《含期末15套》东北师范大学某中学2019-2020学年高二年级下册数学期末模拟试卷含解析

东北师范大学附属中学2019-2020学年高二下数学期末模拟试卷

一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分）

1,已知函数/（x）=x+xlnx,若kwZ,且然x—2）</（x）对任意的x>2恒成立，贝必的最大值为

A.3B.4C.5D.6

2.如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个

数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水

果个数的不同选择方案共有（）

A.50种B.51种C.140种D.141种

3.一个停车场有5个排成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有2个相邻的

停车位空着，则不同的停车方法共有

A.6种B.12种C.36种D.72种

n3

4.一于5>sinor=-5,贝！|cos（-a）的值为（）

4433

A.---B.-C.一D.--

5555

i7

5.随机变量X服从正态分布X-N(l(),cr”P(X>12)=m,P(8WX<1())=〃，则上+±的最小

mn

值为（）

A.3+40B.6+2&C.3+2后D.6+4夜

6.通过随机询问111名性别不同的中学生是否爱好运动，得到如下的列联表：

男女总计

爱好412131

不爱好212151

总计3151111

n(ad-心得_"OxaOxJO-ZOxZOy〜&

(a+b\c+d\a+c\b+d)60x50x60x50

>左）1.1511.Ill1.Ill

k2.8413.32511.828

参照附表，得到的正确结论是（）

A.在犯错误的概率不超过1.111的前提下，认为“爱好运动与性别有关”

B.在犯错误的概率不超过LH的前提下，认为“爱好运动与性别有关”

C.在犯错误的概率不超过1.111的前提下，认为“爱好运动与性别无关”

D.有99%以上的把握认为“爱好运动与性别无关”

7.某班级在一次数学竞赛中为全班同学设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，且奖品的单价分别

为：一等奖20元、二等奖10元、三等奖5元、参与奖2元，获奖人数的分配情况如图所示，则以下说法

正确的是（）

A.参与奖总费用最高B.三等奖的总费用是二等奖总费用的2倍

C.购买奖品的费用的平均数为9.25元D,购买奖品的费用的中位数为2元

8.如果根据是否爱吃零食与性别的列联表得到K?=5.852,所以判断是否爱吃零食与性别有关，那么这

种判断犯错的可能性不超过（）

注：

1

p(K>90.1000.0500.0250.0100.001

k2.7063.8415.0246.63510.828

A.2.5%B.0.5%C.1%D.0.1%

9.甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2,全年比赛进球个数的标

准差为3；乙队平均每场进球数为1.8,全年比赛进球数的标准差为0.3,下列说法中，正确的个数为（）

①甲队的进球技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；

③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏.

A.1B.2C.3D.4

10.已知复数1z是共扼复数，若万。=1—3其中i为虚数单位，则同=（）

15

A.-B.\C.V2D.2

22

11.已知圆。：/+丁2-2%=0,在圆。中任取一点P,则点P的横坐标小于1的概率为（）

21|

A.—B.-C.—D.以上都不对

）42

12.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线°为正态分布YLLL的密度曲线）

的点的个数的估计值为（）

附：若丫~贝DQ-a<X<n+a）=0.6826,P（ji-2a<X<n+2a）=0.9541

1

A.1193B.1359C.2718D.3413

二、填空题：（本题共4个小题，每小题4分，共16分）

13.已知随机变量4〜N（（）,，），若尸（一1＜《＜0）=0.3,则。值＜1）=.

Ixlx＜m

14.已知函数/1（无）={丁一其中帆＞0,若存在实数b,使得关于x的方程f（x）=b

x-2mx+4m,x＞m

有三个不同的根，则m的取值范围是.

15.将一颗骰子抛掷两次，用机表示向上点数之和，则〃壮10的概率为.

x-l+2t

16.将参数方程三，（tcR，t为参数）化为普通方程____________.

y=2-「

三、解答题：（本题共6个小题，共74分）

17.（本题共12分）

如图，在三棱锥P—ABC中，两两垂直，PA=A6=AC=3,且。为线段BC的中点.

