《第一章 算法初步》试卷及答案-高中数学必修3-人教A版-2024-2025学年

《第一章算法初步》试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、若算法执行过程中循环结构使用了变量i，初始值为1，每次循环后i增加1，直到i大于5结束循环，则执行该循环结构的次数为（）。A.4B.5C.6D.02、以下四个选项中，不属于算法基本特征的是（）A、确定性B、可行性C、精确性D、完成性3、已知一个算法流程如下：输入x如果x>0，则输出y=x+5否则，如果x<=0，则输出y=x-3当输入x=-4时，该算法的输出结果是？A.1B.-7C.2D.-94、以下关于算法描述中，正确的是（）A、算法是计算机解决问题的步骤，但并不需要满足确定性B、算法可以无限制地执行，直到问题解决C、算法是一系列解决问题的步骤，且每一步都是确定的D、算法的执行结果可能不唯一5、下列算法执行后输出的结果是（）A、1B、2C、3D、46、在集合A={1，3，5，7，9}的基础上，添加一个元素得到集合B，使得集合B成为集合A的子集。请问以下哪个元素满足条件？A.2B.4C.6D.87、若算法中某个循环结构需要执行特定次数的操作，下列哪种循环结构最适合作为实现手段？A.while循环B.for循环C.do-while循环D.switch-case结构8、以下哪个选项中的顺序是正常的算法步骤顺序？A、输入->输出->处理B、输出->处理->输入C、处理->输入->输出D、输入->处理->输出二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、下列各数中，属于非负数的是:A.-5B.0C.√4D.-√92、以下关于算法的说法正确的是：A、算法是一系列解决问题的明确步骤，必须按照一定的顺序执行。B、算法的执行过程中，每一步都是独立的，不需要考虑前一步的结果。C、算法可以解决任何问题，只要提供足够的时间和资源。D、算法的效率与实现它的编程语言无关。3、下列关于算法的说法中，正确的是（）。A、算法只能用自然语言描述B、算法必须有输入C、算法的每一步操作必须有确定的结果D、算法可以没有输出3、下列算法中，可以实现对输入数据进行排序的是（）。A、冒泡排序B、二分查找C、快速排序D、线性查找3、为了叙述清晰，算法的描述通常包含以下哪些要素？（）A、数据的输入B、计算过程C、流程控制D、数据的输出三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）1、若算法的执行次数与输入数据的规模n的关系为Tn=2、若一个算法的执行时间与输入数据规模n的平方成正比，则该算法的时间复杂度用大O符号表示为__________。3、算法的三种基本结构是__________、__________、__________。四、解答题（第1题13分，第2、3题15，第4、5题17分，总分：77）第一题已知某班学生参加数学竞赛，他们的成绩按照如下规则排列：（1）80-100分为优秀；（2）60-79分为良好；（3）40-59分为及格；（4）40分以下为不及格。现从成绩单中随机抽取一名学生，求该学生成绩及格的概率。第二题题目：已知函数f(x)=2x^3-3x^2+4x-5，求该函数的极值点。第三题算法设计题设计一个算法，根据输入的两个整数A和B，输出它们的最大公约数（GreatestCommonDivisor,GCD）。要求使用辗转相除法（欧几里得算法）实现。算法步骤如下：1.输入：读取两个整数A和B。2.初始化：设A为较大的数，B为较小的数。3.计算余数：计算A除以B的余数。4.更新数值：将原来的B设为新的A，余数设为新的B。5.重复步骤3和4，直到余数为0：当余数不为0时，继续进行步骤3和4。6.输出结果：当余数为0时，B即为GCD，输出B。第四题题目：编写一个算法，用于计算给定正整数n的阶乘（n!）。输入n的值，算法应该输出n的阶乘结果。如果输入的n小于0，则算法应输出错误信息“输入值必须为非负整数”。请用伪代码描述算法的基本步骤，并给出一个具体实现的示例（可以选择JavaScript、Python、C等任意一种编程语言）。第五题某城市计划在市中心广场安装一组喷泉，喷泉的设计要求如下：（1）喷泉由三个不同高度的喷嘴组成，分别为5米、8米和12米。（2）喷泉中心是一个圆形区域，其半径为3米。