《高等数学》第三版全册电子教学设计

《高等数学》（第三版全册电子教案完整版教学设计

第一章1.L1反函数

教学目标：

（1）复习、理解函数（含分段函数）的概念、函数的性质、几种常见函数;

（2）学习反函数的概念，及反正弦函数、反余弦函数、反正切函数；

（3）介绍微软高级计算器Mathematics4.0o

教学重点：

（1）函数知识复习（衔接高职阶段知识）；

（2）反函数。

教学难点：

反函数的概念

授课时数：2课时

教学过程

过程备注

引宣

介绍本学科学习要求及本章主要内容。

知识回顾

我们曾经学习过函数的概念.大家知道,在某个变化过程中，有两个变量X和y,

设。是实数集的某个子集，如果对于任意的％W。，按照确定的法则，变量），总有通过

唯一确定的数值与之对应，那么变量），叫做变量x的函数，记作y=/（x）.其中x叫幻灯

做自变量，y叫做因变量，实数集。叫这个函数的定义域.片演

示引

自变量x取定义域。中的数值与时，对应的数值为叫做函数），=/（©在两点

领学

生回

处的函数值，记作八%）或丁1=3.当x遍取。内的所有数值时，对应函数值所组

顾

成的集合叫做函数的值域.

定义域和对应法则是函数的两个要素.

在定义域的不同子集内，对应法则由不同的解析式所确定的函数称为分段函

数.例如，

x,xv0,

f（x）=r+l,0别x1,

x2,x>l.

其中X=O,x=l称为分段函数Ox）的分段点.

函数性质：单调性、奇偶性、有界性、周期性。30'

学习过的几类函数：塞函数、指数函数、对数函数、三角函数。

问题

一个装有液体的圆柱形容器，其底面直径为D,高为/?,则容器内液体体积y引领

与液面高度工的函数关系为学生

讨论

y=—nD2X.

4完成

知道液面高度x,就可以知道容器内液体体积y.反过来，知道了容器内液体体

积y,如何求得液面高度x呢？35，

新知识

解决提出的问题之前，先来研究函数图像的一个特征.

作出函数y=2x+l与函数y=?的图像(图1-2).观察图像发现，函数y=2x+l

的图像(图1-2(1))与任何水平直线相交的交点最多有一个，具有这种特征的函

数称为一对一函数；而函数)，=/的图像(图1-2(2))与水平直线相交的交点会

多于1个，具有这种特征的函数称为非一对一函数.

上M/....

动画

演示

…彳.......

(1)(2)

图1-2

对于一对一函数，值域中的每个函数值只有唯一的一个自变量值与之对应，因

此可以用函数y来表示自变量M例如，y=2x+l可以写成％=之二］，这样就构成

一个以函数值y为自变量的新函数，叫做原来函数的反函数.按照数学习惯，仍然

用字母x表示自变量，用字母)，表示函数.这样，函数y=2x+l的反函数就是

x-1

J=—■

函数f(x)的反函数一般记作广1(%).如/(x)=2x+l的反函数为=B.

函数y=2x+l与其反函数丁=^的关系如图L3所示.

11—111

y=2x+ly=—

图1-3

显然，函数/(x)的定义域是反函数f-(幻的值域，函数/(X)的值域是反函数

/T(x)的定义域.

求一对一函数的反函数的基本步骤是：

（I）用函数y来表示自变量x；

（2）自变量和函数互换字母.45'

知识巩固

例1求函数y=6的反函数，并在同一个直角坐标系内作出它们的图像.

解函数y=4的定义域为［0,+oo）,值域为@小）.

学生

练习

将）,="两边平方，整理得

教师

检查

互换字母得

辅导

由于函数），=&的值域为I0,+oo）,故函数），=4的反函数的定义域为0+oo）.因

此所求反函数为

x*2(xe[0,+oo)).

函数的图像如图14所示.

图1-4

链接软件演示

利用MicrosoftMathemalic4.（X简体中文版）作出函数的图像____________________60，

新知识

显然，不同角的同名三角函数值有可能相等，例如sinH=sinl^=」.也就是

662

说.正弦函数图像与平行于x轴的直线'=■!■的交点会多余一个（图1—6）,所以三印比

2教师

角函数不是一对一的函数.讲授

为保证三角函数存在反函数，需要改变三角函数的定义域，使之在所定义的区

间上为一对一的函数.因此将反三角函数定义如下：

正弦函数尸sinx在上的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx,其

定义域为值域为.函数图形如图i—7（i）所示..