（1）证明：8C_L平面PAO；

（2）若==求平面P4B与平面尸OE所成角的正弦值.

2

18.（本题共12分）

v2

已知点尸是双曲线C:尤2一2_=1上的点.

4

（1）记双曲线的两个焦点为耳F2,若居,求点P到x轴的距离；

（2）已知点M的坐标为（0,2）,。是点P关于原点的对称点，记;l=求2的取值范围.

19.（本题共12分）

为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成48两组，每组

100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，8组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔

浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到

如下直方图：

记。为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.7().

(1)求乙离子残留百分比直方图中的值；

(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).

20.(本题共12分)

为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，

其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发

生的概率；

(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

21.(本题共12分)

已知函数,f(x)=g|x-a|(aeR).

(1)当。=2时，解不等式x-g+/(x)21；

(2)设不等式卜一j+的解集为何，若求实数〃的取值范围.

22.(本题共14分)

某市要对该市六年级学生进行体育素质调查测试，现让学生从“跳绳、短跑400米、长跑1000米、仰卧

起坐、游泳100米、立定跳远”6项中选择3项进行测试，其中“短跑、长跑、仰卧起坐”3项中至少选

择其中1项进行测试.现从该市六年级学生中随机抽取了50名学生进行调查，他们选择的项目中包含“短

跑、长跑、仰卧起坐”的项目个数及人数统计如下表：(其中x<)‘)

选择的项目中包含“短跑、长跑、

123

仰卧起坐”的项目个数

人数5Xy

已知从所调查的50名学生中任选2名'他们选择“短跑、长跑、仰卧起坐”的项目个数不相等概率为石'

记&为这2名学生选择“短跑、长跑、仰卧起坐”的项目个数之和.

(1)求x的值;

(2)求随机变量J的分布列和数学期望.

参考答案

一、选择题：(本题共12个小题，每小题5分，共60分)

1.B

【解析】

由x〉2，则k(x-2)<f(x)=尤+xln_r可化简为k<空，构造函数

,、x+x\nx-，/、(lnx+2)(x-2)-(x+xlnx)x-21nx-4

g(“卜丁f'Q2，g(*匹牙=FF'令a

2x—2

/z(x)=x-21nx-4,贝！］//(%)=1——=---->0,即/i(x)在(2,+oo)单调递增，设)=0,因为

"8)=4-21118<0,耳9)=5-2也9>0,所以8<飞<9,且111%=当±故8(力在(2,%)上单调递

“0一4

x+xlnx_x°+x°,

减，(事,内)上单调递增，所以8⑺=g(x°)Qo02」。仁百又

---------——t

/一2工。-22

k<^(x)niin,/.k<4,即k的最小值为4,故选B.

点睛:本题考查函数的恒成立和有解问题，属于较难题目.首先根据自变量x的范围，分离参数和变量,转化为

新函数g(X)的最值，通过构造函数求导判断单调性，可知g(x)在(2,X。)上单调递减，(小,+8)上单调递增，

所以gUUn=g(毛)，且In%=百/，8<%<9,通过对最小值化简得出g(%)的范围，进而得出k的范

围.

【解析】

试题分析：小明共有6次选择，因为第一天和第七天均吃3个水果，所以在这6次选择中“多一个”和“少

一个”的次数应相同、“持平”次数为偶数.当6次选择均为“持平”时，共有以=1种方案；当6次选择中

有4次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各一次，共有个C：=30种方案；当6次选择中有2次“持平”

时，选择“多一个”和“少一个”各2次，共有京戏仁=90种方案；当6次选择中有0次“持平”时，选择“多

一个,，和“少一个,，各3次，共有盘=20种方案.综上可得小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择

方案共有1+30+90+20=141种方案，故D正确.

考点：排列组合，考查分类讨论思想.

3.B

【解析】

【分析】

分类讨论,利用捆绑法、插空法，即可得出结论.