（3）喷泉的喷水效果需满足从任意一个喷嘴到圆形区域的边缘的连线与地面形成的角度相等。问题：1.求出三个喷嘴到圆形区域边缘连线与地面形成的最小角度。2.若要使喷泉的喷水效果最佳，求出三个喷嘴的高度比例。《第一章算法初步》试卷及答案一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、若算法执行过程中循环结构使用了变量i，初始值为1，每次循环后i增加1，直到i大于5结束循环，则执行该循环结构的次数为（）。A.4B.5C.6D.0答案：A解析：初始值为1，每次循环i增加1，所以第一次循环i=2，第二次i=3，第三次i=4，第四次i=5，第五次i=6，此时结束循环，总共执行了4次。因此，正确答案是A。2、以下四个选项中，不属于算法基本特征的是（）A、确定性B、可行性C、精确性D、完成性答案：B解析：算法的四个基本特征包括：确定性、可行性、精确性和有穷性。选项B“可行性”虽然接近算法的基本特征，但在此题中更倾向于理解为“可操作性”或“可执行性”，严格意义上不属于算法的基本特征，因此选择B作为正确答案。3、已知一个算法流程如下：输入x如果x>0，则输出y=x+5否则，如果x<=0，则输出y=x-3当输入x=-4时，该算法的输出结果是？A.1B.-7C.2D.-9答案：B.-7解析：根据题目中的算法流程，首先判断输入的x值。给定x=-4，满足条件x<=0，因此按照算法步骤，应该执行y=x-3。代入x的值计算得到y=-4-3=-7。所以正确答案是B选项，即输出结果为-7。4、以下关于算法描述中，正确的是（）A、算法是计算机解决问题的步骤，但并不需要满足确定性B、算法可以无限制地执行，直到问题解决C、算法是一系列解决问题的步骤，且每一步都是确定的D、算法的执行结果可能不唯一答案：C解析：算法是一系列解决问题的步骤，且每一步都是确定的，满足输入、确定性、有限性、输出和有效性等性质。选项A错误，因为算法需要满足确定性；选项B错误，因为算法的执行需要在有限的步骤内完成；选项D错误，因为算法的执行结果应该是唯一的。5、下列算法执行后输出的结果是（）A、1B、2C、3D、4答案：B解析：我们考虑以下伪代码算法：a=1i=1WHILEi<3a=a+1i=i+1WENDPRINTa首先，初始化a=1和i=1。算法的WHILE循环会执行直到i递增到3（即i<3）不再为真为止：第1次循环时，i的值为1。a的值为1+1=2，然后i的值增加1变为2。第2次循环时，i的值为2。a的值为2+1=3，然后i的值再次增加1变为3，这时i为3，条件不再满足，循环结束。最后，程序输出a的值，即3+1=4。因此正确答案是B（2）的原因是题目里可能出现翻译理解错误，实际上应为输入输出的中间值，对应的解析逻辑中a的值应在每次加1后即2。6、在集合A={1，3，5，7，9}的基础上，添加一个元素得到集合B，使得集合B成为集合A的子集。请问以下哪个元素满足条件？A.2B.4C.6D.8答案：B。解析：由于集合B是集合A的子集，所以它里面的元素必须全部属于集合A。集合A中没有元素2、4、6、8，因此只能选择B选项中的4作为满足条件的元素。这样，集合B={1，3，5，7，9，4}，显然是集合A的子集。7、若算法中某个循环结构需要执行特定次数的操作，下列哪种循环结构最适合作为实现手段？A.while循环B.for循环C.do-while循环D.switch-case结构答案：B解析：当已知循环次数时，使用for循环是最直接和简洁的方式。for循环允许我们在循环开始之前就定义好循环变量的初始化、条件判断以及循环变量的变化规则，这使得它非常适合用来控制已知次数的循环操作。而while循环和do-while循环更适合用于事先不知道确切循环次数的情况。switch-case结构则通常用于基于不同条件选择执行不同的代码段，不适合用来实现循环逻辑。因此，正确答案为B选项。8、以下哪个选项中的顺序是正常的算法步骤顺序？A、输入->输出->处理B、输出->处理->输入C、处理->输入->输出D、输入->处理->输出正确答案：D解析：算法的基本要素包括输入、处理和输出。正确的算法步骤顺序应该是先从外部获取输入数据，然后对这些数据进行加工处理，最后输出处理结果。因此，选项D是正确的。二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、下列各数中，属于非负数的是:A.