631平面向量基本定理精讲

6.3.1平面向量基本定理(精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:对基底的理解题型2：用基底表示向量题型3：用平面向量基本定理求参数题型4：平面向量基本定理的综合应用题型5：运用平面向量基本定理解决证明问题三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：平面向量基本定理（1）平面向量基本定理如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使.若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.（2）对平面向量基本定理的理解(1)这个定理告诉我们,平面内任意两个不共线向量都可以作为基底,一旦选定一组基底,则平面内的任一向量都可用该组基底唯一表示.(2)对于确定的基底,,同一向量的分解式是唯一的,不同向量的分解式是不同的.(3)同一个非零向量在不同的基底下分解式是不同的,零向量的分解式是唯一的,即,且.(4)这个定理可推广为:平面内任意三个不共线的向量中,任何一个向量都可表示例示为其余两个向量的线性组合,且形式唯一.知识点2：平面向量基本定理的有关结论（1）设,是平面内一组基底，若，当时，与共线；当时，与共线；当时，，同样的时，.（2）设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则.二、重点题型分类研究题型1:对基底的理解典型例题例题1．（2022·全国·高一假期作业）若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】C【详解】对于A，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，A不选；对于B，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，B不选；对于C，假设存在实数，使，则，解得，即与共线，选C；对于D，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，D不选；故选：C例题2．（2022秋·河南新乡·高一新乡市第一中学校考阶段练习）已知，是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能做基底的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】D【详解】A选项：令，因为，不共线，所以，无实数解，所以与不共线，故可以作为平面向量基底；B选项：令，因为，不共线，所以，无实数解，所以与不共线，故可以作为平面向量基底；C选项：令，因为，不共线，所以，无实数解，所以与不共线，故可以作为平面向量基底；D选项：易知，即与共线，不能作为平面向量基底.故选：D例题3．（多选）（2022秋·广东韶关·高一校考期中）已知向量、不共线，则下列各组向量中，能作平面向量的一组基底的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】因为向量、不共线，对于A选项，设、共线，可设，可得出，无解，所以，、不共线，A中的向量能作基底，同理可知CD选项中的向量也可作平面向量的基底，对于B选项，因为，所以，所以不能作平面向量的基底．故选：ACD.同类题型演练1．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第四中学校校考开学考试）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得，对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基地；对于B中，向量和，假设存在实数，使得，可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底；对于C中，向量和，假设存在实数，使得，可得，解得，所以和不可以作为基底；对于D中，向量和，假设存在实数，使得，可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底；故选：C.2．（2022·高一课时练习）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【详解】∵，是平面内的一组基底，∴，不共线，而，则根据向量共线定理可得，与共线，根据基底的定义可知，选项D不符合题意.其他三组中的向量均为不共线向量，故可作为基底向量.故选:D.3．（多选）（2022·高一课时练习）已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】ABD【详解】解：对于A，与不共线，故可作为一组基底，故A正确；对于B，和不共线，故可作为一组基底，故B正确；对于C，，故不能作为一组基底，故C错误；对于D，和不共线，故可作为一组基底，故D正确.故选:ABD.题型2：用基底表示向量典型例题例题1．（2022春·广东江门·高二台山市第一中学期中）在中，为边上的中线，为的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为为边上的中线，所以，因为为的中点，所以可得，故选：A例题2．（2022秋·四川绵阳·高一校考期末）在中，点在边上，且.设，，则可用基底，表示为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为，所以.所以故选：C例题3．（多选）（2022·浙江·模拟预测）如图，已知，点，满足，，与交于点，交于点，.则（

）A． B．C． D．【答案】BC【详解】三点共线，设，三点共线，设，A选项：，，∴，解得，，所以A选项错误；B选项：由，得，三点共线，则，即，得，即，有，得，所以B选项正确；C选项：，所以C选项正确；D选项：，所以D选项错误.故选：BC同类题型演练1．（2022春·福建·高三阶段练习）在中，点在边上，.记，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为点在边上，，所以，即，所以.故选:B.2．（2022春·贵州遵义·高三遵义市南白中学校考阶段练习）在中，点在边上，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，故选：B3．（2022春·辽宁抚顺·高三校联考期中）在中，为边上的中线，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：由题可得图，如下：则，又为边上的中线所以，则.故选：D.4．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）如图，已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，故，故，故选：A.题型3：用平面向量基本定理求参数典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）点为内一点，若，设，则实数和的值分别为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【详解】如图所示，延长交于，显然，由面积关系可得，所以，而，所以，所以，即，又由题可知，所以，所以，整理得，所以，故选：A例题2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形中，分别为上的点，且，连接交于点，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设则显然得显然因为所以有即根据向量的性质可知解得故选：C例题3．（2022春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校联考阶段练习）在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】以为基底向量，则有∵三点共线，则又∵三点共线，则∴，解得即则∴，即故选：A.例题4．（2022春·江苏盐城·高三统考期中）中，，若，则___________．【答案】【详解】，，即．.故答案为：.例题5．（2022·高一单元测试）如图，在中，是的中点，若，则实数的值是__________.【答案】##【详解】因为，所以为的中点，因为是的中点，所以，所以,因为，所以，故答案为：同类题型演练1．（2022春·福建福州·高二福州三中校考期中）中，D为BC中点，，AD交BE于P点，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为D为BC中点，所以，因为，所以，因为三点共线，所以设，即，整理得：，令，则，则，其中，因为，所以，故，因为，所以，又，解得：故选：C.2．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）在中，为边的中点，在边上，且，与交于点，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】以为基底向量，则有：∵三点共线，则，又∵三点共线，且为边的中点，则，∴，解得，即.∵，∴，则.故选：A.3．（2022秋·四川凉山·高一统考期末）在中，点D在边AB的延长线上，，则（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【详解】因为点D在边AB的延长线上，，所以，即,所以.又，由平面向量基本定理可得：，.故选：B4．（2022秋·广东揭阳·高一统考期末）已知在中，点为上的点，且，若，则（