【详解】

把空着的2个相邻的停车位看成一个整体，即2辆不同的车可以停进4个停车场,

由题意,若2辆不同的车相邻,则有用号=4种方法

若2辆不同的车不相邻,则利用插空法,2个相邻的停车位空着,利用捆绑法，

所以有(8+用)用=8种方法，不同的停车方法共有：£=4x3=12种，

综上,共有12种方法，

所以B选项是正确的.

本题考查排列、组合的综合应用,注意空位是相同的,是关键.

【解析】

【分析】

利用同角三角函数的平方关系计算出cosa的值，再利用诱导公式可得出cos(-«)的值.

【详解】

34

QcrG，cosa>0,且cosa=Jl-sin'a=

55

由诱导公式得cos(—a)=

【点睛】

本题考查同角三角函数的平方关系，同时也考查了诱导公式的应用，在利用同角三角函数基本关系求值时,

先要确定角的象限，确定所求三角函数值的符号，再结合相应的公式进行计算，考查运算求解能力，属于

基础题.

【解析】

【分析】

利用正态密度曲线的对称性得出加+〃=』，再将代数式2m+2〃与工+2相乘，展开后可利用基本不等

2mn

式求出工+2的最小值.

mn

【详解】

由于X:N（10,〃），由正态密度曲线的对称性可知，P（X>12）=P（X<8）=m,

所以，P（X<8）+P（8<X<10）=1,即加+〃=g,:乜根+2〃=1,

由基本不等式可得_L+2=j_L+2]⑵篦+2〃）=攸+&+6N2、叵互+6

mnn）nmynm

—4\/-24-G

41%2A7

当且仅当一=一（m>0,〃>0）,即当〃=可时，等号成立，

nm

12r-

因此，—।—的最小值为6+4厂2）故选D.

mn

【点睛】

本题考查正态密度概率以及利用基本不等式求最值，解题关键在于利用正态密度曲线的对称性得出定值，

以及对所求代数式进行配凑，以便利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题.

6.B

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：根据列联表数据得到7.8,发现它大于3.325,得到有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性

别有关”，从而可得结论.

解：V7.8>3.325,

.•.有1.11=1%的机会错误，即有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”

故选B.

点评：本题考查独立性检验的应用，考查利用临界值，进行判断，是一个基础题

7.D

【解析】

【分析】

先计算参与奖的百分比，分别计算各个奖励的数学期望，中位数，逐一判断每个选项得到答案.

【详解】

参与奖的百分比为：1—30%—10%—5%=55%

设人数为单位1

一等奖费用：20x5%=l

二等奖费用：10xl0%=l

三等奖费用：5x30%=1.5

参与奖费用：2x55%=l.l

购买奖品的费用的平均数为：4.6

参与奖的百分比为55%,故购买奖品的费用的中位数为2元

故答案选D

【点睛】

本题考查了平均值，中位数的计算，意在考查学生的应用能力.

8.A

【解析】

【分析】

根据片”5.852得到网片上5.024卜0.025,得到答案.

【详解】

心仪5.852,故。(片35.024卜().025,

故判断”是否爱吃零食与性别有关”出错的可能性不超过2.5%.

故选：A.

【点睛】

本题考查了独立性检验问题，意在考查学生的理解能力和应用能力.

9.D

【解析】

分析：根据甲队比乙队平均每场进球个数多，得到甲对的技术比乙队好判断①；根据两个队的标准差比较,

可判断甲队不如乙队稳定；由平均数与标准差进一步可知乙队几乎每场都进球，甲队的表现时好时坏.

详解：因为甲队每场进球数为3.2,乙队平均每场进球数为1.8,甲队平均数大于乙队较多，所以甲

队技术比乙队好，所以①正确；

因为甲队全年比赛进球个数的标准差为3,乙队全年进球数的标准差为0.3，乙队的标准差小于甲队,

所以乙队比甲队稳定，所以②正确；

因为乙队的标准差为0.3,说明每次进球数接近平均值，乙队几乎每场都进球，甲队标准差为3,说

明甲队表现时好时坏，所以③④正确，

故选D.

点睛：本题考查了数据的平均数、方差与标准差，其中数据的平均数反映了数据的平均水平，方差

与标准差反映了数据的稳定程度，一般从这两个方面对数据作出相应的估计，属于基础题.

