1第三章函数的概念与性质典型例题讲解（原卷版）

1第三章函数的概念与性质典型例题讲解一、基本概念回归二、重点例题（高频考点）高频考点一：求函数的定义域角度1：求常规函数的定义域角度2：求抽象函数、复合函数的定义域高频考点二：函数的值域角度1：一次、二次、反比例函数的值域角度2：根式型值域角度3：分式型值域角度4：根据值域求参数高频考点三：求函数的解析式角度1：待定系数法：角度2：换元法：角度3：配凑法：角度4：方程组（消去）法：角度5：赋值法求抽象函数的解析式高频考点四：函数图象识别与应用高频考点五：求复合函数的单调区间高频考点六：函数的单调性+奇偶性的应用高频考点七：二次函数的最值问题角度1：不含参数的二次函数最值问题角度2：含参数的二次函数最值问题高频考点八：利用函数奇偶性求解析式高频考点九：分段函数的单调性问题高频考点十：分段函数的值域问题高频考点十一：恒成立与能成立问题高频考点十二：函数性质综合应用一、基本概念回归知识回顾1：函数的定义一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集.函数的四个特征：①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的.②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）.④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系.知识回顾2：数的三要素（1）定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．（2）对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．（3）值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range).知识回顾3：求函数解析式（1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法．（2）换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围.（3）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，（4）方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。知识回顾4：函数的图象4.1、函数图象的平移变换（左“+”右“”；上“+”下“”）①②③④注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面.4.2、函数图象的对称变换①的图象的图象；②的图象的图象；③的图象的图象；4.3、函数图象的翻折变换（绝对值变换）①的图象的图象；（口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方）②的图象的图象.（口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数）知识回顾5：函数的单调性5.1增函数一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的）特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasingfunction).5.2减函数一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的）特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasingfunction).知识回顾6：函数的奇偶性6.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.6.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.知识回顾7：函数奇偶性的判断7.1定义法：（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.（2）求，根据与的关系，判断的奇偶性：①若是奇函数②若是偶函数③若既是奇函数又是偶函数④若既不是奇函数也不是偶函数7.2图象法：（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.（2）若的图象关于轴对称是偶函数（3）若的图象关于原点对称是奇函数7.3性质法：，在它们的公共定义域上有下面的结论：偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数知识回顾8：幂函数的图象与性质8.1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象）当时，我们得到五个幂函数：；；；；8.2、五个幂函数的性质定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性在上单调递增在上单调递减在单调递增在上单调递增在单调递增在上单调递减在上单调递减定点二、重点例题（高频考点）高频考点一：求函数的定义域角度1：求常规函数的定义域1．（2022·全国·高一单元测试）函数的定义域是（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高一专题练习）函数的定义域为（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高一专题练习）函数的定义域为（

）A． B．C． D．4．（2022·河南·林州一中高一开学考试）函数的定义域是______.角度2：求抽象函数、复合函数的定义域1．（2022·浙江省东阳中学高一开学考试）已知函数，则函数的定义域是（

）A．[5，4] B．[2，7] C．[2，1] D．[1，4]2．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域是（

）A．[－1，4] B．（－1，4] C．[2，4] D．（2，4]3．（2022·全国·高一专题练习）已知函数定义域为，则函数的定义域为_______.4．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，求函数的定义域．5．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的定义域：(1)已知函数的定义域为，求函数的定义域.(2)已知函数的定义域为，求函数的定义域.(3)已知函数的定义域为，求函数的定义域.高频考点二：函数的值域角度1：一次、二次、反比例函数的值域1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，值域为的是（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则的值域是_________.4．（2022·全国·高一单元测试）当时，则函数的值域为______．角度2：根式型值域1．（2022·全国·高一专题练习）函数的值域是（