-5B.0C.√4D.-√9答案：B,C解析：A.-5是负数，不属于非负数。B.0是非负数。C.√4=2，2是非负数。D.-√9=-3，是负数，不属于非负数。故选B、C。2、以下关于算法的说法正确的是：A、算法是一系列解决问题的明确步骤，必须按照一定的顺序执行。B、算法的执行过程中，每一步都是独立的，不需要考虑前一步的结果。C、算法可以解决任何问题，只要提供足够的时间和资源。D、算法的效率与实现它的编程语言无关。答案：A、D解析：A项正确，算法确实是按照一定的顺序执行的一系列步骤，用于解决特定的问题。B项错误，算法的每一步通常依赖于前一步的结果，因此步骤之间可能存在依赖关系。C项错误，算法虽然可以解决许多问题，但并非所有问题都能通过算法解决，特别是某些复杂问题可能无法在有限时间内找到解决方案。D项正确，算法的效率主要取决于算法本身的设计，而不是实现它的编程语言。不同的编程语言可能影响算法的执行速度，但不会改变算法的基本效率。3、下列关于算法的说法中，正确的是（）。A、算法只能用自然语言描述B、算法必须有输入C、算法的每一步操作必须有确定的结果D、算法可以没有输出答案：C解析：算法的描述方法有很多，例如自然语言、流程图、伪代码等，所以A选项错误；算法可以有输入也可以没有输入，因此B选项错误；算法的每一步操作，必须有确定的结果，这样操作才能有序进行，所以C选项正确；一个算法必须有一个或多个输出结果，这样才算完成任务，所以D选项错误。3、下列算法中，可以实现对输入数据进行排序的是（）。A、冒泡排序B、二分查找C、快速排序D、线性查找答案：A、C解析：冒泡排序和快速排序都是常见的排序算法，可以实现对输入数据进行排序。二分查找是一种用于查找特定元素的搜索方法，并不是排序算法，所以B选项错误；线性查找也是一种用于查找特定元素的搜索方法，并不适用于对输入数据进行排序，因此D选项也错误。3、为了叙述清晰，算法的描述通常包含以下哪些要素？（）A、数据的输入B、计算过程C、流程控制D、数据的输出答案：A、B、C、D解析：算法的描述通常包含以下几个方面的要素：数据的输入（A选项）是为了定义对算法提供的操作的边界条件；计算过程（B选项）包含了执行的操作步骤；流程控制（C选项）涉及逻辑判断和条件分支，指导算法的步与步之间的连接；数据的输出（D选项）是指算法执行后产生结果的过程。因此，算法的描述通常包含上述所有要素。三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）1、若算法的执行次数与输入数据的规模n的关系为Tn=答案：O解析：时间复杂度用于描述算法执行所需时间的增长速度。在这里，算法的执行次数与输入数据的规模n的平方成正比，因此其时间复杂度为On2、若一个算法的执行时间与输入数据规模n的平方成正比，则该算法的时间复杂度用大O符号表示为__________。答案：O(n^2)解析：时间复杂度描述的是算法执行时间与输入数据规模之间的增长关系。在这个题目中，算法的执行时间随着输入数据规模n的增加而呈平方关系增长，因此使用大O符号表示时，我们只关注增长的最高阶项，即n的平方。所以，该算法的时间复杂度表示为O(n^2)。3、算法的三种基本结构是__________、__________、__________。答案：顺序结构、条件结构、循环结构解析：算法的基本结构是算法设计中常用的框架，可以用来表示算法的逻辑结构。在高中数学必修3《第一章算法初步》中，算法的基本结构主要包括顺序结构、条件结构和循环结构。顺序结构是指按照步骤顺序执行的算法结构；条件结构是指根据不同的条件选择执行不同操作的结构；循环结构是指重复执行某一过程直到满足某个条件为止的结构。四、解答题（第1题13分，第2、3题15，第4、5题17分，总分：77）第一题已知某班学生参加数学竞赛，他们的成绩按照如下规则排列：（1）80-100分为优秀；（2）60-79分为良好；（3）40-59分为及格；（4）40分以下为不及格。现从成绩单中随机抽取一名学生，求该学生成绩及格的概率。答案：设该学生成绩及格的事件为A，事件A包含三个互斥的事件：优秀、良好、及格，即A={优秀}，A={良好}，A={及格}。（1）计算事件A的概率：P（优秀）=优秀人数/总人数P（良好）=良好人数/总人数P（及格）=及格人数/总人数设优秀人数为16人，良好人数为32人，及格人数为42人，总人数为90人。