三角形？

有一个角为60。.

等边三角形的判定办法2;有一个隹是60。的等腰三角形是等边三角形，

阐明:先独立猜测,然后以小组为单位对本蛆成员的一切猜测经过画图停顿验证.

［知识拓展］在推断一个三角形是不是等边三角形时，我们可从边或角的角度去推断，关于"有一个角

是60°的等腰三角形是等边三角形〃在运用时应留意，其前提条件必需是“等腰三角形〃，如今，不论60°是

顶台依然底角,都能够阐明三骨形是等边三角形.

活动二;判定定理的运用

【过渡语】刚刚经过探求，我们掌握了等腰三角形的判定办法，应用等腰三角形的判定办法我们能够

识不一个三角形是不是等腰三角形，还能够应用它处理一些其他的征询题.

1.【课件「1】求证:假定三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么那个三角形是等腰三角

形.

引导先生依照命题画出图形，应用角平分线的性质及“等角对等边〃来证明.

先生讨论后,本人完成证明进程.

曾经明白：/◎尸是的外角,/1二/2,助〃阳如以下图）.

求证:月/BfC

解析:要证明月庐灰；能够证明/生NC由于N『N2,因而能够设法寻出N£,NC与NLN2的关

系.

证明:次

1=/况),

々/a),

"=/2,

：,AB^AC().

2.【课件5】

(教材例2)曾经明白底边及底边上的高，用尺规作等腰三角形.

如图⑴所示,曾经明白线段a和力.

求作等腰三角形低;使BUa高心h.

解:作法：

⑴作线段於a

⑵作线段a,的垂直平分线.姒垂足为点D.

(3)在ZW上截取/加九

(•1)衔接AC.BC.

那么A的确是所求作的等腰三角形.如图(2)所示.

先生经过例2的学习，官主探求作图办法.

1.等腰三角形的判定定理

假定一个三角形有两个角相等，那么那个三角形是等腰三角形,其中，两个相等的角所对的边相等,（简

称“等角对等边“）

阐明:。）等腰三角形的判定定理与性质定理互逆；

（2）在判定定理的运用中，能够作底边上的甬也能够作顶角平分线，但不能作底边上的中线；

（3）判定定理在同一个三角形中才干适用.

2.等边三角形的判定定理

（1）三个角都相等的三角形是等边三角形.

（2）有一个角等于60。的等腰三有形是等边三角形.

1.如以下图，在A屈7中,小〃;点4P在旗边上，/械t/物氏N以心36°,那么图中等腰三角形的个数

是（）

A.4个B.5个C.6个D.7个

解析:'・"小"；/叱36°侬36°,/附＞108°片/胡仁36°阴？/的氏N

场036°庞=N4第=72°AABC,△ABD,AADE,△ACE,△ACD,A力比均是等腰三角形洪有6个.应选

C.

2.如以下图，一艘海轮位于灯塔，的南偏东700方向的〃处，它以每小时40海里的速度向正南方向飞

行,2小时后抵达位于灯塔〃的北偏东401;的八处，那么,V与灯塔〃的距离为（）

A.40海里B.60海里C.70海里D.80海里

解析:就世2乂40=80（海里），由题意知/生70°,/年40°明上180°-Z.1/-Z

Atl809-709-409=70’，；./A朋=/犀It代M/80海里.应选D.

3,如以下图/是等边三角形力加中1C边上的点火曲那么龙的外形是（）

A,等腰三角形B,等边三角形

C,不等腰三角形D.不能确定外形

解析:'.F4成为等边三角形,作〃:止aWAAB曜AACD、：.AaAD/BAE=4

CD60°/•AH%'是等边三角形.应选民

•1.曾经明白A被；中M作〃;以下结论：

①假定力是员;那么&力发'是等边三角形；

②假定/在60°,那么A/f比是等功三月形；

③假定/作60。，那么人方C是等边三角形，

其中正确的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

解析―CmBa：,止AC=BG：.八四〃是等边三角形,・・总正确;方田阳/乐60°,・・・AABC是等边

三角形J.②正购,・"庐北/生60°,.,.4/1点是等边三角形，，③正确.正确的有3个.应选D.

第2课时

活动一：等腰三角形、等边三角形的判定定理

1.等腰三角形的判定定理

2.等边三角形的判定定理

活动二:判定定理的运用

例题

一、教材作业

【必做题】

1.教材第145页练习第1,2题.

2.教材第146页习题A组第1,2,3,4题.

【选做题】

教材第146页习题B组第1,2题.

二、课后作业

【基础稳定】

L如以下图,46生N6*=40°,例/例,小4,那么第等于（）

A.2B.3C.4D,5

2.如以下图净力比中幽切平分4比；/月期过〃作直线平行于B&交嘏AC于££当4的位置及大小变

化时，线段外;和