专题09导数及其应用（利用导研究函数的零点方程的根）（解答题压轴题）-2022年高考数学高分必刷必过题

专题09导数及其应用（利用导数研究函数的零点、方程的根）1．（2021·安徽裕安·六安二中高三月考）已知函数.（1）若和直线相切，求的值；（2）令，，当时，判断零点的个数并证明.【答案】（1）；（2）两个零点，证明见解析.【详解】解：（1）由题意，函数，可得，设切点坐标为，可得切线的斜率，可得，所以，即切点坐标为，将点代入，可得，解得（2）由，可得，当时，，所以是的一个零点，设，可得，当时，，所以在上时单调递增函数，所以，所以在上单调递增，所以，所以在上没有零点；当时，，可得，所以在上单调递增，又由，，所以在内存在唯一，使得，所以在上单调递减，在上单调递增，又因为，，所以在内有一个零点，综上可得，函数有两个零点.2．（2021·北京海淀·人大附中高三月考）已知函数（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若，且在区间上恒成立，求的取值范围；（3）若，判断函数的零点的个数.【答案】（1）；（2）；（3）当时，函数恰有1个零点．【详解】解：（1）若，则，所以，所以，所以切线方程为（2）依题意，在区间上因为，．令得，或．若，则由得，；由得，．所以，满足条件；若，则由得，或；由得，，依题意，即，所以．若，则．所以在区间上单调递增，，不满足条件；综上，．（3），．所以．设，．令得．当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．所以的最小值为．因为，所以．所以的最小值．从而，在区间上单调递增．又，设．则．令得．由，得；由，得．所以在上单调递减，在上单调递增．所以．所以恒成立．所以，．所以．又，所以当时，函数恰有1个零点．3．（2021·全国高三专题练习（文））设为实数，且，函数.（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围；（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.(注：是自然对数的底数)【答案】（1）时，在上单调递增；时，函数的单调减区间为，单调增区间为；（2）；（3）证明见解析.【详解】（1），①若，则，所以在上单调递增；②若，当时，单调递减，当时，单调递增.综上可得，时，在上单调递增；时，函数的单调减区间为，单调增区间为.（2）有2个不同零点有2个不同解有2个不同的解，令，则，记，记，又，所以时，时，，则在单调递减，单调递增，，.即实数的取值范围是.（3）有2个不同零点，则，故函数的零点一定为正数.由（2）可知有2个不同零点，记较大者为，较小者为，，注意到函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故，又由知，，要证，只需，且关于的函数在上单调递增，所以只需证，只需证，只需证，，只需证在时为正，由于，故函数单调递增，又，故在时为正，从而题中的不等式得证.4．（2021·浙江省富阳中学高三开学考试）已知．（1）若在定义城内单调递增，求的最小值;（2）当时，若有两个极值点，求证：;（3）当时，判断的零点个数．【答案】（1）;（2）证明见解析；（3）1.【详解】（1），，因为在定义城内单调递增，所以在上恒成立，故，设，若，则当时，，故在上恒成立，这不可能.若，则在上恒成立，取，则有，故.若，此时，令，则为上的减函数，而，取，则当时，有，故在上存在唯一零点，设该零点为，由零点存在定理可得.故当时，；当时，，故在为增函数，在上为减函数，故.所以，因为，故，所以，其中.设，，则，当时，，当时，，故在为减函数，在为增函数，故，故即的最小值为.（2）当时，，因为有两个极值点，所以，即，从而，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，所以，又因当时，，当时，，所以，由对数均值不等式得，从而，所以;（3），令，则，令，则，得或，即或，当，即，时，函数，所以函数在上递增，在上递减，又，当时，，当时，所以，当时，，故函数在上递减，又当时，，当时，，，所以方程只有一实根，即函数有一个零点.5．（2021·浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知，.（1）求的最小值.（2）设，若当时，有三个不同的零点，求的最小值.（3）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）0；（2）；（3）.【详解】（1）由题知：，令得，，当时，，故在区间上单调递减，当时，，故在区间上单调递增，所以当时，有最小值为：，故的最小值为.（2），∴，当时，，单调递增,又，当时，，故在区间上单调递减，当时，，故在区间上单调递增，，此时与轴只有1个交点，即只有1个零点，不合题意.