22

余弦函数y=cosx在［0,兀］上的反函数叫做反余弦函数，记作y=arcco，j其定

义域为［-1,1］,值域为［0,兀］,函数图形如图1一7（2）所示.

正切函数丁=1血工在上的反函数叫做反正切函数，记作y=arctaiM

做一做教师

利用高级计算器依次作出反正弦函数、反余弦函数、反正切函数的图像并分析演示

函数的性质.

82，

练习题

求出下列函数的反函数，并在同一个直角坐标系内作出它们的图像.学生

3课上

3

(1)y=—x+6；(2)y=N.完成

2

88'

小结

函数的概念

复习内容几类常见函数新知识：反函数

函数的性质

作业

1.进一步梳理高中阶段函数的相关知识；

2.自学微软高级计算器Mathematics4.0;

3.完成高等数学习题集“作业1.1.90'

1.1.2初等函数

教学目标：

（1）学习复合函数的概念及其复合与分解;

(2)学习基本初等函数及初等函数的概念。

教学重点：

复合函数与初等函数的概念；

教学难点：

复合函数的分解。

授课时数：1课时.

教学过程

过程备注

问题教师

设疑

正弦函数丁=sinx与正弦型函数y=sin(3x+e)是同一个函数吗?

分析

3'

新知识

根据函数的定义，这两个函数不是同一个函数.正弦型函数)，=sin(@x+0)是

由正弦函数y=siii”和次函数〃=如十户所组成的，这样的函数称为复合函数.

一般地，设函数y=/(〃)是〃的函数，〃=g(x)是x的函数，如果由x通过g所

确定的〃使得y有意义，则把y叫做由函数y=/(〃)及〃=g(x)复合而成的复合函

数.i己作y=/[g(x)],其中工叫做自变量，〃叫做中间变量，，叫做外层函数，g叫

教师

做内层函数.讲授

需要注意：

(1)不是任何两个函数都可以复合组成复合函数的.例如，y=&及

〃=—3-%2就不能复合组成复合了数，因为对于内层函数〃=-3-『的定义域R中

的任何工值，对应的〃值都是负数，从而使得外层函数y=4无意义.

(2)复合函数的中间变量可以不只一个.例如y=esin3x是由

y=e\u=sint,t=3x复合而成，其中〃和t都是中间变量〃和/都是中间变量.

将寻函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数通称为基本初等函数.

将由基本初等函数与常数经过有限次的四则运算和有限次的复合所构成，并且

能用一个式子来表示的函数叫做初等函数.

在研究问题的时候，通常将比较复杂的函数看作是由几个简单函数复合而成

的，从而使问题变得简单一些.这里所说的简单函数一般指基本初等函数或基本初等

函数与常数的四则运算所构成的函数.13'

知识巩固

2

例2设函数y=ut«=cosv,v=2x,试将y写成x的函数.

教师

引领

解y=(cosv)2=cos2(2x),

完成

说明这个函数由三层函数复合而成.外层是基函数)，=〃2；中层是三角函数

«=cosv；内层是塞函数与常数的四则运算u=2x.

例3指出下列函数的复合过程.

学:生

(1)y=\/5+2xi(2)丁=6一厂一|；(3)y=lgsin2A:.

完成

解(1)函数y=，5+2x是由y=&,“=5+23复合而成的.

(2)函数'=是由y=e",〃=-x2-1复合而成的.

(3)函数yfgsin2”是由y=lg〃，w=v2,u=sinx复合而成的.

教师

说明分清复合函数的复合过程是非常重要的.设复合函数y=/(dg。)]｝，对强调

于给定的工值，计算函数值的顺序是先计算内层函数值g(X)-V,再计算中层函

数值*)=〃,最后计算外层函数值/(〃)=»即"由内向外''逐层计算，并且每一层

都是计算一个简单函数的值.分析函数的复合顺序的过程恰好与计算函数值的顺序28,

相反,是“由外向内”逐层复合.

练习1.1.2

1.指出下列函数的复合过程学生

课上

(1)j=sin3(8x+5)；(3)y=5(x+2)2；

完成

2.写出由各函数复合而成的函数并求其定义域.

(1)y=\nu,z/=4-v2,v=cosx；(2)y=>[u,«=x3+8.