求空田对比乙队平均每场逛球的个数多.遇到甲队的技术比乙队好判断①；限38两个队的标;隹差比较.

10.B

【解析】

【分析】

1111

原等式两边同乘以T,可求得z=-7-从而可得z=-7+：7i，利用复数模的公式可得结果.

2222

【详解】

因为23z=1—i，

即22=(T>(1T)=-1-i,

-11.〜11.

z=--------1,可得z=——+—1,

2222

所以，归=、工1=走，故选B.

【点睛】

复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、

共粗复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，

运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

11.C

【解析】

分析：画出满足条件的图像，计算图形中圆内横坐标小于1的面积，除以圆的面积。

详解：

由图可知，点P的横坐标小于1的概率为《，故选C

2

点睛：几何概型计算面积比值。

12.B

【解析】

由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积

S=°—=0.1359

则落入阴影部分(曲线「为正态分布「的密度曲线)的点的个数的估计值为

N=10000x^7^=1359

本题选择B选项.

点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法

①熟记P（M-G<X<|I+G）,P（II-2G<X<JI+2G）,P（JI—3C<XWH+3G）的值.

②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.

二、填空题：（本题共4个小题，每小题4分，共16分）

13.0.8

【解析】

【分析】

直接根据正态分布的对称性得到答案.

【详解】

随机变量《〜N（O.er）,

故P（J<1）=P（O<J<1）+P（JWO）=P（T<J<O）+P（JWO）=O.8.

故答案为：0.8.

【点睛】

本题考查了正态分布，意在考查学生对于正态分布对称性的灵活运用.

14.（3,+oo）

【解析】

试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b,使得关于X的方程f（x）=1）有三个不

同的根，则4加一加2<加，解得相>3,故m的取值范围是（3,+co）.

【考点】分段函数，函数图象

【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于

能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思

想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.

1

15.-

6

【解析】

分析：利用列举法求出事件“根210”包含的基本事件个数，由此能出事件“〃让10”的概率.

详解：将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6）先后抛掷两次，用机表

示向上点数之和，贝!)基本数值总数〃=6x6=36,

事件“加210”包含的基本事件有：

(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)共6个，

事件“加210”的概率。=二=’.

366

即答案为5.

0

点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用.

16.x+2_y—5=0

【解析】

【分析】

可将y=2-/左右同乘2,再消参即可求解普通方程

【详解】

y=2T=2y=4-2f,结合x=1+2/可得工+2)，一5=0

故答案为：x+2y-5=0

【点睛】

本题考查参数方程转化成普通方程，属于基础题

三、解答题：(本题共6个小题，共74分)

17.(1)见解析；(2)叵.

11

【解析】

分析：(1)由题意得又从而即可证明；

(2)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系型，即可运用空间向量的方法求得答案.

详解：(1)证明：因为AB=AC,。为线段的中点，

所以A£>_LBC.

又PA,PB,PC两两垂直，且ABcAC=A

所以PAL平面ABC,则PA_LBC.

因为A£)cPA=A,

所以BC,平面PAD.

(2)解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-型，

则A(0,0,0),8(3,0,0),C(0,3,0),P(0,0,3),OB，|,0).

,:AE=AAC>

（33

可设E（O,t,0）,则PE=（0,/,—3）,AD=匕,5,0

33

PEAD=-t=-：.t=\,

22

则ED=（m，；,0）,PE=（0,l,-3）,

设平面PDE的法向量为n=(x,y,z),

31

n-ED=0—x+—y=n0

则,即｛22

n-PE=0

y-3z=0

令z=l,得〃=(-1,3,1).

平面PAB的一个法向量为m=(0,1,0),

n„33日

则cos"2,n=—,==-----

Vn11

故平面PAB与平面PDE所成二面角的正弦值为叵.

11

点睛：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的

法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.

18.(1)勺5

5

(2)(-co,3]

【解析】

【分析】

(1)利用PR±P乃，结合向量知识，可得P的轨迹方程，结合双曲线方程，即可得到点P到X轴的距离.(2)

用坐标表示向量，利用向量的数量积建立函数关系式，根据双曲线的范围，可求得4的取值范围.

