专题03二项式定理-《2021-2022高二下学期数学新教材提升训练（人教A版2019选择性）》

专题03二项式定理一、单选题1．（2022·北京八中高二期末）展开式中第3项的二项式系数为（）A．6 B． C．24 D．【答案】A【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式，即可求解.【详解】由题意，二项式展开式中第3项为，所以展开式中第3项的二项式系数为.故选：A.2．（2022·四川绵阳·二模（理））二项式的展开式中，的系数为（）A． B． C．10 D．15【答案】A【解析】【分析】首先求出二项式展开式的通项，再令求出，再代入计算可得；【详解】解：二项式展开式的通项为，令，解得，所以，故的系数为；故选：A3．（2022·福建福州·高三期末）展开式中的常数项为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据给定条件求出二项展开式的通项公式，再求指定项作答.【详解】二项式展开式的通项公式为，由解得：，则，所以展开式中的常数项为.故选：D4．（2022·河南驻马店·高三期末（理））的展开式中的系数为（）A．－50 B．－10 C．10 D．50【答案】A【解析】【分析】根据二项式定理得出展开式的通项，求出，，进而得出的系数.【详解】展开式的通项为，则，，故展开式中的系数为.故选：A5．（福建省漳州市2022届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题）已知二项式的展开式的所有项的系数和为32，则的展开式中常数项为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据赋值法以及二项展开式的通项公式即可求出．【详解】令，可得展开式的所有项的系数之和，得，所以，其通项，令，得，所以展开式中常数项为．故选：A．6．（2022·河南·模拟预测（理））若的展开式中的系数为75，则（）A．3 B．2 C．2 D．3【答案】A【解析】【分析】结合二项式的展开式的通项公式以及多项式的乘法运算可得，进而可求出结果.【详解】的展开式的通项公式为，所以的展开式中的系数为，由题知，，解得．故选：A.7．（2022·辽宁·大连八中高二期末）若，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】设，计算出、的值，利用平方差公式可求得结果.【详解】设由已知可得，，因此，.故选：D.8．（2022·浙江·模拟预测）设，若二项式的展开式中第二项的系数是1，则二项式的展开式中第三项的系数是（）A． B．1 C． D．5【答案】C【解析】【分析】由二项展开式的公式展开可得二项式的展开式中第二项的系数，再由二项式的展开式中第三项的系数为，代入即可得解.【详解】由二项式的展开式中第二项，所以，二项式的展开式中第三项，所以.故选：C二、多选题9．（2022·浙江·镇海中学高二期末）在的展开式中，若第六项为二项式系数最大的项，则n的值可能为（）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】ABC【解析】【分析】结合二项式系数对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】当时，二项式系数最大项是第项，符合题意，当时，二项式系数最大项是第项，符合题意，当时，二项式系数最大项是第项，符合题意，当或时，二项式系数最大项不包括第项.故选：ABC10．（2021·江苏苏州·高二阶段练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（）第一行11第二行121第三行1331第四行14641第五行15101051第六行1615201561A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：C．由“第行所有数之和为”猜想：D．由“”猜想：【答案】ABC【解析】【分析】结合杨辉三角、合情推理以及二项式有关知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：，A正确.由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：，B正确.由“第行所有数之和为”猜想：，C正确.，所以D错误.故选：ABC11．（福建省龙岩市20212022学年高二上学期期末教学质量检查数学试题）关于的展开式，下列结论正确的是（）A．各项二项式系数之和为32 B．各项系数之和为C．存在常数项 D．项的系数为80【答案】ABD【解析】【分析】由二项展开式的二项式系数的性质判断A；取求得所有项的系数和判断B；写出展开式的通项，由的指数为3和0求得值，可判断CD．【详解】的展开式的所有二项式系数和为，故A正确；取，可得所有项的系数和为，故B正确；展开式的通项为，由，得舍去，故不存在常数项，C错误，由，得，含项的系数为，故D正确．故选：ABD．12．（2022·辽宁丹东·高二期末）若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（）A．各项二项式系数和为128B．项数为奇数的各项系数和为﹣64C．有理式项共有4项D．