40'

小结

新知识：复合函数一初等函数

作业

1.梳理1.1节知识内容；45'

2.自学微软高级计算器Mathematics4.0;

3.完成高等数学习题集“作业1.1.2”。

课题LL3经济学中常用的几个函数

1)掌握需求函数、供给函数，并了解供需平衡价格和平衡数量；2)掌握成

教学知识目标本函数、收益函数、利润函数，并深刻了解三者之间的关系，了解平均成本、

平均收益和平均利润函数，了解盈亏平衡点。

目标

把函数知识应用到初步的经济问题中，训练学生对经济现象的分析判断能力

能力目标

和解决问题的能力。

教学教学

成本、收益和利润函数的关系函数关系的建立。

重点难点

教法

以实例来引入课题的讲授法和以应用为目的的练习法，2课时。

学法

教学把函数概念引入到经济上的实际应用，这里给出的是虽然是最为基本的应用，但相应的数

反思学引入方法和分析法为以后章节学习，打下一定基础。

教学过程设计意图

知识回顾引导学生有目的地

函数两要素概念复习，为后面的学

问题习做准备

问题1:一个商品投放到市场上，顾客对它的需求量与很多因素有关，如季

节、消费者人数、消费者的收入、商品的价格等，其中与价格的关系最密设置问题情境，将

前面所学的函数关

切，价格贵，需求量就少，价格便宜，需求量就多，它们关系通过什么表

系引入到经济应用

达？

中量与量之间的关

为了便于研究，我们将问题理想化，视其他因素不变，只考虑商品的

系。

价格，我们建立商品的需求量Q与该商品价格P的函数，称其为需求函数，

记为

Q=Q(P)

问题2：价格上涨将刺激生产者向市场提供更多的商品，供给量增大；反之

供给量就减少.假定其他因素不变的条件下，供给量S与价格P之间的函

数就称为供给函数,记为

s=s(尸)

新知识给出常用模型，降

一般地，需求函数是价格的单调减少函数，在企业管理和经济活动中低学习难度，给学

常见的需求函数模型有：生一定的理解空

间。

线性需求函数：Q=a_bP(a>0,b>0)；

2

二次曲线需求函数：Qd=a-bP-cP\b>0,a>0yc>0)；

指数需求函数：Qd=a”(a>0力>0).

一般地，商品供给函数是价格的单调增加函数.常见的供给函数：线性

供给函数：5=-c+eZP(c还有二次函数、幕函数、指数函数

等.

通过实例加深理

知识巩固

解。

【例1】当鸡蛋的收购价为8元/千克时，某收购站每月能收购5000

千克鸡蛋，若收购价每千克提高0.1元，则收购量可增加300千克，求鸡

蛋的线性供给函数.

解设鸡蛋的线性供给函数为S=-c+d尸，根据题意，可得

5000=-c+8d

5300——c+8.\d

进一步分析不同经

解得d=3000,c=19000,所以所求线性供给函数为S=-19000+3000P

济函数之间的有机

市场上商品价格的调节，就是根据需求函数与供给函数二者的关系来

联系。

实现的，把需求曲线与供给曲线画在同一坐标系中，由于需求函数Q是单

调减少函数，供给函数S是单调增加函数，它们相交于一点(A,0),其中A

均衡价格，即供需平衡的价格，0是均衡数量，

新知识通过说明，慢慢引

某商品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源的价格导学生分析得出另

或费用总额.它由固定成本a(生产准备费，用于维修、添制设备等)和可变一级常用经济应用

成本b(每单位产品消耗原材料、劳力等费用)两部分组成。函数。

设C(Q)是产量为Q时所需总成本，则C(Q)="”Q

每件产品的成本叫单位成本或平均成本，记为c(Q),则

c@=赞

一种产品销售之后就会有销售收入，销售收入应该是价格乘以产量.但

价格与产量之间也有一定的关系，收入R是产量Q与价格P的函数关系，

称为收益函数，记为

R(Q)=PQ=P(Q)Q

其中尸(Q)是价格与产量。(对销售者来说是销售量，对消费者来说就

是需求量)之间的函数关系.相应地方平均收益函数

砌二皿

Q

在收益中减去成本得到的就是利润.由于成本是产量。的函数，收益也

是。的函数，那么利润也是。的函数.即

〃Q)=R(Q)-C(Q)

平均利润函数

等

当L(Q)>0时盈利：当L(Q)<0时亏损：当L(Q)=0时盈亏平衡.

满足L(。)=0的Q称为盈亏平衡点(又称保本点).