【详解】

⑴设P点为(%,为)，而斗->5,0),仅6,0),

则P4=(一石一天,-y0),尸6=(石一毛，一%).

PFi±PF2,：.PFtPF2=O,

即(―-%)(75-%)+(—%)(—%)=()，

整理，得看+$=5①

又P(x°,%)在双曲线上，

•・•片_慈=1②

联立①得y；=t，即1%1=?

因此点P到x轴的距离为拽.

5

(2)设P的坐标为(%,%),则。的坐标为(-A-o,-%),

彳=(入),>,()-2)-2)=-片-y：+4=-；y：+3.

.•.九的取值范围是(-8,3].

【点睛】

本题主要考查向量的运算，考查双曲线中点的坐标的求法和范围问题的解法，意在考查学生对这些知识的

理解掌握水平.

19.(1)。=0.35,/?=0.10；(2)4.05,6.

【解析】

【分析】

⑴由P(C)=0.70及频率和为1可解得。和b的值；(2)根据公式求平均数.

【详解】

⑴由题得a+0.20+0.15=0.70，解得a=0.35,由0.05+、+0.15=1-P(C)=1-0.70,解得b=0。0.

(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为

0.15x2+0.20x3+0.30x4+0.20x5+0.10x6+0.05x7=4.05,

乙离子残留百分比的平均值为0.05x3+0.10x4+0.15x5+0.35x6+0.20x7+0.15x8=6

【点睛】

本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.

65

20.(1)一；(2)-

352

【解析】

(I)由已知，有

C泣+C泣_6

P(A)

35

所以事件A发生的概率为三.

35

(n)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4

「k「4-A

p(X=k)=T^(Z=I,2,3,4)

所以随机变量X的分布列为

X1234

131

P2

147714

1331S

所以随机变量X的数学期望E(X)=lx立+2x,+3x,+4xq=；

考点：古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.

J_4

21.(1){x|xW0或x，l}；(2)

253

【解析】

【分析】

(1)使用零点分段法，讨论分段的取值范围，然后取它们的并集，可得结果.

(2)利用等价转化的思想，可得不等式|3x-l|+|x-a|W3x在H恒成立，然后解出解集，根据集

[32J

合间的包含关系，可得结果.

【详解】

(1)当a=2时，

原不等式可化为|3x-l|+|x-2|N3.

①当时，

则一3x+1+2—xN3xK0,所以尤〈0；

②当；<龙<2时，

则3x-l-2+x23=xi1,所以14x<2；

⑧当时，

3

贝！13x—1—2+x>3=>x—,所以x22.

2

综上所述：

当。=2时，不等式的解集为{x|x40或x，l}.

(2)由|元一§|+/(x)Wx,

则13%—11+|%—«|<3x,

由题可知：

13x—11+1x-a区3x在—恒成立,

32

所以3x-l+|x-a区3x,Bp|x-tz|<l,

即a-lWxVa+l,

,1

a-\<—

34

所以《=>——<a<—

23

a+1>—

2

14

故所求实数。的取值范围是-.

【点睛】

本题考查零点分段求解含绝对值不等式，熟练使用分类讨论的方法，以及知识的交叉应用，同时掌握等价

转化的思想，属中档题.

22.(1)元=20(2)见解析

【解析】

分析：(1)由题意结合概率公式得到关于x的方程，解方程可得尤=20.

(2)由题意可知J的可能取值分别为2,3,4,5,6,该分布列为超几何分布，据此可得到分布列，

24

利用分布列计算数学期望为E(J)=y.

详解：(1)记“选择短跑、长跑、仰卧起坐的项目个数相等“为事件A,贝！1：

P(A)=1_29=20=C-+C?+C1

')4949个

所以Y-45x+500=0，解得x=20或x=25,

因为x<>,所以x=20.