）A．， B． C．， D．2．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高一课时练习）函数的最小值_______．4．（2022·全国·高一课时练习）求函数的值域．角度3：分式型值域1．（2022·全国·高一课时练习）函数的值域是__________．2．（2022·全国·高一课时练习）函数的值域是___________.3．（2022·全国·高一课时练习）求下列函数的最值.(1)的最大值.4．（2022·全国·高一课时练习）函数；①的值域是__________；②的值域是__________．角度4：根据值域求参数1．（2022·上海交大附中高二期末）若函数的值域为的子集，则实数的取值范围是___________.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若在上的值域为，求的值；3．（2022·陕西西安·高一期末）已知函数.(1)若函数的定义域和值域均为，求实数的值；(2)若在区间上是减函数，且对任意的，总有，求实数的取值范围.（可能用到的不等关系参考：若，且，则有）高频考点三：求函数的解析式角度1：待定系数法：1．（2022·全国·高一专题练习）已知函数是一次函数，满足，则__________．2．（2022·全国·高一专题练习）已知是一次函数，且，则解析式为___________．3．（2022·全国·高三专题练习）已知是二次函数，且满足，，，求函数的解析式.4．（2022·全国·高一专题练习）设是一次函数，且，求的解析式.5．（2022·全国·高一专题练习）（1）已知是一次函数，且，求；（2）已知是二次函数，且满足，求.角度2：换元法：1．（2022·全国·高一专题练习）已知，则有（

）A． B．C． D．2．（多选）（2022·全国·高一课时练习）若函数，则（

）A． B．C． D．3．（2022·甘肃·兰州市第五十五中学高三开学考试（文））已知，则___________.4．（2022·全国·高一课时练习）已知，则的值域为______.5．（2022·全国·高一专题练习）已知，则的解集为______.角度3：配凑法：1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则函数的解析式为（

）A． B．C． D．2．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，且，则（

）A．7 B．5 C．3 D．43．（2022·河南·临颍县第一高级中学高二阶段练习（文））已知，则（

）．A． B． C． D．角度4：方程组（消去）法：1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为（

）A．f(x)＝x2－12x＋18B．f(x)＝－4x＋6C．f(x)＝6x＋9D．f(x)＝2x＋32．（2022·全国·高一专题练习）已知函数满足，则___________.3．（2022·全国·高一专题练习）若，则______．4．（2022·全国·高一专题练习）根据下列条件，求的解析式已知满足5．（2022·全国·高一专题练习）若对任意实数，均有，求.6．（2022·全国·高一专题练习）已知满足，求的解析式.角度5：赋值法求抽象函数的解析式1．（2022·全国·高一课时练习）设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为_____________．2．（2022·全国·高一课时练习）已知，对于任意实数，等式，求的解析式.3．（2022·全国·高一课时练习）对任意实数，，都有，求函数的解析式．高频考点四：函数图象识别与应用1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（

）x123230A．3 B．0 C．1 D．22．（2022·天津市宝坻区第一中学二模）函数的图象大致为（

）A．B．C．D．3．（2022·全国·高一单元测试）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．4．（2022·山西·平遥县第二中学校高三阶段练习）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．5．（2022·甘肃·兰州市第五十五中学高三开学考试（文））函数的单调增区间是（

）A．和 B．和C．和 D．和6．（2022·全国·高一课时练习）画出二次函数的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较，，的大小；(2)求不等式的解集．7．（2022·全国·高一专题练习）已知函数的图象关于原点对称，且当时，(1)试求在R上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.高频考点五：求复合函数的单调区间1．（2022·安徽·合肥市第十中学模拟预测）函数的单调增区间是______．2．（2022·吉林·长春外国语学校高二期中）已知函数的单调递增区间为________．3．（2022·全国·高一课时练习）求函数的单调递增区间.4．（2022·全国·高三专题练习）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________.高频考点六：函数的单调性+奇偶性的应用1．（2022·全国·高一专题练习）定义在上的偶函数满足：对任意的有则（