当时，由，得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，∵，∴若，则在区间上存在，当时，，当时，，当时，∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时函数有且只有一个零点.当时，存在，使得，∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，由，从而要使有三个零点，必有，∴，即，∴，又∵，令，则∵当时，，∴在区间单调递增，∴，即.（3），即，∴，令，则，令，则，∵，∴，在上单调递增，∴，于是在上单调递增，又由（1）知当时，恒成立，∴，∴，∴的取值范围是.6．（2021·六安市裕安区新安中学高三月考（理））已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；（2）记．当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是；（2）.【详解】（1）直线的斜率为1．函数的定义域为，，所以，所以．所以，．由解得；由解得．所以的单调增区间是，单调减区间是．（2）依题得，则．由解得；由解得．所以函数在区间为减函数，在区间为增函数．又因为函数在区间上有两个零点，所以，解得．所以的取值范围是．7．（2021·重庆市秀山高级中学校高三月考）已知函数.（1）求函数的单调区间和极值；（2）讨论函数的零点的个数.【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是，极小值为，无极大值；（2）详见解析.【详解】（1）函数的定义域为，且，令得，则，的变化情况如下表示：0单调递减单调递增∴得单调递减区间是，单调递增区间是.当，有极小值为，无极大值.（2）令有：当时，；当时，，且经过，，.当，与一次函数相比，指数函数增长更快，从而；当时，，，根据以上信息，画出大致图象如下图所示.函数的零点的个数为与的交点个数.当时，有极小值.∴关于函数的零点个数有如下结论：当时，零点的个数为0个；当或，零点的个数为1个；当时，零点的个数为2个.8．（2021·陕西新城·西安中学高三月考（理））已知函数.（1）试讨论函数的零点个数；（2）若函数，且在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）当或时，函数只有一个零点；当时，函数有两个零点．（2）【详解】解：（1）根据题意，可得，则有：①若，则，此时可得函数在上单调递增，又因为，所以函数只有一个零点；②若，令，则有，所以，此时函数在上单调递增；，此时函数在上单调递减；即，则有：当时，则，此时函数只有一个零点；当时，即时，则，又因为时，；时，，根据零点存在定理可得，此时函数在上有两个零点．综上可得，当或时，函数只有一个零点；当时，函数有两个零点．（2）下面证明：，有，先证：，有，由（1）可知当时，，即当时，，故，，再证，；要证，，只需证明，，即证，，即证，令在上恒成立，即得函数在上单调递增，故有，即，恒成立，即，有，当时，由（1）得，在上单调递增，则由上结论可知，在上恒成立，符合题意；当时，由（1）得，在上单调递减，在上单调递增，此时当时，，不合题意，综上可得，，即．9．（2021·广东盐田·深圳外国语学校高三月考）已知函数，.（1）求函数在处的切线方程；（2）是否存在正数，使得对任意恒成立？证明你的结论.（3）求在上零点的个数.【答案】（1）；（2）存在正数，使得对任意恒成立；证明见解析；（3）个.【详解】（1），，又，在处的切线方程为：，即；（2）令，，则，当时，，在上恒成立，在上单调递增，，即在上恒成立；若，即，只需，又，，，则当时，成立；存在正数，使得对任意恒成立；（3）①当时，，在上无零点；②当时，，，在上单调递增，，，，使得，当时，单调递减；当时，单调递增；又，，，在和上各有一个零点；③当时，在上单调递增，，，，使得，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；，，，，使得，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，，在上无零点；综上所述：在上的零点个数为个.10．（2021·河南高三月考（理））已知函数在处取得极值.（1）求在上的最小值；（2）若关于的方程有唯一解，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】解：（1）由，可得，由在处取得极值，可得，解得.此时，显然是的一个极值点，满足题意.若，则，单调递增；若，则，单调递减.因为，，所以在上的最小值为.（2）设，由可得.令，则，所以，，且当时，，当时，，当时，.所以，.的大致图象如图：因为关于的方程有唯一解，所以的取值范围是.11．（2021·浙江高三月考）已知函数．（I）若，求证：当时，；（II）讨论方程的根的个数．【答案】（I）证明见解析；（II）当时，仅有一个实根；当时，有三个不相等的实根.【详解】（I）证明：由，，所以，要证，即证，即证，即证，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，成立，所以．