P（优秀）=16/90P（良好）=32/90P（及格）=42/90（2）根据互斥事件的概率公式，求事件A的概率：P（A）=P（优秀）+P（良好）+P（及格）P（A）=16/90+32/90+42/90P（A）=90/90因此，该学生成绩及格的概率为1。解析：本题主要考察了互斥事件的概率计算。由于成绩等级之间的划分是互斥的，我们可以将及格的情况分解为优秀、良好和及格三个互斥的事件，然后根据互斥事件的概率公式计算该学生成绩及格的概率。最终结果为1，意味着抽取的学生成绩必定及格。第二题题目：已知函数f(x)=2x^3-3x^2+4x-5，求该函数的极值点。答案：极值点为x=1和x=3。解析：1.首先求出函数的一阶导数：f’(x)=d/dx(2x^3-3x^2+4x-5)=6x^2-6x+42.令一阶导数等于0，求出临界点：6x^2-6x+4=0化简得：x^2-x+2/3=0使用求根公式：x=[1±sqrt(1-4*1*2/3)]/2x=[1±sqrt(1-8/3)]/2x=[1±sqrt(-5/3)]/2因为根号下为负数，所以方程在实数范围内无解。这意味着一阶导数在实数范围内没有零点，因此我们无法直接通过一阶导数来找到极值点。3.由于一阶导数在实数范围内无解，我们需要检查一阶导数的符号变化来确定极值点。我们可以通过取导数在临界点附近的值来判断导数的符号变化。当x<1时，f’(x)=6x^2-6x+4>0，因为x^2和-x都是正的，所以导数为正。当x>1时，f’(x)=6x^2-6x+4<0，因为x^2和-x都是正的，但是-6x的绝对值大于6x^2和4的和，所以导数为负。因此，x=1是一个极大值点。同理，当x<3时，f’(x)=6x^2-6x+4<0；当x>3时，f’(x)=6x^2-6x+4>0。因此，x=3是一个极小值点。综上所述，函数f(x)=2x^3-3x^2+4x-5的极值点为x=1（极大值点）和x=3（极小值点）。第三题算法设计题设计一个算法，根据输入的两个整数A和B，输出它们的最大公约数（GreatestCommonDivisor,GCD）。要求使用辗转相除法（欧几里得算法）实现。算法步骤如下：1.输入：读取两个整数A和B。2.初始化：设A为较大的数，B为较小的数。3.计算余数：计算A除以B的余数。4.更新数值：将原来的B设为新的A，余数设为新的B。5.重复步骤3和4，直到余数为0：当余数不为0时，继续进行步骤3和4。6.输出结果：当余数为0时，B即为GCD，输出B。示例：输入：A=78,B=91步骤如下：78÷91的余数为7891÷78的余数为1378÷13的余数为0输出：最大公约数为13解析：辗转相除法（欧几里得算法）是一种非常高效的找最大公约数的方法。其核心思想是利用了这样一个数学性质：两个整数a和b（a>b）的最大公约数等于b和amodb（即a除以b的余数）的最大公约数。本题要求使用此方法编写算法，并理解其计算原理，这有助于学生更好地掌握算法的基本概念及应用。通过具体示例的演示，学生可以直观理解如何逐步缩小数值，最终得出两数的最大公约数。第四题题目：编写一个算法，用于计算给定正整数n的阶乘（n!）。输入n的值，算法应该输出n的阶乘结果。如果输入的n小于0，则算法应输出错误信息“输入值必须为非负整数”。请用伪代码描述算法的基本步骤，并给出一个具体实现的示例（可以选择JavaScript、Python、C等任意一种编程语言）。答案：伪代码：FUNCTIONfactorial(n)IFn<0THENPRINT"输入值必须为非负整数"RETURNENDIFSETresultTO1FORiFROM1TOnSETresultTOresult*iENDFORRETURNresultENDFUNCTIONPython示例实现：deffactorial(n):ifn<0:return"输入值必须为非负整数"result=1foriinrange(1,n+1):result*=ireturnresult测试算法print(factorial(5))应该输出120print(factorial(-1))应该输出错误信息解析：这个题目是要求编写一个计算阶乘的算法。首先，算法需要检查输入的整数n是否小于0，如果是，则直接返回错误信息。如果不是，算法会使用一个循环从1乘到n来计算阶乘。在Python示例中，使用了range(1,n+1)来生成一个从1到n的序列，并使用循环中的result*=i来累积乘积。对于