第4项与第5项系数相等且最大【答案】AC【解析】【分析】根据二项式共有8项，确定n=7，根据二项式系数和为，可判断A正确；计算出项数为奇数的各项系数和为64，可判断B错误；根据通项公式可看到有理项有四项，可判断C正确；算出第4项与第5项系数，可判断D的正误.【详解】的二项展开式共有8项,故n=7;则二项式系数和为，故A正确；的通项公式为，故项数为奇数的各项系数和为,故B错误；根据，当r取0，2，4，6时，为有理式项，故C正确；，第四项与第五项的系数互为相反数，故D错误，故选：AC.三、双空题13．（2019·浙江·高考真题）在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.【答案】【解析】【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察的幂指数，使问题得解.【详解】的通项为可得常数项为，因系数为有理数，，有共5个项14．（2021·浙江·高考真题）已知多项式，则___________，___________.【答案】;.【解析】【分析】根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论.【详解】，，所以，，所以.故答案为：.四、填空题15．（2021·辽宁营口·高二期末）若，若，则______．【答案】2【解析】【分析】首先利用二项展开式的通项公式，求，再利用赋值法求系数的和以及．【详解】展开式的通项为，令，则，即，故，令，得.又，所以故故答案为：16．（2022·福建漳州·高二期末）若n展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_______．【答案】5376【解析】【分析】先求展开式的通项公式，由此确定前3项的系数，根据前三项的系数和为163，求参数n，再列不等式求展开式中系数最大的项.【详解】展开式的通项公式为，由题意可得，，解得，设展开式中项的系数最大，则解得，又∵，∴，故展开式中系数最大的项为.故答案为：5376.五、解答题17．（2021·全国·高二课时练习）在的展开式中，前3项的系数成等差数列，求展开式中x的一次项．【答案】【解析】【分析】求出展开式通项，根据前3项的系数成等差数列建立关系即可求出，再令的指数为1即可求出一次项.【详解】的展开式通项为，前3项的系数分别为，因为前3项的系数成等差数列，所以，即，解得（舍去）或，则，令，解得，所以展开式中x的一次项为.18．（2021·全国·高二课时练习）设，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）令，即可求得.（2）令，求得，结合，即可求解.（3）令和，分别求得和，结合，即可求解.(1)解：由，令，可得.(2)解：令，可得，所以.(3)解：令，可得，令，可得，所以19．（2022·江西新余·高二期末（理））已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.(1)求m的值；(2)求展开式中所有项的系数和与二项式系数和.【答案】(1)(2)所有项的系数和为，二项式系数和为【解析】【分析】(1)写出展开式的通项，求出其第4项系数和倒数第4项系数，列出方程即可求出m的值；(2)令x＝1即可求所有展开项系数之和，二项式系数之和为2m.(1)展开式的通项为：，∴展开式中第4项的系数为，倒数第4项的系数为，∴，即.(2)令可得展开式中所有项的系数和为，展开式中所有项的二项式系数和为.20．（2021·河北·武安市第一中学高二阶段练习）已知二项式展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240，(1)求n；(2)求展开式中所有含x的有理项.【答案】(1)(2)，，【解析】【分析】（1）由于各项系数之和为，二项式系数之和为，，解方程求得的值；（2）利用二项展开式的通项公式写出第项，使得的指数是整数，列举出结果，写出这几项即可．(1)解：令，则各项系数之和为，二项式系数之和为，因为展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240，所以，所以；(2)解：二项展开式的通项为，由，则，所以展开式中所有x的有理项为：.21．（2022·全国·高二）在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和.【答案】(1)210(2)1(3)29，29(4)奇数项系数和为，偶数项系数和为【解析】【分析】（1）二项式系数的和直接使用公式进行求解；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和，直接利用公式进行求解；第（2）问和第（4）问：设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10(*),各项系数和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.(1)二项式系数的和为.(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为，偶数项的二项式系数和为.(4)设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②其中①＋②得：，∴奇数项系