）A． B．0 C． D．1【答案】C【详解】由题意得，所以，所以.故选：C5．（2022春·广东广州·高三校联考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，，F为BC的中点，G为线段EF上一点，且满足，则m=（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：，为的中点，，，因为、、三点共线，设，又，，解得．故选：A．6．（2022春·广东广州·高三广州市第五中学校考阶段练习）在中，是边上的点，且，设，则___________.【答案】【详解】由题，是边上的点，且，，∴故答案为：6．（2022·全国·高一假期作业）如图，在梯形中，，且，设.(1)试用和表示；(2)若点满足，且三点共线，求实数的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：，，，，则整理得：．（2）解：，，三点共线，．，，，又．．，解得，．．题型4：平面向量基本定理的综合应用典型例题例题1．（2022春·山东潍坊·高三统考阶段练习）锐角三角形中，为边上一动点（不含端点），点满足，且满足，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．【答案】D【详解】依题意，设，则，所以，所以，当且仅当时等号成立.故选：D例题2．（2022春·江苏南通·高三开学考试）在中，，，过的外心的直线(不经过点)分别交线段于，且，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为中，，由余弦定理可得，即，且，设，则，，所以，同理可得，，解得，所以，又因为，，所以，因为三点共线，可得，因为，所以，所以，同理可得，所以所以，设，可得，令，可得，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为；又由，，可得，所以当时，取得最大值，最大值为，所以的取值范围是.故选：B.例题3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在中，为线段上一点，且，为线段的中点，过点的直线分别交直线，于，两点，，，则的最小值为_______【答案】【详解】因为，所以，即，又因为G为线段AO的中点，所以，因为，，所以，因为D、G、E三点共线，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号．故答案为：．同类题型演练1．（2022秋·江苏宿迁·高一统考期末）在中，，过点O的直线分别交直线于M，N两个不同的点，若，其中m，n为实数，则的最小值为（

）A．1 B．4 C． D．5【答案】C【详解】三点共线即故的最小值为.故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）设点P在内且为的外心，，如图.若的面积分别为，x，y，则的最大值是________.【答案】##【详解】根据奔驰定理得，，即，平方得，又因为点P是的外心，所以，且，所以，，解得，当且仅当时取等号.所以.故答案为：.3．（2022春·辽宁沈阳·高三沈阳市第四十中学校联考期中）在中，点是边上（不包含顶点）的动点，若，则的最小值______.【答案】##【详解】如图，可知x，y均为正，且，，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为.故答案为：.4．（2022秋·甘肃白银·高一统考期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知为线段的中点，设为中间小正方形内一点（不含边界）.若，则的取值范围为__________.【答案】【详解】过点作，分别交于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，如图，由可知，点在线段上运动（不含端点）.当点与点重合时，，可知.当点与点重合时，，可知.故的取值范围为.故答案为：题型5：运用平面向量基本定理解决证明问题典型例题例题1．（2022秋·上海金山·高一上海市金山中学校考期末）如图所示，在中，在线段上，满足，是线段的中点．(1)延长交于点Q（图1），求的值；(2)过点的直线与边，分别交于点，（图2），设，．（i）求证为定值；（ii）设的面积为，的面积为，求的最小值．【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）.【详解】（1）依题意，因为，所以，因为是线段的中点，所以，设，则有，因为三点共线，所以，解得，即，所以，所以；（2）（i）根据题意,同理可得：，由（1）可知，，所以，因为三点共线，所以，化简得，即为定值，且定值为3；（ii）根据题意，，，所以，由（i）可知，则，所以，易知，当时，有最小值，此时.例题2．（2022秋·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）（1）已知函数，，求函数的值域；（2）已知G是的重心，，过点作直线交、边分别于点、点，设，，证明：是定值．【答案】（1）（2）证明见解析【详解】（1），因为，所以，所以，，所以值域为，所以的值域为.（2）因为G是重心，所以又因为三点共线，所以联立，得所以，两边乘以3得，，所以是定值.同类题型演练1．（2022春·安徽·高三蚌埠二中校联考阶段练习）已知M，P，N是平面上不同的三点，点A是此平面上任意一点，则“M，P，N三点共线”的充要条件是“存在实数，使得”．此结论往往称为向量的爪子模型．(1)给出这个结论的证明；(2)在的边、上分别取点E、F，使，，连结、交于点G．设，．利用上述结论，求出用、表示向量的表达式．【答案】(1)证明见解析(2)（1）先证充分性．若，则，，即，，故M，P，N三点共线．再证必要性．若M，P，N三点共线，则存在实数，使得，即，，故．综上知，结论成立．（2）利用A，G，F和B，G，E共线的充要条件，存在实数，使得则，解得．故．2．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在△ABO中，，，AD与BC交于点M．设，．(1)试用向量，表示；(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M，设，，其中，．证明：为定值，并求出该定值．【答案】(1)；(2)证明见解析，定值为5.（1）设，由A，M，D三点共线，可知存在（，且），使得，则，因为，所以，由平面向量基本定理得，即，①同理，由B，M，C三点共线，可知存在（，且），使得，则，又，所以，由平面向量基本定理得即，②由①②得，，故；（2）由于E，M，F三点共线，则存在实数（，且）使得，即，于是，又，，所以，由平面向量基本定理得，消去，得，故为定值，该定值为5.三、高考（模拟）题体验1．（2022·河南·统考一模）在中，是的中点，是的中点，若，则（

）A． B．