知识巩固

仔细讲解例子，把

【例2】生产某款平板电脑的总成本(单位：万元)是C(Q)=20+0.3Q,

这一组函数的关系

求生产1000台这款平板电脑的总成本和平均成本.进一步明确。

解生产1000件这款平板电脑的总成本为

C(1000)=20+0.3X1(X)()=320(万元)

平均成本为

……20+0.3x1000…不一、

C(1000)=------------------=0.32(万兀)

1000

【例3】设某商品的价格是尸=1000-(单位：元)，求该商品的

4

收益函数，并求销售100件商品时的总收益和平均收益。

解收益函数为R(Q)=PQ=\000Q--Q2

4

平均收益为^(0=1000--0

4

销售100件商品时的总收益为

/?(100)=1000xl00--xl002=97500(元)

4

平均收益/?(100)=1000--xl00=975(元)

4

【例4】已知某公司生产某商品的成本函数为C（。）=300+5。（元），其

中。为该商品的产量，如果该商品的售价定为每件15元，试求，

（1）生产300件该商品的利润和平均利润；

（2）求生产该商品的盈亏平衡点.

解⑴已知C（。）=300+5。阮），又由题意知收入函数为K（Q）=

152,因此，利润函数为

£（。）=星（。）一。（。）

=15（＞-（300+5。）

=100-300

又因该产品的平均利润函数为

如）”）=1。3。。

QQ

生产300件该产品时的利润为

L（300）=10X300-300=2700（元）

而此时平均利润为

〃3OO）=^222=9阮/件）

300

即生产300件该产品时的利润为2700元，平均利润为每件9元.

（2）利用£（Q）=0得

100-300=0

解得

0=30（件）

通过学与做的课堂

即盈亏平衡点为30件.

活动，让学生学以

练习

致用来解决实际问

1.某款手机价格为尸时，需求量。关于P的需求函数。=10-2P,

题，有助于学生认

当价格p=3时，求。的值。识数学的应用价

2.设某商品的价格函数是尸=8000-（单位：元），求该商品的收值，体脸成功。

整理总结，理清思

益函数，并求销售1000件商品时的总收益和平均收益。

路，形成牢固的知

小结

】、了解经济应用中常用的需求函数、供给函数之间的关系，会求简单的函数识链和知识体系。

关系式；按不同层次学生的

2、熟练掌握经济应用中常用的成本函数、收益函数和利润函数之间的关系，

需求布置作业，挖

会求它们及它们平均函数的关系式。

作业掘和发展学生的数

书面作业学能力。

高等数学习题集“作业1.1.2”

拓展作业

（1）根据本节内容和自己的专业、特长，上网阅读、查找相关资料。

（2）以小组为单位，依据本节课所学知识编写与生活或专业相关的问题（小

组之间循环解答）.

1.2.1极限的定义

教学目标：

（1）结合图像理解极限的的概念及其两种变化过程；

（2）了解两种趋近过程中极限存在的充要条件，会判断极限是否存在;

教学重点：

函数在自变量两种变化过程的极限；

教学难点：

极限的概念。

授课时数：2课时.

教学过程

过程备注

刘徽在“割圆术”中提到，如果不断地分割下去，直到圆周无法再分割为止，动画

即圆内接正多边形的边数无限多的时候，正多边形的周长就与圆的周长“合演示

体”而完全一致了.下面对这种数学思想做进一步研究.主要研究在自变量工的某

种变化趋势下，函数），=/（工）的变化趋势.

自变量的变化规律分为两大类.

（1）自变量X的绝对值无限增大，记为XT8,当X只取正数而无限增大时，

记为当X只取负数而绝对值无限增大时，记为Xf-oo.结合

图像

（2）自变量X无限趋近于某定值/，记为Xf与，当x从左侧无限趋近于质（即

动画

演示

只取小于与的值）时，记为当X从右侧无限趋近于两（只取大于公的值）

时，记为xf与，.

10，

时，函数y=/（x）的极限

探究利用高级计算器作出函数），=’的图像（图1-8）,观察图像，研究当x的绝

X

对值无限增大时，函数值y的变亿情况.

教师

演示

分析

讲解

新知识

观察图1-8发现，随着自变量x绝对值的增大，图像越来越接近1轴，说明函

数y=g的绝对值越来越小，并且无限趋近于0.

一般地，设了(X)对任意大的忖有意义，如果当XT8(或xfgo)时,

f(x)的值无限趋近于确定的常数A，则把常数A叫做函数/(外当(或

X—>-oo,x—>+oo)时的极限，记作］im/(x)=A(或limf(x)=A,limf(x)=A).还

X—>00X->-00x—>+00

可以记作/(幻->4不一8,或3--00或犬—+8).