(2)由题意可知J的可能取值分别为2,3,4,5,6,

en/匕小C；10…小CC'100…八C\C'+Cl.315

则P(J=2)=T=——，/&=3)=-^=——，P(&=4)=^^-=——

、)C；o1225,)01225')C；。1225

2

5)-«©_500*=6)=署C300

华)以01225

C501225

从而J的分布列为:

23456

10100315500300

12251225122512251225

数学期望为

10100315500300588024

砧)=2x+3x+4x+5x+6x

122512251225122512251225T

点睛：本题的核心在考查超几何分布.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体

的个数.超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考

查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是

古典概型.

2019-2020高二下数学期末模拟试卷

一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分）

1.连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，在已知两次的点数均为偶数的条件下，两次的点数之和不大于8

的概率为（）

1452

A.—B.-C.-D.一

3993

2.设集合4={耳/一］-12>0},3=卜62卜6^^46},则48的元素的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

3.在三棱锥S—A6C中，SA=BC=y/4l>SB=AC=5,SC=AB=®则三棱锥S—ABC外接

球的表面积为（）

A.25万B.100C.50%D.5007r

4.（2x—l）6展开式中X2的系数为（）

A.15B.60C.120D.240

5.函数/（x）=ei—eTT+asinn（xeR,e是自然对数的底数，。>0）存在唯一的零点，则实数

a的取值范围为（）

B.（°，2）C.（0,2］D.（0,2）

6.二面角。―/一力为60。，A、8是棱上的两点，AC.分别在半平面a、夕内，AC11,BDVI

且AB=AC=1,BD=2,则CZ）的长为

A.1B.8C.2D.75

7.如图，已知函数/（X）=受，则它在区间［一万，句上的图象大致为（）

D.

8.已知复数2=则复数Z在复平面内对应的点位于（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

9.如图，在正方体ABCD-A4G。的八个顶点中任取两个点作直线，与直线A8异面且夹角成60。的

直线的条数为（）.

A.3B.4C.5D.6

10.在正方体ABC。—44G。中，点E,尸分别是AB,CG的中点，则下列说法正确的是（）

A.A.E^BFB.A尸与8。所成角为60°

C.4后，平面4。尸D.4尸与平面A5CO所成角的余弦值为

11.过抛物线E：V=2必:⑺>0）的焦点作两条互相垂直的直线（，“，直线4交E于A,C两点，直

线12交E于B,D两点,若四边形ABCO面积的最小值为64,则。的值为（）

A.20B.4C.472D.8

12.下列说法错误的是（）

A.在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法

B.在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好

C.线性回归方程对应的直线y=bx+a至少经过其样本数据点中的一个点

D.在回归分析中，相关指数R?越大，模拟的效果越好

二、填空题：（本题共4个小题，每小题4分，共16分）

13.已知/（x）=L'一（其中a<0,e为自然对数的底数），若g（x）=/[/（x）]在R上有三个

不同的零点，则a的取值范围是.

14.若函数二（二）=T二'+（二；+2二二在£+工）上存在单调增区间，则实数二的取值范围是.

15.某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和'一带一路'”的学习征

文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图，又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三

年级的交稿数为.

16.设/(幻=[庐丁”。”则「/(x)公等于_________.

[l+x,xe[-l,O)JT

三、解答题：(本题共6个小题，共74分)

17.(本题共12分)

已知函数f(x)=xex

(1)求函数f(x)的极值.

(2)若f(x)-Inx-mx》l恒成立，求实数m的取值范围.

18.(本题共12分)

盒子中有大小和形状完全相同的3个红球、2个白球和2个黑球，从中不放回地依次抽取2个球.

(1)求在第1次抽到红球的条件下，第2次又抽到红球的概率；

(2)若抽到1个红球记0分，抽到1个白球记1分，抽到1个黑球记2分，设得分为随机变量X,求随机

变量X的分布列.

19.(本题共12分)

C1

x——24—t

2

在直角坐标系宜万中，直线的参数方程为rQ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴

为极轴建立极坐标系，圆。的极坐标方程为0=J市.