（Ⅱ），当时，；当时，，①当时，在R上单调递增，所以有唯一解；②当时，，因为，所以，所以，1）当，即时，，所以在R上单调递增，所以有唯一解；2）当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，，所以存在，使得，，且，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以，，因为，记，则，因为，所以，即在上单调递增，所以，则，又因为，且，所以，所以当时，有三个根．综上所述：当时，仅有一个实根；当时，有三个不相等的实根.12．（2021·沙坪坝·重庆八中高三模拟预测）已知函数（且）．（1）若，求方程的根的个数；（2）若（其中是自然对数的底数），求的取值范围．【答案】（1）方程有2个根，；（2）.【详解】解：（1）时，，，，，单调递减；，，单调递增，又，，且，故方程有2个根，．（2），若，，故不符合题意；若，，，单调递减；，，单调递增，所以的最小值为．由题知（*），令，则（*）等价于，令，（）．令（），，单调递减，又，所以，；，，所以，即，所以在上单调递减，又，所以，故．13．（2021·全国高三专题练习（理））已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．【答案】（1）上单调递增；上单调递减；（2）.【详解】（1）当时，,令得,当时，,当时，,∴函数在上单调递增；上单调递减；（2）,设函数,则,令，得,在内,单调递增；在上,单调递减；,又，当趋近于时，趋近于0，所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,所以的取值范围是.14．（2021·江苏鼓楼·南京师大附中高三模拟预测）已知函数，，（1）证明∶关于的方程f在上有且仅有一个实数根；（2）当时，，求实数的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为3.【详解】证明∶令，即，所以因此当x∈时，，，当x∈时，，所以在上单调递减，在单调递增，又因为所以在无零点，在只有一个零点，因此方程有且仅有一个根（2）令，则则因为，所以,，从而①.因此当时，,则，所以函数在单调递增，又，因此，所以函数在调递增，又，在恒成立②．当时,令,由因为∈(0，1)必有一解，记为x0，所以当时，，当时，因此当时，单调递减，当时，单调递增，又，所以在恒成立，所以在上单调递减，又，所以当时，与题意矛盾，综上所述，所以a的最大值为3.15．（2021·浙江高三模拟预测）已知函数，.（1）若，过点作曲线的切线，求切点坐标；（2）讨论函数的零点个数.【答案】（1）；（2）答案见解析.【详解】（1）当时，函数，可得，设切点坐标为，则，所以曲线在点处的切线方程为，化简得.因为切线过点，所以，即，解得，所以切点坐标为.（2）令，可得，即(*)，令，则方程(*)等价于方程(**).对于函数，，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减.因此，且当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于0，作出函数的大致图象，如图所示.当时，方程(**)为，得，此时函数只有一个零点.当时，对于(**)，，所以方程必有2个不同的根，不妨设为，，且，记，若，即，则，得.由于，因此当，即时，，①当时，，则，，此时函数有2个零点；②当时，，则，此时函数有3个零点；③当时，，则，，此时函数有1个零点.若，即，则，，可得，此时函数有2个零点.综上，当时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点.16．（2021·衡水第一中学高三月考（理））已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）当时，方程有两个实根，求实数的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）.【详解】解：（1）由题意知函数的定义域为，因为，所以．①当时，在区间上恒成立，所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间．②当时，令，得，令，得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）方程有两个实根，即关于x的方程有两个实根，即函数有两个零点．又，令，由（1）得t是关于x的单调递增函数，且，所以只需函数有两个零点．令，得，令，则，易知当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，取得最大值．又因为当时，，当时，，，则函数的图象如图所示，所以当，即时，函数有两个零点．所以实数m的取值范围为17．（2021·江西南昌·高三期末（理））设