符号4->8包括工->-00与方r+00,因此

limf(x)=limf(x)=A<=>limf(x)=A.

K-X-X-^oO

知识巩固

例1作出下列函数的图像，写出xf8时的极限.

图1-9图1-10

(2)利用高级计算器作出函数图像如图1-10所示，观察图像知,教师

强调

7t兀

limarctanx=——，limarctanx=—limf(x)=2.

2XT-2XT+<C

因此limarctanxlimarctanx,

x->+oo35，

所以limarctanx不存在.

X^ao

2.xf/时，函数y=f(x)的极限

学生

探究课上

观察函数,，=二^的图像(图1-11),研究当x无限趋近1时，函数值y的变完成

x-\

化情况.

X

X]

图1-11

40'

新知识

由于当JVH1时

四二-四1)="]

x-\x-\

函数y=Zl的图像就是在函数y=X+l的图像中挖去点(1,2)(图1-11).观

X-1结合

察发现，当自变量工从1的左侧无限趋近于1时，函数值无限趋近于2；当自变量图像

A从1的右侧无限趋近丁•1时，函数值无限趋近丁2；如果自变量从1的两侧以任分析

意方式无限趋近于1时，函数值无限趋近于2.

一般地，设/(X)在点X。近旁有意义(在X。点可以没有定义)，如果当Xf与时，

/(x)的值无限趋近于确定的常数A,则把常数4叫做函数f(x)当XT与时的极限，

记作lim/(x)=A.还可以记作/(x)-＞A(xfXo).x从左侧趋近点飞时的极限叫

XfQ

做左极限，记作limf(x)=A；x从右侧趋近点与时的极限叫做右极限，记作

limf(x)=A.

符号x-＞与包括X-＞与-与Xf与+,故

limf(x)=lim/(x)=Aolimf(x)=A.

XT・R)+XT%55，

知识巩固

x+1,x<0,

例2已知函数/(幻=0,x=0,

x-1,x>0.

教师

(1)求当X-1时，药数/(或的极限；引领

(2)求当x-0时，函数极限.学生

解作出函数图形(E81-12),观察图像知：完成

(1)lim/(x)=0；

XT1

(2)lim/(x)=1,limf(x)=-1.因为lim/(x)/lim/(x)>

x->0~x->0+x->0-x->0+

所以当x-0时，f。•)的极限不存在.

Jz

65'

图1-12

练习1.22

1.利用函数图像求下列极限.

学生

(1)limC(。为常数)；(2)lim2。

XfR)XT-00课上

完成

(3)lim(—)x；(4)limsin%；

“T+oO2X-»0教师

讲评

2.作出函数〃幻=12%的图像，并求1曲〃x).

[3-x,1<xW2x->i

85'

小结

新知识：函数极限的定义

作业

1.自学微软高级计算器Malhematics4.0;

2.完成高等数学习题集“作业1.2.1”。90'

1.2.2极限的运算

教学目标：

(1)结合图像，根据定义认知几个常用的极限；

(2)了解极限的运算法则，能利用法则和常用极限进行简单的极限运算;

(3)掌握利用微软高级计算器计算极限的方法。

教学重点：

利用极限的运算法则和常用极限进行简单的极限运算；

教学难点：

极限计算中转化思想的理解与运用。

授课时数：2课时.

教学过程

过程备注

做一做

利用高级计算器作出并观察函数图像，可以得到下列几个常用极限：教师

引领

(1)lim—=0(a为正实数)；(2)limC=C(C为常数)；

师生

共同

(3)limC=C(C为常数)；(4)limx=;r0：

XT.s完成

(5)limxa=(当avO时，厢工0)..

20'

新知识

计算函数的极限时，经常要用到极限的下列运算法则(证明略)：

设limf(x)=A，limg(x)=8.则教师

A->XXf而

0利用

微软

1.lim[/(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B；

XT.。XfRl计算

2.lim"(x)•g(x)J=limf(x)-limg(x)=AB;特别当g(x)=C(C为常数)器通

XT.%X-»X

0过特

时，有例验

limCf(x)=Climf(x)=CA.证法

NT勾XT."则

呼〃幻A

3.limf^(x^｝=上出----=-(8工0).

g(x)limg(x)B

XT%

以上极限运算法则对于Xf8的情况也成立，并且法则1与法则2还可推广到

存在极限的有限个函数的情形.

利用极限的运算法则和上述几个常用极限，可以计算函数的极限.30'

知识巩固

例1求lim(2x3+2).

12

解因为lim/=23=8,所以

12教师