⑴若/与。相交于A,8两点，P(—2,0),求冏；

(2)圆M的圆心在极轴上，且圆M经过极点，若/被圆M截得的弦长为1,求圆M的半径.

20.(本题共12分)

X_X1

已知函数/(x)-e2+—cos2x.

(1)求f\x)；

(2)证明：/1)在区间(-8,+8)上是增函数.

21.(本题共12分)

已知向量A=(Gsin2x+2,cosx),7=(1,2cosx),设函数=

(1)求f(x)的最小正周期与单调递减区间;

(2)在AABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若/(A)=4,b=l,ZiABC的面积为走,

2

求a的值.

22.(本题共14分)

设函数/(x)=|x+2|+k+a|,a&R.

(1)若。=-3,求不等式7的解集；

(2)若关于x的不等式/(£)</+2m+3对任意的〃”/?恒有解，求。的取值范围.

参考答案

一、选择题：(本题共12个小题，每小题5分，共60分)

1.D

【解析】

【分析】

求出两次点均为偶数的所有基本事件的个数，再求出在两次均为偶数而且和不大于8的基本事件的个数后

可得概率.

【详解】

记A={两次的点数均为偶数},B={两次的点数之和不大于8},

因为〃(A)=3x3=9,力(A8)=6,

所以明力=嚅与|.

故选：D.

【点睛】

本题考查条件概率，本题解题关键是求出两次的点数均为偶数的条件下，两次的点数之和不大于8所含有

的基本事件的个数.

2.C

【解析】

分析：分别求出A和B,再利用交集计算即可.

详解：A={x|x>4垢<-3},B={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6},

则Ac3={-6,—5,T,5,6},交集中元素的个数是5.

故选：C.

点睛：本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

3.C

【解析】

分析：首先通过题中的条件，得到棱锥的三组对棱相等，从而利用补体，得到相应的长方体，列式求得长

方体的对角线长，从而求得外接球的半径，利用球体的表面积公式求得结果.

详解：对棱相等的三棱锥可以补为长方体(各个对面的面对角线)，

a2+b2=41

设长方体的长、宽、高分别是a/,c,则有<〃+。2=25,

a2+c2=34

三个式子相加整理可得/+〃+°2=50,

所以长方体的对角线长为50，

所以其外接球的半径R=辿，

2

所以其外接球的表面积S=4〃R2=50〃，故选C.

点睛：该题考查的是有关几何体的外接球的体积问题，在解题的过程中，注意根据题中所给的三棱锥的特

征，三组对棱相等，从而将其补体为长方体，利用长方体的外接球的直径就是该长方体的对角线，利用相

应的公式求得结果.

4.B

【解析】

【分析】

【详解】

V(2x—1)6展开式的通项为=(—1)「26-rGxj,令6-r=2得r=4,二(2x—展开式中x2项为

(—1)426Y屐X2=6Gx2,所以其系数为60,故选B

5.A

【解析】

【分析】

函数f(x)=e'T-eTM+asin乃x(xeR,e是自然对数的底数，。〉0)存在唯一的零点等价于函数

<p(x)^asin;rx与函数g(x)=ei-e'T只有唯---个交点，由0(1)=0,g(l)=0,可得函数

G(x)=asinG与函数g(x)=eJ-ei唯一交点为(1,0),g(x)的单调，根据单调性得到。(幻与g(x)

的大致图象，从图形上可得要使函数。(x)=asin乃x与函数g(x)=ei-ei只有唯一一个交点，则

“⑴..g'(l),即可解得实数。的取值范围.

【详解】

解：函数F(x)=ei-e-e+asinG(xeA,e是自然对数的底数，a>0)存在唯一的零点等价于:

函数夕(x)=asin乃》与函数g(尤)=/一"一ex~'只有唯---个交点，

。⑴=。，g(l)=。，

函数。(犬)=asin万x与函数g(x)=一/T唯一交点为(1,0),

又g，(x)="r-e'T,且e"*>0，ex~'>0>

g'(x)=-e--e'T在R上恒小于零，即g(x)=—/T在R上为单调递减函数，

又火x)=asin7x(a>0)是最小正周期为2,