）A． B．C． D．2．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三开学考试（理））已知奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（

）A．（－∞，－2）∪（0，2） B．（－2，0）∪（2，＋∞）C．（－∞，－2）∪（2，＋∞） D．（－2，0）∪（0，2）3．（2022·全国·高一单元测试）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（

）A． B．C． D．4．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（

）A． B．或C． D．或5．（2022·全国·高一专题练习）奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为__________.6．（2022·全国·高一单元测试）已知是定义在上的奇函数，且，若对任意，，且，有，则的最小值为______．高频考点七：二次函数的最值问题角度1：不含参数的二次函数最值问题1．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，当上时的最小值是________2．（2022·全国·高一专题练习）二次函数的最小值为______3．（2022·全国·高一专题练习）二次函数，当时，的取值范围为_________角度2：含参数的二次函数最值问题1．（2022·全国·高一专题练习）二次函数的最大值为，则的值为________.2．（2022·全国·高一专题练习）二次函数的最小值是1，则的值是____________.3．（2022·全国·高一专题练习）若时，二次函数的最大值为31，则的值为_____．4．（2022·全国·高一专题练习）二次函数的最小值为2，则的值为___．5．（2022·全国·高一专题练习）已知二次函数，在时，有最大值6，则______．6．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，当时，函数的最大值是2，则实数的取值范围是_____．7．（2022·江苏南通·高一开学考试）已知关于的函数(1)当时，求函数的最大值；(2)当时，若函数最小值为2，求的值．8．（2022·全国·高一专题练习）如图，抛物线与轴交于点，，交轴于点C．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)当时，函数有最小值，求的值．9．（2022·全国·高一专题练习）已知抛物线与轴的一个交点为，且经过点．(1)求抛物线与轴的另一个交点坐标．(2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值．高频考点八：利用函数奇偶性求解析式1．（2022·全国·高一专题练习）设为奇函数，且当时，，则当时，（

）A． B．C． D．2．（2022·全国·高一专题练习）若已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝，则函数f(x)的解析式为________．3．（2022·湖南·长郡中学高二期中）已知是定义在R上的偶函数，当时，．(1)求的解析式；4．（2022·河南·荥阳市教育体育局教学研究室高二阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．(1)当时，求的解析式；(2)若，求的值．5．（2022·陕西咸阳·高一期末）已知函数f（x）的图像关于原点对称，当时，.(1)求函数f（x）的解析式；高频考点九：分段函数的单调性问题1．（2022·广西·桂电中学高三阶段练习）函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学高二期末（理））若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2022·新疆·二模（理））若函数是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（多选）（2022·吉林·高二期末）已知函数在区间上是减函数，则整数的取值可以为（

）A． B． C． D．高频考点十：分段函数的值域问题1．（2022·江苏·高一）函数的值域为（

）A． B．C． D．2．（2022·全国·高一）函数的值域是______________（用区间表示）3．（2022·全国·高一专题练习）求函数在－的最值.4．（2022·山西运城·高二阶段练习）已知函数若是函数的最小值，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．5．（多选）（2022·全国·高一课时练习）若函数存在最大值，则实数a可能的值是（

）A． B． C．1 D．26．（2022·福建·福州四中高一期末）设函数若存在最小值，a的取值范围___________.高频考点十一：恒成立与能成立问题1．（2022·全国·高一课时练习）若不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2022·福建·上杭一中高三阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是________．3．（2022·全国·高一课时练习）已知，函数，若对任意，恒成立，则a的取值范围是______．4．（2022·全国·高一课时练习）若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________．5．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，若，使不等式成立，则实数的取值范围为______．6．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，，若，，使得，则的取值范围是______．7．（2022·江苏省镇江中学高二期末）已知函数.(1)解关于x的不等式；(2)当时，对∀，都有恒成立，求实数t的取值范围；(3)当时，对∀，都有恒成立，求实数t的取值范围.8．（2022·全国·高